Страница 299 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.1 Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими уравнениями?

11.1 Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими уравнениями?

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых одна из основных тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс или котангенс) от неизвестного аргумента $x$ приравнивается к некоторому известному числу $a$. Решение более сложных тригонометрических уравнений, как правило, сводится к решению одного или нескольких простейших.

Существует четыре вида простейших тригонометрических уравнений:

• Уравнение для синуса: $\sin(x) = a$

  Это уравнение имеет решения только в том случае, если значение $a$ находится в пределах отрезка $[-1; 1]$, то есть $|a| \le 1$. Если $|a| > 1$, то уравнение не имеет действительных корней, так как область значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$.

• Уравнение для косинуса: $\cos(x) = a$

  Аналогично уравнению для синуса, это уравнение имеет решения только при $|a| \le 1$. Если $|a| > 1$, решений нет.

• Уравнение для тангенса: $\tan(x) = a$

  Это уравнение имеет решения для любого действительного числа $a$, так как область значений функции тангенс — это вся числовая прямая, то есть $(-\infty; +\infty)$.

• Уравнение для котангенса: $\cot(x) = a$

  Это уравнение, как и уравнение для тангенса, имеет решения при любом действительным значении $a$.

Ответ: Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида $\sin(x) = a$, $\cos(x) = a$, $\tan(x) = a$ и $\cot(x) = a$, где $x$ — искомая переменная, а $a$ — заданное действительное число.

Решите уравнение (11.2—11.6):

11.2

а) $sin x = 1$;

б) $sin x = -1$;

в) $sin x = 0;

г) $cos x = 1$;

д) $cos x = -1$;

е) $cos x = 0;

ж) $tg x = 1$;

з) $tg x = -1$;

и) $tg x = 0;

к) $ctg x = 1$;

л) $ctg x = -1$;

м) $ctg x = 0.

а) Уравнение $\sin x = 1$ является частным случаем простейшего тригонометрического уравнения. Синус равен единице в точке, соответствующей углу $\frac{\pi}{2}$ на единичной окружности. Поскольку функция синуса периодична с периодом $2\pi$, все решения можно записать с помощью формулы $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Уравнение $\sin x = -1$ является частным случаем. Синус равен минус единице в точке, соответствующей углу $-\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$) на единичной окружности. Период функции синуса равен $2\pi$, поэтому общее решение имеет вид $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Уравнение $\sin x = 0$ является частным случаем. Синус равен нулю в точках, соответствующих углам $0$ и $\pi$ на единичной окружности. Эти точки повторяются через каждый полуоборот, то есть через $\pi$. Следовательно, все решения описываются формулой $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Уравнение $\cos x = 1$ является частным случаем. Косинус равен единице в точке, соответствующей углу $0$ на единичной окружности. Период функции косинуса равен $2\pi$, поэтому общее решение имеет вид $x = 0 + 2\pi n$, или просто $x = 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

д) Уравнение $\cos x = -1$ является частным случаем. Косинус равен минус единице в точке, соответствующей углу $\pi$ на единичной окружности. Учитывая периодичность функции косинуса ($2\pi$), все решения можно найти по формуле $x = \pi + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

е) Уравнение $\cos x = 0$ является частным случаем. Косинус равен нулю в точках, соответствующих углам $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$ на единичной окружности. Эти точки диаметрально противоположны и повторяются через каждый полуоборот ($\pi$). Таким образом, общее решение можно записать как $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

ж) Для решения уравнения $\text{tg } x = 1$ используется общая формула для уравнений вида $\text{tg } x = a$: $x = \text{arctg}(a) + \pi n$. В данном случае $a = 1$. Арктангенс единицы равен $\frac{\pi}{4}$. Период функции тангенса равен $\pi$. Следовательно, решение: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

з) Для уравнения $\text{tg } x = -1$ применяем ту же общую формулу $x = \text{arctg}(a) + \pi n$ с $a = -1$. Арктангенс минус единицы равен $-\frac{\pi}{4}$. Таким образом, решение уравнения: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

и) Уравнение $\text{tg } x = 0$ равносильно уравнению $\sin x = 0$ при условии, что $\cos x \neq 0$. Решением уравнения $\sin x = 0$ является $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $x$, $\cos x = \cos(\pi n) = (-1)^n \neq 0$, поэтому условие выполняется.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

к) Для решения уравнения $\text{ctg } x = 1$ используется общая формула для уравнений вида $\text{ctg } x = a$: $x = \text{arcctg}(a) + \pi n$. В данном случае $a = 1$. Арккотангенс единицы равен $\frac{\pi}{4}$. Период функции котангенса равен $\pi$. Следовательно, решение: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

л) Для уравнения $\text{ctg } x = -1$ применяем общую формулу $x = \text{arcctg}(a) + \pi n$ с $a = -1$. Главное значение арккотангенса минус единицы (в интервале $(0, \pi)$) равно $\frac{3\pi}{4}$. Таким образом, решение уравнения: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.
Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

м) Уравнение $\text{ctg } x = 0$ равносильно уравнению $\cos x = 0$ при условии, что $\sin x \neq 0$. Решением уравнения $\cos x = 0$ является $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $x$, $\sin x = \sin(\frac{\pi}{2} + \pi n) = (-1)^n \neq 0$, поэтому условие выполняется.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

11.3 а) $sin x = \frac{1}{2}$;

б) $sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $sin x = -\frac{1}{2}$;

д) $sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

е) $sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

ж) $cos x = \frac{1}{2}$;

з) $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

и) $cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

к) $cos x = -\frac{1}{2}$;

л) $cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

м) $cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

а) Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $sin(x) = a$. Общая формула для решения таких уравнений: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{1}{2}$. Значение арксинуса для этого числа является табличным: $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решаем уравнение $sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Используем ту же общую формулу $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Табличное значение арксинуса: $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем в формулу:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Решаем уравнение $sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Общая формула $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Табличное значение арксинуса: $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем в формулу:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Решаем уравнение $sin(x) = -\frac{1}{2}$. Используем формулу $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{1}{2}$. Используем свойство арксинуса: $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$.

$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставляем в формулу: $x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

д) Решаем уравнение $sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Используем формулу $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляем в формулу: $x = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

е) Решаем уравнение $sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Используем формулу $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

Подставляем в формулу: $x = (-1)^k (-\frac{\pi}{3}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

ж) Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $cos(x) = a$. Общая формула для решения таких уравнений: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{1}{2}$. Значение арккосинуса для этого числа является табличным: $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставляем это значение в общую формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

з) Решаем уравнение $cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Используем общую формулу $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Табличное значение арккосинуса: $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем в формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

и) Решаем уравнение $cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Используем общую формулу $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Табличное значение арккосинуса: $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем в формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

к) Решаем уравнение $cos(x) = -\frac{1}{2}$. Используем формулу $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{1}{2}$. Используем свойство арккосинуса: $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$.

$\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Подставляем в формулу: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

л) Решаем уравнение $cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Используем формулу $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляем в формулу: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

м) Решаем уравнение $cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Используем формулу $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляем в формулу: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

11.4 a) $tg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

б) $tg x = \sqrt{3}$;

в) $tg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

г) $tg x = -\sqrt{3}$;

д) $ctg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

е) $ctg x = \sqrt{3}$;

ж) $ctg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

з) $ctg x = -\sqrt{3}$.

а) Решение уравнения вида $tg x = a$ находится по общей формуле $x = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \Z$.
В данном случае $tg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Здесь $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Арктангенс этого значения является табличным: $arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставляем это значение в общую формулу:
$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \Z$.

б) Решаем уравнение $tg x = \sqrt{3}$. Общая формула для решения: $x = arctg(a) + \pi n, n \in \Z$.
Здесь $a = \sqrt{3}$. Табличное значение $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Следовательно, решение уравнения:
$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \Z$.

в) Решаем уравнение $tg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Общая формула для решения: $x = arctg(a) + \pi n, n \in \Z$.
Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Используем свойство арктангенса: $arctg(-a) = -arctg(a)$.
$arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.
Решение уравнения:
$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \Z$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \Z$.

г) Решаем уравнение $tg x = -\sqrt{3}$. Общая формула для решения: $x = arctg(a) + \pi n, n \in \Z$.
Здесь $a = -\sqrt{3}$. Используем свойство $arctg(-a) = -arctg(a)$.
$arctg(-\sqrt{3}) = -arctg(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
Решение уравнения:
$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \Z$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \Z$.

д) Решение уравнения вида $ctg x = a$ находится по общей формуле $x = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \Z$.
В данном случае $ctg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Здесь $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Арккотангенс этого значения является табличным: $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Подставляем это значение в общую формулу:
$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \Z$.

е) Решаем уравнение $ctg x = \sqrt{3}$. Общая формула для решения: $x = arcctg(a) + \pi n, n \in \Z$.
Здесь $a = \sqrt{3}$. Табличное значение $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, решение уравнения:
$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \Z$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \Z$.

ж) Решаем уравнение $ctg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Общая формула для решения: $x = arcctg(a) + \pi n, n \in \Z$.
Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Используем свойство арккотангенса: $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$.
$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Решение уравнения:
$x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \Z$.
Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \Z$.

з) Решаем уравнение $ctg x = -\sqrt{3}$. Общая формула для решения: $x = arcctg(a) + \pi n, n \in \Z$.
Здесь $a = -\sqrt{3}$. Используем свойство $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$.
$arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Решение уравнения:
$x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \Z$.
Ответ: $x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \Z$.

11.5* а) $ \sin x = \frac{1}{7} $;

б) $ \cos x = \frac{1}{3} $;

В) $ \sin x = -\frac{3}{4} $;

Г) $ \cos x = -\frac{3}{8} $;

Д) $ \tan x = \sqrt{2} $;

е) $ \cot x = 2 $;

ж) $ \tan x = -5 $;

З) $ \cot x = -4 $.

а)

Для решения уравнения вида $\sin x = a$, где $|a| \le 1$, используется общая формула: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $a = \frac{1}{7}$. Так как $|\frac{1}{7}| = \frac{1}{7} \le 1$, уравнение имеет решения.

Подставляем значение $a$ в общую формулу:

$x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{7}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\frac{1}{7}$ не является стандартным табличным значением для синуса, решение остается в таком виде.

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{7}) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Для решения уравнения вида $\cos x = a$, где $|a| \le 1$, используется общая формула: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $a = \frac{1}{3}$. Так как $|\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} \le 1$, уравнение имеет решения.

Подставляем значение $a$ в общую формулу:

$x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\frac{1}{3}$ не является стандартным табличным значением для косинуса, решение остается в таком виде.

Ответ: $x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Для решения уравнения вида $\sin x = a$, где $|a| \le 1$, используется общая формула: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $a = -\frac{3}{4}$. Так как $|-\frac{3}{4}| = \frac{3}{4} \le 1$, уравнение имеет решения.

Подставляем значение $a$ в формулу: $x = (-1)^k \arcsin(-\frac{3}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используем свойство нечетности арксинуса: $\arcsin(-y) = -\arcsin(y)$.

$x = (-1)^k (-\arcsin(\frac{3}{4})) + \pi k = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{3}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{3}{4}) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

г)

Для решения уравнения вида $\cos x = a$, где $|a| \le 1$, используется общая формула: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $a = -\frac{3}{8}$. Так как $|-\frac{3}{8}| = \frac{3}{8} \le 1$, уравнение имеет решения.

Подставляем значение $a$ в формулу: $x = \pm \arccos(-\frac{3}{8}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используем свойство арккосинуса: $\arccos(-y) = \pi - \arccos(y)$.

$x = \pm (\pi - \arccos(\frac{3}{8})) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm (\pi - \arccos(\frac{3}{8})) + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

д)

Для решения уравнения вида $\operatorname{tg} x = a$ используется общая формула: $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $a = \sqrt{2}$.

Подставляем значение $a$ в общую формулу:

$x = \operatorname{arctg}(\sqrt{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \operatorname{arctg}(\sqrt{2}) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

е)

Для решения уравнения вида $\operatorname{ctg} x = a$ используется общая формула: $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $a = 2$.

Подставляем значение $a$ в общую формулу:

$x = \operatorname{arcctg}(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \operatorname{arcctg}(2) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

ж)

Для решения уравнения вида $\operatorname{tg} x = a$ используется общая формула: $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $a = -5$.

Подставляем значение $a$ в формулу: $x = \operatorname{arctg}(-5) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используем свойство нечетности арктангенса: $\operatorname{arctg}(-y) = -\operatorname{arctg}(y)$.

$x = -\operatorname{arctg}(5) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\operatorname{arctg}(5) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

з)

Для решения уравнения вида $\operatorname{ctg} x = a$ используется общая формула: $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $a = -4$.

Подставляем значение $a$ в формулу: $x = \operatorname{arcctg}(-4) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используем свойство арккотангенса: $\operatorname{arcctg}(-y) = \pi - \operatorname{arcctg}(y)$.

$x = \pi - \operatorname{arcctg}(4) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi - \operatorname{arcctg}(4) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

11.6* a) $ \sin x = \frac{5}{4};$

б) $ \cos x = -\frac{\pi}{4};$

в) $ \sin x = \frac{\pi}{3};$

г) $ \cos x = -\frac{\sqrt{5}}{4};$

д) $ \sin x = \frac{\sqrt{17}}{4};$

е) $ \cos x = -\frac{\sqrt{5}}{2}.$

Чтобы определить, имеют ли данные тригонометрические уравнения решения, необходимо проверить, находится ли значение в правой части уравнения в пределах области значений функций синуса и косинуса. Областью значений для $y = \sin x$ и $y = \cos x$ является отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, уравнение имеет решение только в том случае, если значение в правой части принадлежит этому отрезку.

а) $\sin x = \frac{5}{4}$

Область значений функции синус: $E(\sin) = [-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного $x$ должно выполняться условие $-1 \le \sin x \le 1$.
В данном уравнении правая часть равна $\frac{5}{4}$. Преобразуем эту дробь в десятичную: $\frac{5}{4} = 1.25$.
Сравниваем значение с областью значений синуса: $1.25 > 1$.
Поскольку значение $\frac{5}{4}$ не входит в отрезок $[-1, 1]$, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: уравнение не имеет решений.

б) $\cos x = -\frac{\pi}{4}$

Область значений функции косинус: $E(\cos) = [-1, 1]$. Уравнение имеет решение, если $-1 \le -\frac{\pi}{4} \le 1$.
Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$.
Тогда значение правой части примерно равно $-\frac{3.14159}{4} \approx -0.785$.
Проверяем условие: $-1 \le -0.785 \le 1$. Неравенство верное.
Так как значение $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, данное уравнение имеет решения.

Ответ: уравнение имеет решения.

в) $\sin x = \frac{\pi}{3}$

Область значений функции синус: $E(\sin) = [-1, 1]$. Уравнение имеет решение, если $-1 \le \frac{\pi}{3} \le 1$.
Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$.
Тогда значение правой части примерно равно $\frac{3.14159}{3} \approx 1.047$.
Сравниваем значение с областью значений синуса: $1.047 > 1$.
Поскольку значение $\frac{\pi}{3}$ не входит в отрезок $[-1, 1]$, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: уравнение не имеет решений.

г) $\cos x = -\frac{\sqrt{5}}{4}$

Область значений функции косинус: $E(\cos) = [-1, 1]$. Проверим, выполняется ли условие $|-\frac{\sqrt{5}}{4}| \le 1$.
$|-\frac{\sqrt{5}}{4}| = \frac{\sqrt{5}}{4}$.
Чтобы сравнить $\frac{\sqrt{5}}{4}$ с $1$, возведем оба положительных числа в квадрат:
$(\frac{\sqrt{5}}{4})^2 = \frac{5}{16}$ и $1^2 = 1$.
Так как $5 < 16$, то $\frac{5}{16} < 1$, следовательно $\frac{\sqrt{5}}{4} < 1$.
Значение $-\frac{\sqrt{5}}{4}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, поэтому уравнение имеет решения.

Ответ: уравнение имеет решения.

д) $\sin x = \frac{\sqrt{17}}{4}$

Область значений функции синус: $E(\sin) = [-1, 1]$. Проверим, выполняется ли условие $|\frac{\sqrt{17}}{4}| \le 1$.
Чтобы сравнить $\frac{\sqrt{17}}{4}$ с $1$, возведем оба числа в квадрат:
$(\frac{\sqrt{17}}{4})^2 = \frac{17}{16}$ и $1^2 = 1$.
Так как $17 > 16$, то $\frac{17}{16} > 1$, следовательно $\frac{\sqrt{17}}{4} > 1$.
Поскольку значение $\frac{\sqrt{17}}{4}$ не входит в отрезок $[-1, 1]$, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: уравнение не имеет решений.

е) $\cos x = -\frac{\sqrt{5}}{2}$

Область значений функции косинус: $E(\cos) = [-1, 1]$. Проверим, выполняется ли условие $|-\frac{\sqrt{5}}{2}| \le 1$.
$|-\frac{\sqrt{5}}{2}| = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
Чтобы сравнить $\frac{\sqrt{5}}{2}$ с $1$, возведем оба числа в квадрат:
$(\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{5}{4}$ и $1^2 = 1$.
Так как $5 > 4$, то $\frac{5}{4} > 1$, следовательно $\frac{\sqrt{5}}{2} > 1$.
Это означает, что $-\frac{\sqrt{5}}{2} < -1$.
Поскольку значение $-\frac{\sqrt{5}}{2}$ не входит в отрезок $[-1, 1]$, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: уравнение не имеет решений.

11.7* ИССЛЕДУЕМ. При каких значениях $a$ имеет хотя бы одно решение уравнение:

а) $\sin x = a$;

б) $\cos x = a$;

в) $\operatorname{tg} x = a$;

г) $\operatorname{ctg} x = a$?

а) Уравнение $ \sin x = a $ имеет хотя бы одно решение, если значение $a$ принадлежит области значений функции $y = \sin x$. Областью значений функции синус является отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что синус любого угла не может быть по модулю больше единицы.
Таким образом, условие существования решения для данного уравнения — это $ |a| \le 1 $, или, что то же самое, $ -1 \le a \le 1 $.

Ответ: $a \in [-1; 1]$.

б) Уравнение $ \cos x = a $ имеет хотя бы одно решение, если значение $a$ принадлежит области значений функции $y = \cos x$. Областью значений функции косинус, так же как и для синуса, является отрезок $[-1; 1]$. Косинус любого угла не может быть по модулю больше единицы.
Следовательно, условие существования решения для данного уравнения — это $ |a| \le 1 $, или $ -1 \le a \le 1 $.

Ответ: $a \in [-1; 1]$.

в) Уравнение $ \text{tg} x = a $ имеет хотя бы одно решение, если значение $a$ принадлежит области значений функции $y = \text{tg} x$. Функция тангенс, определяемая как отношение $ \frac{\sin x}{\cos x} $, может принимать любое действительное значение. Когда $x$ приближается к $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $k \in \mathbb{Z}$, знаменатель $ \cos x $ стремится к нулю, а тангенс стремится к бесконечности.
Область значений функции тангенс — это множество всех действительных чисел, то есть $ (-\infty; +\infty) $. Поэтому уравнение имеет решение при любом значении $a$.

Ответ: $a \in (-\infty; +\infty)$, то есть $a$ — любое действительное число.

г) Уравнение $ \text{ctg} x = a $ имеет хотя бы одно решение, если значение $a$ принадлежит области значений функции $y = \text{ctg} x$. Функция котангенс, определяемая как отношение $ \frac{\cos x}{\sin x} $, так же как и тангенс, может принимать любое действительное значение. Когда $x$ приближается к $ \pi k $, где $k \in \mathbb{Z}$, знаменатель $ \sin x $ стремится к нулю, а котангенс стремится к бесконечности.
Область значений функции котангенс — это множество всех действительных чисел, то есть $ (-\infty; +\infty) $. Поэтому уравнение имеет решение при любом значении $a$.

Ответ: $a \in (-\infty; +\infty)$, то есть $a$ — любое действительное число.