Номер 11.6, страница 299 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.1. Простейшие тригонометрические уравнения. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.6, страница 299.

11.6* a) $ \sin x = \frac{5}{4};$

б) $ \cos x = -\frac{\pi}{4};$

в) $ \sin x = \frac{\pi}{3};$

г) $ \cos x = -\frac{\sqrt{5}}{4};$

д) $ \sin x = \frac{\sqrt{17}}{4};$

е) $ \cos x = -\frac{\sqrt{5}}{2}.$

Чтобы определить, имеют ли данные тригонометрические уравнения решения, необходимо проверить, находится ли значение в правой части уравнения в пределах области значений функций синуса и косинуса. Областью значений для $y = \sin x$ и $y = \cos x$ является отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, уравнение имеет решение только в том случае, если значение в правой части принадлежит этому отрезку.

а) $\sin x = \frac{5}{4}$

Область значений функции синус: $E(\sin) = [-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного $x$ должно выполняться условие $-1 \le \sin x \le 1$.
В данном уравнении правая часть равна $\frac{5}{4}$. Преобразуем эту дробь в десятичную: $\frac{5}{4} = 1.25$.
Сравниваем значение с областью значений синуса: $1.25 > 1$.
Поскольку значение $\frac{5}{4}$ не входит в отрезок $[-1, 1]$, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: уравнение не имеет решений.

б) $\cos x = -\frac{\pi}{4}$

Область значений функции косинус: $E(\cos) = [-1, 1]$. Уравнение имеет решение, если $-1 \le -\frac{\pi}{4} \le 1$.
Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$.
Тогда значение правой части примерно равно $-\frac{3.14159}{4} \approx -0.785$.
Проверяем условие: $-1 \le -0.785 \le 1$. Неравенство верное.
Так как значение $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, данное уравнение имеет решения.

Ответ: уравнение имеет решения.

в) $\sin x = \frac{\pi}{3}$

Область значений функции синус: $E(\sin) = [-1, 1]$. Уравнение имеет решение, если $-1 \le \frac{\pi}{3} \le 1$.
Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$.
Тогда значение правой части примерно равно $\frac{3.14159}{3} \approx 1.047$.
Сравниваем значение с областью значений синуса: $1.047 > 1$.
Поскольку значение $\frac{\pi}{3}$ не входит в отрезок $[-1, 1]$, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: уравнение не имеет решений.

г) $\cos x = -\frac{\sqrt{5}}{4}$

Область значений функции косинус: $E(\cos) = [-1, 1]$. Проверим, выполняется ли условие $|-\frac{\sqrt{5}}{4}| \le 1$.
$|-\frac{\sqrt{5}}{4}| = \frac{\sqrt{5}}{4}$.
Чтобы сравнить $\frac{\sqrt{5}}{4}$ с $1$, возведем оба положительных числа в квадрат:
$(\frac{\sqrt{5}}{4})^2 = \frac{5}{16}$ и $1^2 = 1$.
Так как $5 < 16$, то $\frac{5}{16} < 1$, следовательно $\frac{\sqrt{5}}{4} < 1$.
Значение $-\frac{\sqrt{5}}{4}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, поэтому уравнение имеет решения.

Ответ: уравнение имеет решения.

д) $\sin x = \frac{\sqrt{17}}{4}$

Область значений функции синус: $E(\sin) = [-1, 1]$. Проверим, выполняется ли условие $|\frac{\sqrt{17}}{4}| \le 1$.
Чтобы сравнить $\frac{\sqrt{17}}{4}$ с $1$, возведем оба числа в квадрат:
$(\frac{\sqrt{17}}{4})^2 = \frac{17}{16}$ и $1^2 = 1$.
Так как $17 > 16$, то $\frac{17}{16} > 1$, следовательно $\frac{\sqrt{17}}{4} > 1$.
Поскольку значение $\frac{\sqrt{17}}{4}$ не входит в отрезок $[-1, 1]$, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: уравнение не имеет решений.

е) $\cos x = -\frac{\sqrt{5}}{2}$

Область значений функции косинус: $E(\cos) = [-1, 1]$. Проверим, выполняется ли условие $|-\frac{\sqrt{5}}{2}| \le 1$.
$|-\frac{\sqrt{5}}{2}| = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
Чтобы сравнить $\frac{\sqrt{5}}{2}$ с $1$, возведем оба числа в квадрат:
$(\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{5}{4}$ и $1^2 = 1$.
Так как $5 > 4$, то $\frac{5}{4} > 1$, следовательно $\frac{\sqrt{5}}{2} > 1$.
Это означает, что $-\frac{\sqrt{5}}{2} < -1$.
Поскольку значение $-\frac{\sqrt{5}}{2}$ не входит в отрезок $[-1, 1]$, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: уравнение не имеет решений.