Номер 11.11, страница 302 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.2. Уравнения, сводящиеся к простейшим. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.11, страница 302.

11.11* a) $ \text{tg}^2 x - \frac{1}{\text{tg}^2 x - 1} = 2,5; $

б) $ 3 \text{tg}^2 x + \frac{1}{\text{tg}^2 x - 1} = -0,5. $

a) $\text{tg}^2 x - \frac{1}{\text{tg}^2 x - 1} = 2,5$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$\text{tg}^2 x - 1 \neq 0$, откуда $\text{tg}^2 x \neq 1$, то есть $\text{tg} x \neq \pm 1$.

Это означает, что $x \neq \pm \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Также, тангенс должен быть определен, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \text{tg}^2 x$. Так как $\text{tg}^2 x \ge 0$, то $y \ge 0$. С учетом ОДЗ, $y \neq 1$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$y - \frac{1}{y - 1} = 2,5$

Умножим обе части уравнения на $(y-1)$, так как мы знаем, что $y-1 \neq 0$:

$y(y - 1) - 1 = 2,5(y - 1)$

$y^2 - y - 1 = 2,5y - 2,5$

Перенесем все члены в левую часть:

$y^2 - y - 2,5y - 1 + 2,5 = 0$

$y^2 - 3,5y + 1,5 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$2y^2 - 7y + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Оба корня удовлетворяют условиям $y \ge 0$ и $y \neq 1$.

Теперь выполним обратную замену.

1. Если $y = 3$:

$\text{tg}^2 x = 3$

$\text{tg} x = \pm \sqrt{3}$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2. Если $y = 0,5$:

$\text{tg}^2 x = 0,5 = \frac{1}{2}$

$\text{tg} x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = \pm \text{arctg}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Все найденные серии корней удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \text{arctg}\frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $3 \text{tg}^2 x + \frac{1}{\text{tg}^2 x - 1} = -0,5$

ОДЗ такое же, как и в предыдущем пункте: $\text{tg}^2 x \neq 1$, то есть $x \neq \pm \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, и $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Выполним замену $y = \text{tg}^2 x$, где $y \ge 0$ и $y \neq 1$.

Получаем уравнение:

$3y + \frac{1}{y - 1} = -0,5$

Умножим обе части на $(y-1)$:

$3y(y - 1) + 1 = -0,5(y - 1)$

$3y^2 - 3y + 1 = -0,5y + 0,5$

Перенесем все члены в левую часть:

$3y^2 - 3y + 0,5y + 1 - 0,5 = 0$

$3y^2 - 2,5y + 0,5 = 0$

Умножим уравнение на 2:

$6y^2 - 5y + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Оба корня удовлетворяют условиям $y \ge 0$ и $y \neq 1$.

Выполним обратную замену.

1. Если $y = \frac{1}{3}$:

$\text{tg}^2 x = \frac{1}{3}$

$\text{tg} x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2. Если $y = \frac{1}{2}$:

$\text{tg}^2 x = \frac{1}{2}$

$\text{tg} x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = \pm \text{arctg}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Все найденные серии корней удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \text{arctg}\frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.