Номер 11.9, страница 302 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
11.2. Уравнения, сводящиеся к простейшим. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.9, страница 302.
№11.9 (с. 302)
Условие. №11.9 (с. 302)
скриншот условия

11.9 а) $sin^2 x = 1$;
б) $cos^2 x = 1$;
в) $tg^2 x = 1$;
г) $ctg^2 x = 1$;
д) $sin^2 x = \frac{1}{4}$;
е) $cos^2 x = \frac{1}{4}$;
ж) $tg^2 x = 3$;
з) $ctg^2 x = \frac{1}{3}$;
и) $sin^2 x = \frac{1}{2}$;
к) $cos^2 x = \frac{3}{4}$;
л) $ctg^2 x = 3$;
м) $tg^2 x = \frac{1}{3}$.
Решение 1. №11.9 (с. 302)












Решение 2. №11.9 (с. 302)

Решение 3. №11.9 (с. 302)

Решение 4. №11.9 (с. 302)



Решение 5. №11.9 (с. 302)
а)
Дано уравнение $\sin^2 x = 1$.
Для решения воспользуемся формулой понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.
Подставим ее в уравнение:
$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = 1$
$1 - \cos(2x) = 2$
$\cos(2x) = -1$
Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Аргумент косинуса равен:
$2x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б)
Дано уравнение $\cos^2 x = 1$.
Воспользуемся формулой понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.
$\frac{1 + \cos(2x)}{2} = 1$
$1 + \cos(2x) = 2$
$\cos(2x) = 1$
Это частный случай. Аргумент косинуса равен:
$2x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем $x$:
$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
в)
Дано уравнение $\text{tg}^2 x = 1$.
Извлекая квадратный корень, получаем:
$\text{tg} x = \pm 1$.
Это можно разбить на два уравнения:
1) $\text{tg} x = 1$, откуда $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\text{tg} x = -1$, откуда $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Эти две серии решений можно объединить в одну формулу:
$x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Также можно заметить, что решения на тригонометрическом круге ($\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \dots$) отстоят друг от друга на $\frac{\pi}{2}$. Поэтому решение можно записать как:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
г)
Дано уравнение $\text{ctg}^2 x = 1$.
Извлекаем квадратный корень:
$\text{ctg} x = \pm 1$.
1) $\text{ctg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\text{ctg} x = -1 \implies x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Решения идентичны решению для $\text{tg}^2 x = 1$. Объединенная формула:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
д)
Дано уравнение $\sin^2 x = \frac{1}{4}$.
Используем формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.
$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{4}$
$1 - \cos(2x) = \frac{1}{2}$
$\cos(2x) = \frac{1}{2}$
Решаем уравнение относительно $2x$:
$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Делим на 2:
$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
е)
Дано уравнение $\cos^2 x = \frac{1}{4}$.
Используем формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.
$\frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{4}$
$1 + \cos(2x) = \frac{1}{2}$
$\cos(2x) = -\frac{1}{2}$
Решаем уравнение относительно $2x$:
$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Делим на 2:
$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
ж)
Дано уравнение $\text{tg}^2 x = 3$.
Извлекаем квадратный корень:
$\text{tg} x = \pm \sqrt{3}$.
Это дает две серии решений:
1) $\text{tg} x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\text{tg} x = -\sqrt{3} \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Объединенное решение:
$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
з)
Дано уравнение $\text{ctg}^2 x = \frac{1}{3}$.
Извлекаем квадратный корень:
$\text{ctg} x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.
1) $\text{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\text{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \implies x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Заметим, что $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$. Решения можно объединить в одну формулу:
$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
и)
Дано уравнение $\sin^2 x = \frac{1}{2}$.
Применим формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.
$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2}$
$1 - \cos(2x) = 1$
$\cos(2x) = 0$
Решаем частный случай:
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Делим на 2:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
к)
Дано уравнение $\cos^2 x = \frac{3}{4}$.
Применим формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.
$\frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{3}{4}$
$1 + \cos(2x) = \frac{3}{2}$
$\cos(2x) = \frac{1}{2}$
Решаем уравнение для $2x$:
$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Делим на 2:
$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
л)
Дано уравнение $\text{ctg}^2 x = 3$.
Извлекаем квадратный корень:
$\text{ctg} x = \pm \sqrt{3}$.
1) $\text{ctg} x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\text{ctg} x = -\sqrt{3} \implies x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Объединяя решения, получаем:
$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
м)
Дано уравнение $\text{tg}^2 x = \frac{1}{3}$.
Извлекаем квадратный корень:
$\text{tg} x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.
1) $\text{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\text{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \implies x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Объединяем в одну формулу:
$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 11.9 расположенного на странице 302 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.9 (с. 302), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.