Номер 11.29, страница 310 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.4. Однородные уравнения. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.29, страница 310.

Решите уравнение (11.29—11.31):

11.29* a) $\sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x = 0;$

б) $\sin^2 x + 3 \sin x \cos x - 4 \cos^2 x = 0;$

в) $5 \sin^2 x - 7 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 1;$

г) $5 \sin^2 x - 17 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x + 4 = 0;$

д) $3 \cos^2 x - \sin 2x = 0,5;$

е) $\sin 2x + 5 \sin^2 x = 1,5.$

а) $sin^2 x - 3 sin x cos x + 2 cos^2 x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, является ли $cos x = 0$ решением. Если $cos x = 0$, то $sin^2 x = 1$. Подставив в уравнение, получим $1 - 0 + 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $cos^2 x$.

$\frac{sin^2 x}{cos^2 x} - \frac{3 sin x cos x}{cos^2 x} + \frac{2 cos^2 x}{cos^2 x} = 0$

$tan^2 x - 3 tan x + 2 = 0$

Сделаем замену $t = tan x$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Возвращаемся к замене:

1) $tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $tan x = 2 \implies x = arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}.$

б) $sin^2 x + 3 sin x cos x - 4 cos^2 x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Разделим обе части на $cos^2 x$ (так как $cos x = 0$ не является решением).

$tan^2 x + 3 tan x - 4 = 0$

Сделаем замену $t = tan x$:

$t^2 + 3t - 4 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.

Возвращаемся к замене:

1) $tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $tan x = -4 \implies x = arctan(-4) + \pi k = -arctan(4) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = -arctan(4) + \pi k, k \in \mathbb{Z}.$

в) $5 sin^2 x - 7 sin x cos x + 4 cos^2 x = 1$

Используем основное тригонометрическое тождество $1 = sin^2 x + cos^2 x$, чтобы сделать уравнение однородным.

$5 sin^2 x - 7 sin x cos x + 4 cos^2 x = sin^2 x + cos^2 x$

Перенесем все члены в левую часть:

$4 sin^2 x - 7 sin x cos x + 3 cos^2 x = 0$

Разделим обе части на $cos^2 x$ (случай $cos x = 0$ не является решением).

$4 tan^2 x - 7 tan x + 3 = 0$

Сделаем замену $t = tan x$. Решаем квадратное уравнение $4t^2 - 7t + 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.

$t = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{7 \pm 1}{8}$

Корни $t_1 = \frac{8}{8} = 1$ и $t_2 = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Возвращаемся к замене:

1) $tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $tan x = \frac{3}{4} \implies x = arctan(\frac{3}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = arctan(\frac{3}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}.$

г) $5 sin^2 x - 17 sin x cos x + 4 cos^2 x + 4 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество, заменив $4$ на $4(sin^2 x + cos^2 x)$.

$5 sin^2 x - 17 sin x cos x + 4 cos^2 x + 4(sin^2 x + cos^2 x) = 0$

$5 sin^2 x - 17 sin x cos x + 4 cos^2 x + 4 sin^2 x + 4 cos^2 x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$9 sin^2 x - 17 sin x cos x + 8 cos^2 x = 0$

Разделим обе части на $cos^2 x$ (случай $cos x = 0$ не является решением).

$9 tan^2 x - 17 tan x + 8 = 0$

Сделаем замену $t = tan x$. Решаем квадратное уравнение $9t^2 - 17t + 8 = 0$.

Дискриминант $D = (-17)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 8 = 289 - 288 = 1$.

$t = \frac{17 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 9} = \frac{17 \pm 1}{18}$

Корни $t_1 = \frac{18}{18} = 1$ и $t_2 = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}$.

Возвращаемся к замене:

1) $tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $tan x = \frac{8}{9} \implies x = arctan(\frac{8}{9}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = arctan(\frac{8}{9}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}.$

д) $3 cos^2 x - sin 2x = 0.5$

Используем формулу двойного угла $sin 2x = 2 sin x cos x$ и домножим уравнение на 2:

$6 cos^2 x - 2 sin 2x = 1 \implies 6 cos^2 x - 4 sin x cos x = 1$

Заменим $1$ на $sin^2 x + cos^2 x$:

$6 cos^2 x - 4 sin x cos x = sin^2 x + cos^2 x$

Перенесем все члены в одну часть и домножим на -1 для удобства:

$-sin^2 x - 4 sin x cos x + 5 cos^2 x = 0 \implies sin^2 x + 4 sin x cos x - 5 cos^2 x = 0$

Разделим обе части на $cos^2 x$ (случай $cos x = 0$ не является решением).

$tan^2 x + 4 tan x - 5 = 0$

Сделаем замену $t = tan x$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -5$.

Возвращаемся к замене:

1) $tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $tan x = -5 \implies x = -arctan(5) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = -arctan(5) + \pi k, k \in \mathbb{Z}.$

е) $sin 2x + 5 sin^2 x = 1.5$

Используем формулу $sin 2x = 2 sin x cos x$ и домножим уравнение на 2:

$2 sin 2x + 10 sin^2 x = 3 \implies 4 sin x cos x + 10 sin^2 x = 3$

Заменим $3$ на $3(sin^2 x + cos^2 x)$:

$4 sin x cos x + 10 sin^2 x = 3 sin^2 x + 3 cos^2 x$

Перенесем все члены в левую часть:

$(10 sin^2 x - 3 sin^2 x) + 4 sin x cos x - 3 cos^2 x = 0$

$7 sin^2 x + 4 sin x cos x - 3 cos^2 x = 0$

Разделим обе части на $cos^2 x$ (случай $cos x = 0$ не является решением).

$7 tan^2 x + 4 tan x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = tan x$. Решаем квадратное уравнение $7t^2 + 4t - 3 = 0$.

Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-3) = 16 + 84 = 100$.

$t = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 7} = \frac{-4 \pm 10}{14}$

Корни $t_1 = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$ и $t_2 = \frac{-14}{14} = -1$.

Возвращаемся к замене:

1) $tan x = \frac{3}{7} \implies x = arctan(\frac{3}{7}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = arctan(\frac{3}{7}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}.$