Номер 11.5, страница 299 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. 11.1. Простейшие тригонометрические уравнения - номер 11.5, страница 299.

Условие.

11.5* а) $ \sin x = \frac{1}{7} $;

б) $ \cos x = \frac{1}{3} $;

В) $ \sin x = -\frac{3}{4} $;

Г) $ \cos x = -\frac{3}{8} $;

Д) $ \tan x = \sqrt{2} $;

е) $ \cot x = 2 $;

ж) $ \tan x = -5 $;

З) $ \cot x = -4 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Для решения уравнения вида $\sin x = a$, где $|a| \le 1$, используется общая формула: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $a = \frac{1}{7}$. Так как $|\frac{1}{7}| = \frac{1}{7} \le 1$, уравнение имеет решения.

Подставляем значение $a$ в общую формулу:

$x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{7}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\frac{1}{7}$ не является стандартным табличным значением для синуса, решение остается в таком виде.

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{7}) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Для решения уравнения вида $\cos x = a$, где $|a| \le 1$, используется общая формула: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $a = \frac{1}{3}$. Так как $|\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} \le 1$, уравнение имеет решения.

Подставляем значение $a$ в общую формулу:

$x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\frac{1}{3}$ не является стандартным табличным значением для косинуса, решение остается в таком виде.

Ответ: $x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Для решения уравнения вида $\sin x = a$, где $|a| \le 1$, используется общая формула: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $a = -\frac{3}{4}$. Так как $|-\frac{3}{4}| = \frac{3}{4} \le 1$, уравнение имеет решения.

Подставляем значение $a$ в формулу: $x = (-1)^k \arcsin(-\frac{3}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используем свойство нечетности арксинуса: $\arcsin(-y) = -\arcsin(y)$.

$x = (-1)^k (-\arcsin(\frac{3}{4})) + \pi k = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{3}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{3}{4}) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

г)

Для решения уравнения вида $\cos x = a$, где $|a| \le 1$, используется общая формула: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $a = -\frac{3}{8}$. Так как $|-\frac{3}{8}| = \frac{3}{8} \le 1$, уравнение имеет решения.

Подставляем значение $a$ в формулу: $x = \pm \arccos(-\frac{3}{8}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используем свойство арккосинуса: $\arccos(-y) = \pi - \arccos(y)$.

$x = \pm (\pi - \arccos(\frac{3}{8})) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm (\pi - \arccos(\frac{3}{8})) + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

д)

Для решения уравнения вида $\operatorname{tg} x = a$ используется общая формула: $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $a = \sqrt{2}$.

Подставляем значение $a$ в общую формулу:

$x = \operatorname{arctg}(\sqrt{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \operatorname{arctg}(\sqrt{2}) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

е)

Для решения уравнения вида $\operatorname{ctg} x = a$ используется общая формула: $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $a = 2$.

Подставляем значение $a$ в общую формулу:

$x = \operatorname{arcctg}(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \operatorname{arcctg}(2) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

ж)

Для решения уравнения вида $\operatorname{tg} x = a$ используется общая формула: $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $a = -5$.

Подставляем значение $a$ в формулу: $x = \operatorname{arctg}(-5) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используем свойство нечетности арктангенса: $\operatorname{arctg}(-y) = -\operatorname{arctg}(y)$.

$x = -\operatorname{arctg}(5) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\operatorname{arctg}(5) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

з)

Для решения уравнения вида $\operatorname{ctg} x = a$ используется общая формула: $x = \operatorname{arcctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $a = -4$.

Подставляем значение $a$ в формулу: $x = \operatorname{arcctg}(-4) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используем свойство арккотангенса: $\operatorname{arcctg}(-y) = \pi - \operatorname{arcctg}(y)$.

$x = \pi - \operatorname{arcctg}(4) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi - \operatorname{arcctg}(4) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.