Номер 11.9, страница 302 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087768-8

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

11.2. Уравнения, сводящиеся к простейшим. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.9, страница 302.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№11.9 (с. 302)
Условие. №11.9 (с. 302)
скриншот условия
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 302, номер 11.9, Условие

11.9 а) $sin^2 x = 1$;

б) $cos^2 x = 1$;

в) $tg^2 x = 1$;

г) $ctg^2 x = 1$;

д) $sin^2 x = \frac{1}{4}$;

е) $cos^2 x = \frac{1}{4}$;

ж) $tg^2 x = 3$;

з) $ctg^2 x = \frac{1}{3}$;

и) $sin^2 x = \frac{1}{2}$;

к) $cos^2 x = \frac{3}{4}$;

л) $ctg^2 x = 3$;

м) $tg^2 x = \frac{1}{3}$.

Решение 1. №11.9 (с. 302)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 302, номер 11.9, Решение 1 Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 302, номер 11.9, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 302, номер 11.9, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 302, номер 11.9, Решение 1 (продолжение 4) Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 302, номер 11.9, Решение 1 (продолжение 5) Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 302, номер 11.9, Решение 1 (продолжение 6) Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 302, номер 11.9, Решение 1 (продолжение 7) Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 302, номер 11.9, Решение 1 (продолжение 8) Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 302, номер 11.9, Решение 1 (продолжение 9) Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 302, номер 11.9, Решение 1 (продолжение 10) Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 302, номер 11.9, Решение 1 (продолжение 11) Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 302, номер 11.9, Решение 1 (продолжение 12)
Решение 2. №11.9 (с. 302)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 302, номер 11.9, Решение 2
Решение 3. №11.9 (с. 302)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 302, номер 11.9, Решение 3
Решение 4. №11.9 (с. 302)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 302, номер 11.9, Решение 4 Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 302, номер 11.9, Решение 4 (продолжение 2) Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 302, номер 11.9, Решение 4 (продолжение 3)
Решение 5. №11.9 (с. 302)

а)

Дано уравнение $\sin^2 x = 1$.

Для решения воспользуемся формулой понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

Подставим ее в уравнение:

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = 1$

$1 - \cos(2x) = 2$

$\cos(2x) = -1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Аргумент косинуса равен:

$2x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $\cos^2 x = 1$.

Воспользуемся формулой понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} = 1$

$1 + \cos(2x) = 2$

$\cos(2x) = 1$

Это частный случай. Аргумент косинуса равен:

$2x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем $x$:

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $\text{tg}^2 x = 1$.

Извлекая квадратный корень, получаем:

$\text{tg} x = \pm 1$.

Это можно разбить на два уравнения:

1) $\text{tg} x = 1$, откуда $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{tg} x = -1$, откуда $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Также можно заметить, что решения на тригонометрическом круге ($\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \dots$) отстоят друг от друга на $\frac{\pi}{2}$. Поэтому решение можно записать как:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $\text{ctg}^2 x = 1$.

Извлекаем квадратный корень:

$\text{ctg} x = \pm 1$.

1) $\text{ctg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{ctg} x = -1 \implies x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решения идентичны решению для $\text{tg}^2 x = 1$. Объединенная формула:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

д)

Дано уравнение $\sin^2 x = \frac{1}{4}$.

Используем формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{4}$

$1 - \cos(2x) = \frac{1}{2}$

$\cos(2x) = \frac{1}{2}$

Решаем уравнение относительно $2x$:

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Делим на 2:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

е)

Дано уравнение $\cos^2 x = \frac{1}{4}$.

Используем формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{4}$

$1 + \cos(2x) = \frac{1}{2}$

$\cos(2x) = -\frac{1}{2}$

Решаем уравнение относительно $2x$:

$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Делим на 2:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

ж)

Дано уравнение $\text{tg}^2 x = 3$.

Извлекаем квадратный корень:

$\text{tg} x = \pm \sqrt{3}$.

Это дает две серии решений:

1) $\text{tg} x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{tg} x = -\sqrt{3} \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединенное решение:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

з)

Дано уравнение $\text{ctg}^2 x = \frac{1}{3}$.

Извлекаем квадратный корень:

$\text{ctg} x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

1) $\text{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \implies x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$. Решения можно объединить в одну формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

и)

Дано уравнение $\sin^2 x = \frac{1}{2}$.

Применим формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2}$

$1 - \cos(2x) = 1$

$\cos(2x) = 0$

Решаем частный случай:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Делим на 2:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

к)

Дано уравнение $\cos^2 x = \frac{3}{4}$.

Применим формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{3}{4}$

$1 + \cos(2x) = \frac{3}{2}$

$\cos(2x) = \frac{1}{2}$

Решаем уравнение для $2x$:

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Делим на 2:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

л)

Дано уравнение $\text{ctg}^2 x = 3$.

Извлекаем квадратный корень:

$\text{ctg} x = \pm \sqrt{3}$.

1) $\text{ctg} x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{ctg} x = -\sqrt{3} \implies x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения, получаем:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

м)

Дано уравнение $\text{tg}^2 x = \frac{1}{3}$.

Извлекаем квадратный корень:

$\text{tg} x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

1) $\text{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \implies x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединяем в одну формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 11.9 расположенного на странице 302 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.9 (с. 302), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться