Номер 11.14, страница 303 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.2. Уравнения, сводящиеся к простейшим. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.14, страница 303.

11.14* a) $\sin^2 x = \frac{1}{3};$

б) $\cos^2 x = \frac{1}{5};$

в) $\sin^2 x = \frac{1}{5};$

г) $\cos^2 x = \frac{1}{3};$

д) $\operatorname{tg}^2 x = 4;$

е) $\operatorname{ctg}^2 x = 2.$

а) Для решения уравнения $sin^2 x = \frac{1}{3}$ воспользуемся формулой понижения степени $sin^2 x = \frac{1 - cos(2x)}{2}$.
Подставим значение $sin^2 x$ в формулу:
$\frac{1 - cos(2x)}{2} = \frac{1}{3}$
Умножим обе части на 2:
$1 - cos(2x) = \frac{2}{3}$
Выразим $cos(2x)$:
$cos(2x) = 1 - \frac{2}{3}$
$cos(2x) = \frac{1}{3}$
Теперь решим полученное простейшее тригонометрическое уравнение относительно $2x$:
$2x = \pm arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = \pm \frac{1}{2} arccos\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{1}{2} arccos\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) Для решения уравнения $cos^2 x = \frac{1}{5}$ воспользуемся формулой понижения степени $cos^2 x = \frac{1 + cos(2x)}{2}$.
Подставим значение $cos^2 x$ в формулу:
$\frac{1 + cos(2x)}{2} = \frac{1}{5}$
Умножим обе части на 2:
$1 + cos(2x) = \frac{2}{5}$
Выразим $cos(2x)$:
$cos(2x) = \frac{2}{5} - 1$
$cos(2x) = -\frac{3}{5}$
Решим уравнение относительно $2x$:
$2x = \pm arccos\left(-\frac{3}{5}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = \pm \frac{1}{2} arccos\left(-\frac{3}{5}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{1}{2} arccos\left(-\frac{3}{5}\right) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) Решаем уравнение $sin^2 x = \frac{1}{5}$, используя формулу понижения степени $sin^2 x = \frac{1 - cos(2x)}{2}$.
$\frac{1 - cos(2x)}{2} = \frac{1}{5}$
$1 - cos(2x) = \frac{2}{5}$
$cos(2x) = 1 - \frac{2}{5}$
$cos(2x) = \frac{3}{5}$
Решаем для $2x$:
$2x = \pm arccos\left(\frac{3}{5}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Находим $x$:
$x = \pm \frac{1}{2} arccos\left(\frac{3}{5}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{1}{2} arccos\left(\frac{3}{5}\right) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) Решаем уравнение $cos^2 x = \frac{1}{3}$, используя формулу понижения степени $cos^2 x = \frac{1 + cos(2x)}{2}$.
$\frac{1 + cos(2x)}{2} = \frac{1}{3}$
$1 + cos(2x) = \frac{2}{3}$
$cos(2x) = \frac{2}{3} - 1$
$cos(2x) = -\frac{1}{3}$
Решаем для $2x$:
$2x = \pm arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Находим $x$:
$x = \pm \frac{1}{2} arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{1}{2} arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

д) Дано уравнение $tg^2 x = 4$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$tg x = \pm \sqrt{4}$
$tg x = \pm 2$
Это уравнение распадается на два случая:
1) $tg x = 2 \implies x = arctg(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $tg x = -2 \implies x = arctg(-2) + \pi k = -arctg(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Объединяя эти две серии решений, получаем общую формулу:
$x = \pm arctg(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm arctg(2) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

е) Дано уравнение $ctg^2 x = 2$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$ctg x = \pm \sqrt{2}$
Это уравнение распадается на два случая:
1) $ctg x = \sqrt{2} \implies x = arcctg(\sqrt{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $ctg x = -\sqrt{2} \implies x = arcctg(-\sqrt{2}) + \pi k = \pi - arcctg(\sqrt{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Эти две серии решений можно представить в виде одной общей формулы:
$x = \pm arcctg(\sqrt{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm arcctg(\sqrt{2}) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.