Страница 306 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решите уравнение (11.15—11.23):

11.15 a) $2 \sin^2 x = 3 \cos x;$

б) $2 \cos^2 x + 3 \sin x = 0;$

в) $2 \cos^2 x + 2 \cos x + \sin^2 x = 0;$

г) $\sin^2 x + 2 \cos x - 2 = 0.$

а) $2 \sin^2 x = 3 \cos x$

Для решения этого уравнения приведем его к одной тригонометрической функции. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2(1 - \cos^2 x) = 3 \cos x$

Раскроем скобки:

$2 - 2 \cos^2 x = 3 \cos x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\cos x$:

$2 \cos^2 x + 3 \cos x - 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Так как область значений функции косинус от -1 до 1, то $|t| \le 1$.

$2t^2 + 3t - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1) $\cos x = t_1 = \frac{1}{2}$. Это значение удовлетворяет условию $|\cos x| \le 1$. Решения этого уравнения:

$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = t_2 = -2$. Это уравнение не имеет решений, так как $-2$ не входит в область значений функции косинус.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $2 \cos^2 x + 3 \sin x = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к функции синуса.

Подставим в уравнение:

$2(1 - \sin^2 x) + 3 \sin x = 0$

$2 - 2 \sin^2 x + 3 \sin x = 0$

Умножим уравнение на -1 и упорядочим члены:

$2 \sin^2 x - 3 \sin x - 2 = 0$

Введем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 - 3t - 2 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$t_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Вернемся к замене:

1) $\sin x = t_1 = 2$. Уравнение не имеет решений, так как область значений синуса $[-1, 1]$.

2) $\sin x = t_2 = -\frac{1}{2}$. Это уравнение имеет решения:

$x = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi k = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $2 \cos^2 x + 2 \cos x + \sin^2 x = 0$

Сгруппируем члены $\cos^2 x$ и $\sin^2 x$:

$\cos^2 x + (\cos^2 x + \sin^2 x) + 2 \cos x = 0$

Используя тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, упростим уравнение:

$\cos^2 x + 1 + 2 \cos x = 0$

Переставим члены, чтобы увидеть формулу полного квадрата:

$\cos^2 x + 2 \cos x + 1 = 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата суммы:

$(\cos x + 1)^2 = 0$

Это равенство выполняется только тогда, когда основание степени равно нулю:

$\cos x + 1 = 0$

$\cos x = -1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, решение которого:

$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sin^2 x + 2 \cos x - 2 = 0$

Заменим $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$, используя основное тригонометрическое тождество.

$(1 - \cos^2 x) + 2 \cos x - 2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-\cos^2 x + 2 \cos x - 1 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1:

$\cos^2 x - 2 \cos x + 1 = 0$

Левая часть является формулой полного квадрата разности:

$(\cos x - 1)^2 = 0$

Отсюда следует, что:

$\cos x - 1 = 0$

$\cos x = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, решение которого:

$x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

11.16 a) $ \sin 2x \cos x - \sin x \cos 2x = 1 $;

б) $ \sin 3x \cos x + \sin x \cos 3x = 0 $;

в) $ \cos 5x \cos 4x + \sin 5x \sin 4x = 1 $;

г) $ \cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x = -1 $;

д) $ \cos 2000x \cos 1999x + \sin 2000x \sin 1999x = 0,5 $;

е) $ \sin 2001x \cos 2000x - \sin 2000x \cos 2001x = -0,5 $.

а) $ \sin 2x \cos x - \sin x \cos 2x = 1 $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой синуса разности углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $. В данном случае $ \alpha = 2x $ и $ \beta = x $.

Применяя формулу, получаем:

$ \sin(2x - x) = \sin x $

Исходное уравнение сводится к простейшему тригонометрическому уравнению:

$ \sin x = 1 $

Решением этого уравнения является серия корней:

$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sin 3x \cos x + \sin x \cos 3x = 0 $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой синуса суммы углов: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $. В данном случае $ \alpha = 3x $ и $ \beta = x $.

Применяя формулу, получаем:

$ \sin(3x + x) = \sin 4x $

Исходное уравнение сводится к уравнению:

$ \sin 4x = 0 $

Решением этого уравнения является серия корней:

$ 4x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{\pi k}{4} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $.

в) $ \cos 5x \cos 4x + \sin 5x \sin 4x = 1 $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой косинуса разности углов: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $. В данном случае $ \alpha = 5x $ и $ \beta = 4x $.

Применяя формулу, получаем:

$ \cos(5x - 4x) = \cos x $

Исходное уравнение сводится к простейшему тригонометрическому уравнению:

$ \cos x = 1 $

Решением этого уравнения является серия корней:

$ x = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

г) $ \cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x = -1 $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой косинуса суммы углов: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $. В данном случае $ \alpha = 2x $ и $ \beta = x $.

Применяя формулу, получаем:

$ \cos(2x + x) = \cos 3x $

Исходное уравнение сводится к уравнению:

$ \cos 3x = -1 $

Решением этого уравнения является серия корней:

$ 3x = \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

д) $ \cos 2000x \cos 1999x + \sin 2000x \sin 1999x = 0,5 $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой косинуса разности углов: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $. В данном случае $ \alpha = 2000x $ и $ \beta = 1999x $.

Применяя формулу, получаем:

$ \cos(2000x - 1999x) = \cos x $

Исходное уравнение сводится к уравнению:

$ \cos x = 0,5 $ или $ \cos x = \frac{1}{2} $.

Решением этого уравнения является серия корней:

$ x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

е) $ \sin 2001x \cos 2000x - \sin 2000x \cos 2001x = -0,5 $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой синуса разности углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $. В данном случае $ \alpha = 2001x $ и $ \beta = 2000x $.

Применяя формулу, получаем:

$ \sin(2001x - 2000x) = \sin x $

Исходное уравнение сводится к уравнению:

$ \sin x = -0,5 $ или $ \sin x = -\frac{1}{2} $.

Решением этого уравнения является серия корней:

$ x = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi k = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

11.17 a) $\sin x \cos \frac{\pi}{3} + \sin \frac{\pi}{3} \cos x = 0;$

б) $\cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4} = 1.$

а) $\sin x \cos \frac{\pi}{3} + \sin \frac{\pi}{3} \cos x = 0$

Левая часть уравнения представляет собой развернутую формулу синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

В данном случае $\alpha = x$ и $\beta = \frac{\pi}{3}$. Свернем левую часть уравнения по этой формуле:

$\sin(x + \frac{\pi}{3}) = 0$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней, где аргумент синуса равен $ \pi n $, где $ n $ — любое целое число.

$x + \frac{\pi}{3} = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$, чтобы найти окончательное решение:

$x = \pi n - \frac{\pi}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4} = 1$

Левая часть этого уравнения соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

В нашем случае $\alpha = x$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$. Применим формулу:

$\cos(x + \frac{\pi}{4}) = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Косинус равен единице, когда его аргумент равен $2\pi n$, где $n$ — любое целое число.

$x + \frac{\pi}{4} = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Теперь выразим $x$:

$x = 2\pi n - \frac{\pi}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

11.18* а) $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x = -\frac{1}{2}$;

б) $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

в) $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 2$;

г) $\sqrt{2} \cos x + \sqrt{2} \sin x = 1$;

д) $\sin x + \cos x = -1$;

е) $\cos x + \sin x = 0$.

а)

Дано уравнение $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x = -\frac{1}{2}$.

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$. Для его решения применим метод введения вспомогательного угла. Коэффициенты при $\sin x$ и $\cos x$ являются значениями синуса и косинуса известных углов. Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3})$ и $\frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\sin x \sin(\frac{\pi}{3}) - \cos x \cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

Вынесем минус за скобки в левой части:

$-(\cos x \cos(\frac{\pi}{3}) - \sin x \sin(\frac{\pi}{3})) = -\frac{1}{2}$

Используем формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$:

$-\cos(x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

$\cos(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Теперь решим это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\cos t = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x + \frac{\pi}{3} = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n$

$x + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Разобьем решение на две серии:

1) $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

2) $x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\pi n$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Аналогично предыдущему пункту, используем метод введения вспомогательного угла. Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})$ и $\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\sin x \cos(\frac{\pi}{6}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Используем формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$:

$\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение для $\sin t = a$ имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Или его можно представить в виде двух серий решений.

$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ или $x + \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим каждую серию:

1) $x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

2) $x + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{4\pi - \pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 2$.

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=1, b=-\sqrt{3}, c=2$.

Найдем вспомогательный множитель $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Разделим обе части уравнения на $R=2$:

$\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = 1$

Заметим, что $\frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3})$.

$\sin x \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{3}) = 1$

Используем формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$:

$\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{3\pi+2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

Ответ: $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $\sqrt{2} \cos x + \sqrt{2} \sin x = 1$.

Перепишем в стандартном виде $\sqrt{2} \sin x + \sqrt{2} \cos x = 1$. Здесь $a=\sqrt{2}, b=\sqrt{2}$.

Найдем вспомогательный множитель $R = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$.

Разделим обе части уравнения на $R=2$:

$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{1}{2}$

Заметим, что $\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos(\frac{\pi}{4})$ и $\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin(\frac{\pi}{4})$.

$\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$

Используем формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$:

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения можно найти из двух серий:

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим каждую серию:

1) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{2\pi - 3\pi}{12} + 2\pi n = -\frac{\pi}{12} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

2) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{10\pi - 3\pi}{12} + 2\pi n = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi n$, $x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

д)

Дано уравнение $\sin x + \cos x = -1$.

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=1, b=1$.

Найдем вспомогательный множитель $R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Заметим, что $\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin(\frac{\pi}{4})$ и $\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos(\frac{\pi}{4})$.

$\sin x \sin(\frac{\pi}{4}) + \cos x \cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Используем формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$:

$\cos(x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Решим это уравнение. $t = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

$x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Разобьем решение на две серии:

1) $x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \pi + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

2) $x - \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \implies x = -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi + 2\pi n$, $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

е)

Дано уравнение $\cos x + \sin x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перенесем $\cos x$ в правую часть:

$\sin x = -\cos x$

Заметим, что если $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin x = 0$. Однако, синус и косинус одного и того же угла не могут быть одновременно равны нулю, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} = -1$

$\tan x = -1$

Решение этого простейшего тригонометрического уравнения:

$x = \arctan(-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

11.19 а) $ \sin 2x \cos x - 3 \sin^2 x = 0; $

б) $ \sin 2x \cos x - 2 \sin x = 0; $

в) $ \cos 2x + \cos x = 0; $

г) $ \cos 2x - \cos x = 0; $

д) $ 1.5 - 2 \cos 2x = 5 \cos x; $

е) $ 0.5 + 2 \cos 2x = 3 \sin x; $

ж) $ 2 \cos 2x - 3 = 8 \cos x; $

з) $ 2 \cos 2x - 5 = 8 \sin x; $

и) $ 2 \sin (0.5\pi + 2x) + \cos x = 3; $

к) $ \cos x + \sin (1.5\pi + 2x) = 0. $

а) $\sin 2x \cos x - 3 \sin^2 x = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$2 \sin x \cos x \cdot \cos x - 3 \sin^2 x = 0$

$2 \sin x \cos^2 x - 3 \sin^2 x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2 \cos^2 x - 3 \sin x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $\sin x = 0$

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $2 \cos^2 x - 3 \sin x = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$2(1 - \sin^2 x) - 3 \sin x = 0$

$2 - 2 \sin^2 x - 3 \sin x = 0$

$2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$:

$2t^2 + 3t - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

$t_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$. Этот корень не подходит, так как $|\sin x| \le 1$.

$t_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене: $\sin x = \frac{1}{2}$.

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяем решения из двух случаев.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin 2x \cos x - 2 \sin x = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$2 \sin x \cos x \cdot \cos x - 2 \sin x = 0$

$2 \sin x \cos^2 x - 2 \sin x = 0$

Вынесем общий множитель $2 \sin x$ за скобки:

$2 \sin x (\cos^2 x - 1) = 0$

Используя тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем $\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$:

$2 \sin x (-\sin^2 x) = 0$

$-2 \sin^3 x = 0$

$\sin x = 0$

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\cos 2x + \cos x = 0$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$:

$(2 \cos^2 x - 1) + \cos x = 0$

$2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$:

$2t^2 + t - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$.

$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене:

1) $\cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\cos 2x - \cos x = 0$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$:

$(2 \cos^2 x - 1) - \cos x = 0$

$2 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$:

$2t^2 - t - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

$t_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

$t_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Возвращаемся к замене:

1) $\cos x = 1 \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

д) $1,5 - 2 \cos 2x = 5 \cos x$

Перенесем все члены в одну сторону: $2 \cos 2x + 5 \cos x - 1,5 = 0$.

Используем формулу $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$:

$2(2 \cos^2 x - 1) + 5 \cos x - 1,5 = 0$

$4 \cos^2 x - 2 + 5 \cos x - 1,5 = 0$

$4 \cos^2 x + 5 \cos x - 3,5 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби: $8 \cos^2 x + 10 \cos x - 7 = 0$.

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$: $8t^2 + 10t - 7 = 0$.

$D = 10^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-7) = 100 + 224 = 324 = 18^2$.

$t_1 = \frac{-10 - 18}{16} = -\frac{28}{16} = -\frac{7}{4}$. Не подходит, так как $|t| > 1$.

$t_2 = \frac{-10 + 18}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене: $\cos x = \frac{1}{2}$.

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

е) $0,5 + 2 \cos 2x = 3 \sin x$

Перенесем все члены в одну сторону: $2 \cos 2x - 3 \sin x + 0,5 = 0$.

Используем формулу $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$:

$2(1 - 2 \sin^2 x) - 3 \sin x + 0,5 = 0$

$2 - 4 \sin^2 x - 3 \sin x + 0,5 = 0$

$-4 \sin^2 x - 3 \sin x + 2,5 = 0$

Умножим уравнение на -2: $8 \sin^2 x + 6 \sin x - 5 = 0$.

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$: $8t^2 + 6t - 5 = 0$.

$D = 6^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 36 + 160 = 196 = 14^2$.

$t_1 = \frac{-6 - 14}{16} = -\frac{20}{16} = -\frac{5}{4}$. Не подходит, так как $|t| > 1$.

$t_2 = \frac{-6 + 14}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене: $\sin x = \frac{1}{2}$.

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

ж) $2 \cos 2x - 3 = 8 \cos x$

$2 \cos 2x - 8 \cos x - 3 = 0$.

Используем формулу $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$:

$2(2 \cos^2 x - 1) - 8 \cos x - 3 = 0$

$4 \cos^2 x - 2 - 8 \cos x - 3 = 0$

$4 \cos^2 x - 8 \cos x - 5 = 0$.

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$: $4t^2 - 8t - 5 = 0$.

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.

$t_1 = \frac{8 - 12}{8} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$.

$t_2 = \frac{8 + 12}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$. Не подходит, так как $|t| > 1$.

Возвращаемся к замене: $\cos x = -\frac{1}{2}$.

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

з) $2 \cos 2x - 5 = 8 \sin x$

$2 \cos 2x - 8 \sin x - 5 = 0$.

Используем формулу $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$:

$2(1 - 2 \sin^2 x) - 8 \sin x - 5 = 0$

$2 - 4 \sin^2 x - 8 \sin x - 5 = 0$

$-4 \sin^2 x - 8 \sin x - 3 = 0$

$4 \sin^2 x + 8 \sin x + 3 = 0$.

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$: $4t^2 + 8t + 3 = 0$.

$D = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16 = 4^2$.

$t_1 = \frac{-8 - 4}{8} = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2}$. Не подходит, так как $|t| > 1$.

$t_2 = \frac{-8 + 4}{8} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене: $\sin x = -\frac{1}{2}$.

$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

и) $2 \sin(0,5\pi + 2x) + \cos x = 3$

Используем формулу приведения $\sin(0,5\pi + 2x) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2x) = \cos(2x)$:

$2 \cos(2x) + \cos x = 3$

$2 \cos 2x + \cos x - 3 = 0$

Используем формулу $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$:

$2(2 \cos^2 x - 1) + \cos x - 3 = 0$

$4 \cos^2 x - 2 + \cos x - 3 = 0$

$4 \cos^2 x + \cos x - 5 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$: $4t^2 + t - 5 = 0$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.

$t_1 = \frac{-1 - 9}{8} = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4}$. Не подходит, так как $|t| > 1$.

$t_2 = \frac{-1 + 9}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

Возвращаемся к замене: $\cos x = 1$.

$x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

к) $\cos x + \sin(1,5\pi + 2x) = 0$

Используем формулу приведения $\sin(1,5\pi + 2x) = \sin(\frac{3\pi}{2} + 2x) = -\cos(2x)$:

$\cos x - \cos(2x) = 0$

$\cos(2x) = \cos x$

Это уравнение идентично уравнению из пункта г). Приведем решение еще раз.

Используем формулу $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$:

$2 \cos^2 x - 1 = \cos x$

$2 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$: $2t^2 - t - 1 = 0$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$.

$t_1 = \frac{1+3}{4} = 1$, $t_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене:

1) $\cos x = 1 \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

11.20 a) $2 \cos 2x + 4 \sin x = 3$. Является ли число $\frac{5\pi}{6}$ решением этого уравнения?

б) $2 \cos 2x + 3 = 4 \cos x$. Является ли число $-\frac{7\pi}{3}$ решением этого уравнения?

а) Чтобы проверить, является ли число $x = \frac{5\pi}{6}$ решением уравнения $2 \cos 2x + 4 \sin x = 3$, нужно подставить это значение $x$ в уравнение и проверить, получится ли верное равенство.

1. Найдем значение $\sin x$ при $x = \frac{5\pi}{6}$:

$\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.

2. Найдем значение $\cos 2x$ при $x = \frac{5\pi}{6}$. Сначала вычислим $2x$:

$2x = 2 \cdot \frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$.

Теперь вычислим косинус:

$\cos(2x) = \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

3. Подставим найденные значения в левую часть уравнения:

$2 \cos 2x + 4 \sin x = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) + 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = 1 + 2 = 3$.

4. Сравним результат с правой частью уравнения:

$3 = 3$.

Так как левая часть уравнения равна правой, равенство верное.

Ответ: Да, является.

б) Чтобы проверить, является ли число $x = -\frac{7\pi}{3}$ решением уравнения $2 \cos 2x + 3 = 4 \cos x$, подставим это значение в обе части уравнения.

1. Упростим угол $x$, используя периодичность функции косинус (период $2\pi$):

$x = -\frac{7\pi}{3} = -2\pi - \frac{\pi}{3}$.

Найдем значение $\cos x$:

$\cos\left(-\frac{7\pi}{3}\right) = \cos\left(-2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$.

Так как косинус — четная функция ($\cos(-a) = \cos(a)$), то:

$\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

2. Найдем значение $\cos 2x$. Сначала вычислим $2x$:

$2x = 2 \cdot \left(-\frac{7\pi}{3}\right) = -\frac{14\pi}{3} = -4\pi - \frac{2\pi}{3}$.

Вычислим косинус двойного угла:

$\cos(2x) = \cos\left(-\frac{14\pi}{3}\right) = \cos\left(-4\pi - \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$.

$\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.

3. Подставим найденные значения в обе части уравнения и сравним их.

Левая часть: $2 \cos 2x + 3 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 3 = -1 + 3 = 2$.

Правая часть: $4 \cos x = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.

4. Сравним результаты:

$2 = 2$.

Так как левая часть уравнения равна правой, равенство верное.

Ответ: Да, является.

11.21 a) $3 \cos 2x - 5 \cos x = 1$; б) $2 \cos 2x + 4 \sin x = 3$.

Сколько решений имеет это уравнение на отрезке $[0; 2\pi]$?

Выпишите их.

а) $3 \cos 2x - 5 \cos x = 1$

Для решения данного уравнения необходимо привести его к одной тригонометрической функции. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$3(2\cos^2 x - 1) - 5 \cos x = 1$
$6\cos^2 x - 3 - 5 \cos x = 1$
Перенесем все члены в левую часть:
$6\cos^2 x - 5 \cos x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Так как область значений функции косинуса $[-1; 1]$, то и для $t$ должно выполняться условие $t \in [-1; 1]$.
Получим квадратное уравнение:
$6t^2 - 5t - 4 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 25 + 96 = 121 = 11^2$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $t \in [-1; 1]$.
Корень $t_1 = \frac{4}{3} > 1$, следовательно, он не является решением (посторонний корень).
Корень $t_2 = -\frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $-1 \le -\frac{1}{2} \le 1$.

Выполним обратную замену:
$\cos x = -\frac{1}{2}$
Общее решение этого уравнения имеет вид: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем решения, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$.
Рассмотрим две серии решений:
1) Для $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:
При $k=0$ получаем $x = \frac{2\pi}{3}$. Это значение принадлежит отрезку $[0; 2\pi]$.
2) Для $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:
При $k=1$ получаем $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$. Это значение принадлежит отрезку $[0; 2\pi]$.
При других целых значениях $k$ решения выходят за пределы указанного отрезка.

Таким образом, на отрезке $[0; 2\pi]$ уравнение имеет 2 решения.
Ответ: На отрезке $[0; 2\pi]$ уравнение имеет 2 решения: $x = \frac{2\pi}{3}$ и $x = \frac{4\pi}{3}$.

б) $2 \cos 2x + 4 \sin x = 3$

Используем формулу косинуса двойного угла, выраженную через синус: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$2(1 - 2\sin^2 x) + 4 \sin x = 3$
$2 - 4\sin^2 x + 4 \sin x = 3$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:
$-4\sin^2 x + 4 \sin x - 1 = 0$
Умножим обе части уравнения на -1, чтобы получить более удобный вид:
$4\sin^2 x - 4\sin x + 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sin x$. Учитывая, что $|\sin x| \le 1$, получаем условие $y \in [-1; 1]$.
Квадратное уравнение примет вид:
$4y^2 - 4y + 1 = 0$

Левая часть уравнения является формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(2y - 1)^2 = 0$
Отсюда следует, что $2y - 1 = 0$, то есть $y = \frac{1}{2}$.

Значение $y = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $y \in [-1; 1]$.
Выполним обратную замену:
$\sin x = \frac{1}{2}$
Общее решение этого уравнения можно записать в виде двух серий:
1) $x = \arcsin(\frac{1}{2}) + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
2) $x = \pi - \arcsin(\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем решения, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$.
1) Из серии $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ при $n=0$ получаем $x = \frac{\pi}{6}$. Это значение принадлежит отрезку $[0; 2\pi]$.
2) Из серии $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ при $n=0$ получаем $x = \frac{5\pi}{6}$. Это значение также принадлежит отрезку $[0; 2\pi]$.
При других целых значениях $n$ решения выходят за пределы указанного отрезка.

Таким образом, на отрезке $[0; 2\pi]$ уравнение имеет 2 решения.
Ответ: На отрезке $[0; 2\pi]$ уравнение имеет 2 решения: $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$.