Номер 11.9, страница 302 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. 11.2. Уравнения, сводящиеся к простейшим - номер 11.9, страница 302.

Условие.

11.9 а) $sin^2 x = 1$;

б) $cos^2 x = 1$;

в) $tg^2 x = 1$;

г) $ctg^2 x = 1$;

д) $sin^2 x = \frac{1}{4}$;

е) $cos^2 x = \frac{1}{4}$;

ж) $tg^2 x = 3$;

з) $ctg^2 x = \frac{1}{3}$;

и) $sin^2 x = \frac{1}{2}$;

к) $cos^2 x = \frac{3}{4}$;

л) $ctg^2 x = 3$;

м) $tg^2 x = \frac{1}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Дано уравнение $\sin^2 x = 1$.

Для решения воспользуемся формулой понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

Подставим ее в уравнение:

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = 1$

$1 - \cos(2x) = 2$

$\cos(2x) = -1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Аргумент косинуса равен:

$2x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $\cos^2 x = 1$.

Воспользуемся формулой понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} = 1$

$1 + \cos(2x) = 2$

$\cos(2x) = 1$

Это частный случай. Аргумент косинуса равен:

$2x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем $x$:

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $\text{tg}^2 x = 1$.

Извлекая квадратный корень, получаем:

$\text{tg} x = \pm 1$.

Это можно разбить на два уравнения:

1) $\text{tg} x = 1$, откуда $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{tg} x = -1$, откуда $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Также можно заметить, что решения на тригонометрическом круге ($\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \dots$) отстоят друг от друга на $\frac{\pi}{2}$. Поэтому решение можно записать как:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $\text{ctg}^2 x = 1$.

Извлекаем квадратный корень:

$\text{ctg} x = \pm 1$.

1) $\text{ctg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{ctg} x = -1 \implies x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решения идентичны решению для $\text{tg}^2 x = 1$. Объединенная формула:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

д)

Дано уравнение $\sin^2 x = \frac{1}{4}$.

Используем формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{4}$

$1 - \cos(2x) = \frac{1}{2}$

$\cos(2x) = \frac{1}{2}$

Решаем уравнение относительно $2x$:

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Делим на 2:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

е)

Дано уравнение $\cos^2 x = \frac{1}{4}$.

Используем формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{4}$

$1 + \cos(2x) = \frac{1}{2}$

$\cos(2x) = -\frac{1}{2}$

Решаем уравнение относительно $2x$:

$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Делим на 2:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

ж)

Дано уравнение $\text{tg}^2 x = 3$.

Извлекаем квадратный корень:

$\text{tg} x = \pm \sqrt{3}$.

Это дает две серии решений:

1) $\text{tg} x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{tg} x = -\sqrt{3} \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединенное решение:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

з)

Дано уравнение $\text{ctg}^2 x = \frac{1}{3}$.

Извлекаем квадратный корень:

$\text{ctg} x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

1) $\text{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \implies x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$. Решения можно объединить в одну формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

и)

Дано уравнение $\sin^2 x = \frac{1}{2}$.

Применим формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2}$

$1 - \cos(2x) = 1$

$\cos(2x) = 0$

Решаем частный случай:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Делим на 2:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

к)

Дано уравнение $\cos^2 x = \frac{3}{4}$.

Применим формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{3}{4}$

$1 + \cos(2x) = \frac{3}{2}$

$\cos(2x) = \frac{1}{2}$

Решаем уравнение для $2x$:

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Делим на 2:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

л)

Дано уравнение $\text{ctg}^2 x = 3$.

Извлекаем квадратный корень:

$\text{ctg} x = \pm \sqrt{3}$.

1) $\text{ctg} x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{ctg} x = -\sqrt{3} \implies x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения, получаем:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

м)

Дано уравнение $\text{tg}^2 x = \frac{1}{3}$.

Извлекаем квадратный корень:

$\text{tg} x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

1) $\text{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \implies x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединяем в одну формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.