Страница 310 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решите уравнение (11.29—11.31):

11.29* a) $\sin^2 x - 3 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x = 0;$

б) $\sin^2 x + 3 \sin x \cos x - 4 \cos^2 x = 0;$

в) $5 \sin^2 x - 7 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x = 1;$

г) $5 \sin^2 x - 17 \sin x \cos x + 4 \cos^2 x + 4 = 0;$

д) $3 \cos^2 x - \sin 2x = 0,5;$

е) $\sin 2x + 5 \sin^2 x = 1,5.$

а) $sin^2 x - 3 sin x cos x + 2 cos^2 x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, является ли $cos x = 0$ решением. Если $cos x = 0$, то $sin^2 x = 1$. Подставив в уравнение, получим $1 - 0 + 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $cos^2 x$.

$\frac{sin^2 x}{cos^2 x} - \frac{3 sin x cos x}{cos^2 x} + \frac{2 cos^2 x}{cos^2 x} = 0$

$tan^2 x - 3 tan x + 2 = 0$

Сделаем замену $t = tan x$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Возвращаемся к замене:

1) $tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $tan x = 2 \implies x = arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}.$

б) $sin^2 x + 3 sin x cos x - 4 cos^2 x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Разделим обе части на $cos^2 x$ (так как $cos x = 0$ не является решением).

$tan^2 x + 3 tan x - 4 = 0$

Сделаем замену $t = tan x$:

$t^2 + 3t - 4 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.

Возвращаемся к замене:

1) $tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $tan x = -4 \implies x = arctan(-4) + \pi k = -arctan(4) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = -arctan(4) + \pi k, k \in \mathbb{Z}.$

в) $5 sin^2 x - 7 sin x cos x + 4 cos^2 x = 1$

Используем основное тригонометрическое тождество $1 = sin^2 x + cos^2 x$, чтобы сделать уравнение однородным.

$5 sin^2 x - 7 sin x cos x + 4 cos^2 x = sin^2 x + cos^2 x$

Перенесем все члены в левую часть:

$4 sin^2 x - 7 sin x cos x + 3 cos^2 x = 0$

Разделим обе части на $cos^2 x$ (случай $cos x = 0$ не является решением).

$4 tan^2 x - 7 tan x + 3 = 0$

Сделаем замену $t = tan x$. Решаем квадратное уравнение $4t^2 - 7t + 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.

$t = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{7 \pm 1}{8}$

Корни $t_1 = \frac{8}{8} = 1$ и $t_2 = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Возвращаемся к замене:

1) $tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $tan x = \frac{3}{4} \implies x = arctan(\frac{3}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = arctan(\frac{3}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}.$

г) $5 sin^2 x - 17 sin x cos x + 4 cos^2 x + 4 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество, заменив $4$ на $4(sin^2 x + cos^2 x)$.

$5 sin^2 x - 17 sin x cos x + 4 cos^2 x + 4(sin^2 x + cos^2 x) = 0$

$5 sin^2 x - 17 sin x cos x + 4 cos^2 x + 4 sin^2 x + 4 cos^2 x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$9 sin^2 x - 17 sin x cos x + 8 cos^2 x = 0$

Разделим обе части на $cos^2 x$ (случай $cos x = 0$ не является решением).

$9 tan^2 x - 17 tan x + 8 = 0$

Сделаем замену $t = tan x$. Решаем квадратное уравнение $9t^2 - 17t + 8 = 0$.

Дискриминант $D = (-17)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 8 = 289 - 288 = 1$.

$t = \frac{17 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 9} = \frac{17 \pm 1}{18}$

Корни $t_1 = \frac{18}{18} = 1$ и $t_2 = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}$.

Возвращаемся к замене:

1) $tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $tan x = \frac{8}{9} \implies x = arctan(\frac{8}{9}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = arctan(\frac{8}{9}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}.$

д) $3 cos^2 x - sin 2x = 0.5$

Используем формулу двойного угла $sin 2x = 2 sin x cos x$ и домножим уравнение на 2:

$6 cos^2 x - 2 sin 2x = 1 \implies 6 cos^2 x - 4 sin x cos x = 1$

Заменим $1$ на $sin^2 x + cos^2 x$:

$6 cos^2 x - 4 sin x cos x = sin^2 x + cos^2 x$

Перенесем все члены в одну часть и домножим на -1 для удобства:

$-sin^2 x - 4 sin x cos x + 5 cos^2 x = 0 \implies sin^2 x + 4 sin x cos x - 5 cos^2 x = 0$

Разделим обе части на $cos^2 x$ (случай $cos x = 0$ не является решением).

$tan^2 x + 4 tan x - 5 = 0$

Сделаем замену $t = tan x$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -5$.

Возвращаемся к замене:

1) $tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $tan x = -5 \implies x = -arctan(5) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = -arctan(5) + \pi k, k \in \mathbb{Z}.$

е) $sin 2x + 5 sin^2 x = 1.5$

Используем формулу $sin 2x = 2 sin x cos x$ и домножим уравнение на 2:

$2 sin 2x + 10 sin^2 x = 3 \implies 4 sin x cos x + 10 sin^2 x = 3$

Заменим $3$ на $3(sin^2 x + cos^2 x)$:

$4 sin x cos x + 10 sin^2 x = 3 sin^2 x + 3 cos^2 x$

Перенесем все члены в левую часть:

$(10 sin^2 x - 3 sin^2 x) + 4 sin x cos x - 3 cos^2 x = 0$

$7 sin^2 x + 4 sin x cos x - 3 cos^2 x = 0$

Разделим обе части на $cos^2 x$ (случай $cos x = 0$ не является решением).

$7 tan^2 x + 4 tan x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = tan x$. Решаем квадратное уравнение $7t^2 + 4t - 3 = 0$.

Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-3) = 16 + 84 = 100$.

$t = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 7} = \frac{-4 \pm 10}{14}$

Корни $t_1 = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$ и $t_2 = \frac{-14}{14} = -1$.

Возвращаемся к замене:

1) $tan x = \frac{3}{7} \implies x = arctan(\frac{3}{7}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = arctan(\frac{3}{7}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}.$

11.30* а) $\sin^3 x - 2 \sin^2 x \cos x - \sin x \cos^2 x + 2 \cos^3 x = 0;$

б) $\sin^3 x - \sin^2 x \cos x - 3 \sin x \cos^2 x + 3 \cos^3 x = 0;$

в) $\sin^3 x - 7 \sin x \cos^2 x - 6 \cos^3 x = 0;$

г) $\sin^3 x - 7 \sin x \cos^2 x + 6 \cos^3 x = 0;$

д) $\sin^3 x + \sin^2 x \cos x - 10 \sin x \cos^2 x + 8 \cos^3 x = 0;$

е) $\sin^3 x + 2 \sin^2 x \cos x - 5 \sin x \cos^2 x - 6 \cos^3 x = 0.$

а)

Данное уравнение $\sin^3 x - 2 \sin^2 x \cos x - \sin x \cos^2 x + 2 \cos^3 x = 0$ является однородным тригонометрическим уравнением третьей степени.

Проверим, могут ли быть решения при $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставив $\cos x = 0$ в уравнение, получим $\sin^3 x = 0$, то есть $\sin x = 0$. Это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^3 x \neq 0$:
$\frac{\sin^3 x}{\cos^3 x} - 2\frac{\sin^2 x \cos x}{\cos^3 x} - \frac{\sin x \cos^2 x}{\cos^3 x} + 2\frac{\cos^3 x}{\cos^3 x} = 0$
$\tan^3 x - 2\tan^2 x - \tan x + 2 = 0$

Введем замену $t = \tan x$:
$t^3 - 2t^2 - t + 2 = 0$
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$t^2(t - 2) - (t - 2) = 0$
$(t^2 - 1)(t - 2) = 0$
$(t - 1)(t + 1)(t - 2) = 0$

Отсюда находим корни для $t$: $t_1 = 1$, $t_2 = -1$, $t_3 = 2$.

Выполним обратную замену:
1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
2) $\tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
3) $\tan x = 2 \implies x = \arctan(2) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n$; $-\frac{\pi}{4} + \pi k$; $\arctan(2) + \pi m$, где $n, k, m \in \mathbb{Z}$.

б)

Уравнение $\sin^3 x - \sin^2 x \cos x - 3 \sin x \cos^2 x + 3 \cos^3 x = 0$ является однородным. Аналогично пункту а), $\cos x \neq 0$. Разделим уравнение на $\cos^3 x$:

$\tan^3 x - \tan^2 x - 3\tan x + 3 = 0$

Пусть $t = \tan x$:
$t^3 - t^2 - 3t + 3 = 0$
$t^2(t - 1) - 3(t - 1) = 0$
$(t^2 - 3)(t - 1) = 0$

Корни для $t$: $t_1 = 1$, $t_2 = \sqrt{3}$, $t_3 = -\sqrt{3}$.

Обратная замена:
1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
2) $\tan x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
3) $\tan x = -\sqrt{3} \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n$; $\pm\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

в)

Уравнение $\sin^3 x - 7 \sin x \cos^2 x - 6 \cos^3 x = 0$ является однородным. Так как $\cos x \neq 0$, разделим уравнение на $\cos^3 x$:

$\tan^3 x - 7\tan x - 6 = 0$

Пусть $t = \tan x$. Получаем кубическое уравнение: $t^3 - 7t - 6 = 0$.

Найдем его корни. Целые корни могут быть среди делителей свободного члена (-6): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
Проверкой убеждаемся, что корнями являются $t_1 = -1$, $t_2 = -2$, $t_3 = 3$.
Например, для $t = -1$: $(-1)^3 - 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$.

Обратная замена:
1) $\tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
2) $\tan x = -2 \implies x = -\arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
3) $\tan x = 3 \implies x = \arctan(3) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n$; $-\arctan(2) + \pi k$; $\arctan(3) + \pi m$, где $n, k, m \in \mathbb{Z}$.

г)

Уравнение $\sin^3 x - 7 \sin x \cos^2 x + 6 \cos^3 x = 0$ является однородным. Делим на $\cos^3 x \neq 0$:

$\tan^3 x - 7\tan x + 6 = 0$

Пусть $t = \tan x$: $t^3 - 7t + 6 = 0$.

Целые корни ищем среди делителей числа 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
Проверкой находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$, $t_3 = -3$.
Например, для $t=1$: $1^3 - 7(1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0$.

Обратная замена:
1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
2) $\tan x = 2 \implies x = \arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
3) $\tan x = -3 \implies x = -\arctan(3) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n$; $\arctan(2) + \pi k$; $-\arctan(3) + \pi m$, где $n, k, m \in \mathbb{Z}$.

д)

Уравнение $\sin^3 x + \sin^2 x \cos x - 10 \sin x \cos^2 x + 8 \cos^3 x = 0$ является однородным. Делим на $\cos^3 x \neq 0$:

$\tan^3 x + \tan^2 x - 10\tan x + 8 = 0$

Пусть $t = \tan x$: $t^3 + t^2 - 10t + 8 = 0$.

Целые корни ищем среди делителей числа 8: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$.
Проверкой находим корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 + t_3 = -1$.
$1 + 2 + t_3 = -1 \implies t_3 = -4$.

Обратная замена:
1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
2) $\tan x = 2 \implies x = \arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
3) $\tan x = -4 \implies x = -\arctan(4) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n$; $\arctan(2) + \pi k$; $-\arctan(4) + \pi m$, где $n, k, m \in \mathbb{Z}$.

е)

Уравнение $\sin^3 x + 2 \sin^2 x \cos x - 5 \sin x \cos^2 x - 6 \cos^3 x = 0$ является однородным. Делим на $\cos^3 x \neq 0$:

$\tan^3 x + 2\tan^2 x - 5\tan x - 6 = 0$

Пусть $t = \tan x$: $t^3 + 2t^2 - 5t - 6 = 0$.

Целые корни ищем среди делителей числа -6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
Проверкой находим корни $t_1 = -1$ и $t_2 = 2$.
По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 + t_3 = -2$.
$-1 + 2 + t_3 = -2 \implies t_3 = -3$.

Обратная замена:
1) $\tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
2) $\tan x = 2 \implies x = \arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
3) $\tan x = -3 \implies x = -\arctan(3) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n$; $\arctan(2) + \pi k$; $-\arctan(3) + \pi m$, где $n, k, m \in \mathbb{Z}$.

11.31* a) $2 \cos 4x - \cos^3 x = 2 - 16 \cos^2 x;$

б) $4 \sin^2 x + \sin 4x + 2 \sin 2x \sin 4x = 2;$

в) $\cos 3x \cos x - 2 \cos 2x + 1 = 0;$

г) $\sin 3x + 2 \sin 3x \cos 2x - \sin x = 0.$

а) $2 \cos 4x - \cos^3 x = 2 - 16 \cos^2 x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$2 \cos 4x - 2 + 16 \cos^2 x - \cos^3 x = 0$

Вынесем общие множители:

$2(\cos 4x - 1) + \cos^2 x(16 - \cos x) = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$ и формулу понижения степени $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha$.

$\cos 4x - 1 = -(1 - \cos 4x) = -2\sin^2 2x$.

Также используем формулу косинуса четверного угла, выраженную через косинус одинарного угла: $\cos 4x = 8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2(8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1) - \cos^3 x = 2 - 16 \cos^2 x$

$16\cos^4 x - 16\cos^2 x + 2 - \cos^3 x = 2 - 16 \cos^2 x$

Сократим одинаковые члены в обеих частях уравнения:

$16\cos^4 x - \cos^3 x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos^3 x$ за скобки:

$\cos^3 x (16 \cos x - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos^3 x = 0 \implies \cos x = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $16 \cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{16}$

$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{16}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = \pm \arccos\left(\frac{1}{16}\right) + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $4 \sin^2 x + \sin 4x + 2 \sin 2x \sin 4x = 2$

Используем формулу понижения степени $4 \sin^2 x = 2(1 - \cos 2x) = 2 - 2\cos 2x$.

Подставим в уравнение:

$2 - 2\cos 2x + \sin 4x + 2 \sin 2x \sin 4x = 2$

Вычтем 2 из обеих частей:

$-2\cos 2x + \sin 4x + 2 \sin 2x \sin 4x = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$:

$-2\cos 2x + 2\sin 2x \cos 2x + 2 \sin 2x (2\sin 2x \cos 2x) = 0$

$-2\cos 2x + 2\sin 2x \cos 2x + 4\sin^2 2x \cos 2x = 0$

Вынесем общий множитель $2\cos 2x$ за скобки:

$2\cos 2x (-1 + \sin 2x + 2\sin^2 2x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos 2x = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin^2 2x + \sin 2x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \sin 2x$, где $|t| \le 1$. Получим квадратное уравнение:

$2t^2 + t - 1 = 0$

Дискриминант $D = 1^2 - 4(2)(-1) = 9$.

$t_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$

$t_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$

Возвращаемся к замене:

а) $\sin 2x = -1$

$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что эта серия решений является подмножеством первой серии решений $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$ (при $n = 2k-1$ получаем $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(2k-1)}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi k$).

б) $\sin 2x = \frac{1}{2}$

$2x = (-1)^m \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi m \implies 2x = (-1)^m \frac{\pi}{6} + \pi m$

$x = (-1)^m \frac{\pi}{12} + \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $x = (-1)^m \frac{\pi}{12} + \frac{\pi m}{2}$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.

в) $\cos 3x \cos x - 2 \cos 2x + 1 = 0$

Применим формулу преобразования произведения косинусов в сумму:

$\cos 3x \cos x = \frac{1}{2}(\cos(3x-x) + \cos(3x+x)) = \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 4x)$.

Подставим в уравнение:

$\frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 4x) - 2\cos 2x + 1 = 0$

Умножим обе части на 2:

$\cos 2x + \cos 4x - 4\cos 2x + 2 = 0$

$\cos 4x - 3\cos 2x + 2 = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1$:

$(2\cos^2 2x - 1) - 3\cos 2x + 2 = 0$

$2\cos^2 2x - 3\cos 2x + 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos 2x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Это квадратное уравнение, его корни $t_1 = 1$ и $t_2 = \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене:

1) $\cos 2x = 1$

$2x = 2\pi n \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos 2x = \frac{1}{2}$

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \implies x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n$, $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sin 3x + 2 \sin 3x \cos 2x - \sin x = 0$

Применим формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму:

$2\sin 3x \cos 2x = \sin(3x+2x) + \sin(3x-2x) = \sin 5x + \sin x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\sin 3x + (\sin 5x + \sin x) - \sin x = 0$

$\sin 3x + \sin 5x = 0$

Теперь применим формулу суммы синусов:

$\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.

$2\sin\left(\frac{3x+5x}{2}\right)\cos\left(\frac{5x-3x}{2}\right) = 0$

$2\sin 4x \cos x = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\sin 4x = 0$

$4x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, является ли вторая серия решений подмножеством первой. Решения $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ можно записать как $x = \frac{\pi(1+2k)}{2}$.

В первой серии решений $x = \frac{\pi n}{4}$, если взять $n = 2(1+2k) = 2+4k$, то получим $x = \frac{\pi (2+4k)}{4} = \frac{\pi (1+2k)}{2}$. Поскольку для любого целого $k$ число $n=2+4k$ является целым, вторая серия решений полностью содержится в первой.

Следовательно, общим решением является первая серия.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.