Номер 11.13, страница 303 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.2. Уравнения, сводящиеся к простейшим. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.13, страница 303.

11.13 а) $sin 2x = \frac{1}{2}$;

б) $sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $sin \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $cos 3x = -\frac{1}{2}$;

д) $cos \frac{x}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

е) $cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

ж) $tg 3x = \sqrt{3}$;

з) $tg \left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

и) $tg \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) = -\sqrt{3}$;

к) $ctg \left(3x - \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$;

л) $ctg \left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

м) $ctg \left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = -\sqrt{3}$.

а)

Дано уравнение $sin(2x) = \frac{1}{2}$.

Общее решение уравнения $sin(y) = a$ имеет вид $y = (-1)^n arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $y=2x$ и $a=\frac{1}{2}$.

Арксинус $\frac{1}{2}$ равен $\frac{\pi}{6}$.

Следовательно, $2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $sin(\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используем общую формулу решения $y = (-1)^n arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $y=\frac{x}{2}$ и $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Арксинус $\frac{\sqrt{2}}{2}$ равен $\frac{\pi}{4}$.

Получаем: $\frac{x}{2} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$.

Умножим обе части на 2:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $sin(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Аргумент синуса $2x - \frac{\pi}{3}$. Арксинус $\frac{\sqrt{3}}{2}$ равен $\frac{\pi}{3}$.

$2x - \frac{\pi}{3} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Перенесем $\frac{\pi}{3}$ в правую часть:

$2x = \frac{\pi}{3} + (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Разделим на 2:

$x = \frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $cos(3x) = -\frac{1}{2}$.

Общее решение уравнения $cos(y) = a$ имеет вид $y = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $y=3x$ и $a=-\frac{1}{2}$.

Арккосинус $-\frac{1}{2}$ равен $\frac{2\pi}{3}$.

Следовательно, $3x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Разделим на 3:

$x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

д)

Дано уравнение $cos(\frac{x}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используем общую формулу $y = \pm arccos(a) + 2\pi n$.

Здесь $y=\frac{x}{2}$ и $a=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Арккосинус $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ равен $\frac{3\pi}{4}$.

Получаем: $\frac{x}{2} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

Умножим на 2:

$x = \pm \frac{3\pi}{2} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{2} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

е)

Дано уравнение $cos(x + \frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Аргумент косинуса $x + \frac{\pi}{6}$. Арккосинус $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ равен $\frac{5\pi}{6}$.

$x + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из обеих частей:

$x = -\frac{\pi}{6} \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

Рассмотрим два случая:

1) $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = \frac{4\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

2) $x = -\frac{\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{6\pi}{6} + 2\pi n = -\pi + 2\pi n$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ (или $x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, x_2 = -\pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$).

ж)

Дано уравнение $tg(3x) = \sqrt{3}$.

Общее решение уравнения $tg(y) = a$ имеет вид $y = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $y=3x$ и $a=\sqrt{3}$.

Арктангенс $\sqrt{3}$ равен $\frac{\pi}{3}$.

$3x = \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Разделим на 3:

$x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

з)

Дано уравнение $tg(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Арктангенс $\frac{\sqrt{3}}{3}$ равен $\frac{\pi}{6}$.

$\frac{x}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Перенесем $\frac{\pi}{6}$ вправо:

$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{2\pi}{6} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Умножим на 3:

$x = \pi + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

и)

Дано уравнение $tg(\frac{\pi}{4} - 2x) = -\sqrt{3}$.

Арктангенс $-\sqrt{3}$ равен $-\frac{\pi}{3}$.

$\frac{\pi}{4} - 2x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выразим $-2x$:

$-2x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \pi n = -\frac{4\pi+3\pi}{12} + \pi n = -\frac{7\pi}{12} + \pi n$.

Разделим на -2:

$x = \frac{7\pi}{24} - \frac{\pi n}{2}$. Так как $n$ - любое целое число, знак перед вторым слагаемым можно изменить на плюс.

$x = \frac{7\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{7\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

к)

Дано уравнение $ctg(3x - \frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.

Общее решение уравнения $ctg(y) = a$ имеет вид $y = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Арккотангенс $\sqrt{3}$ равен $\frac{\pi}{6}$.

$3x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + \pi n$.

$3x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{2\pi}{6} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$.

$x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

л)

Дано уравнение $ctg(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Арккотангенс $\frac{\sqrt{3}}{3}$ равен $\frac{\pi}{3}$.

$\frac{x}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi n$.

$x = 2\pi + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

м)

Дано уравнение $ctg(\frac{\pi}{6} - 2x) = -\sqrt{3}$.

Арккотангенс $-\sqrt{3}$ равен $\frac{5\pi}{6}$.

$\frac{\pi}{6} - 2x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$-2x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{4\pi}{6} + \pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi n$.

Разделим на -2:

$x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi n}{2}$. Заменим $-n$ на $k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.