Номер 11.18, страница 306 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. 11.3. Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений - номер 11.18, страница 306.

Условие.

11.18* а) $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x = -\frac{1}{2}$;

б) $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

в) $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 2$;

г) $\sqrt{2} \cos x + \sqrt{2} \sin x = 1$;

д) $\sin x + \cos x = -1$;

е) $\cos x + \sin x = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Дано уравнение $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x = -\frac{1}{2}$.

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$. Для его решения применим метод введения вспомогательного угла. Коэффициенты при $\sin x$ и $\cos x$ являются значениями синуса и косинуса известных углов. Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3})$ и $\frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\sin x \sin(\frac{\pi}{3}) - \cos x \cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

Вынесем минус за скобки в левой части:

$-(\cos x \cos(\frac{\pi}{3}) - \sin x \sin(\frac{\pi}{3})) = -\frac{1}{2}$

Используем формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$:

$-\cos(x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

$\cos(x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Теперь решим это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\cos t = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x + \frac{\pi}{3} = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n$

$x + \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Разобьем решение на две серии:

1) $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

2) $x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\pi n$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Аналогично предыдущему пункту, используем метод введения вспомогательного угла. Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})$ и $\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\sin x \cos(\frac{\pi}{6}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Используем формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$:

$\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение для $\sin t = a$ имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Или его можно представить в виде двух серий решений.

$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ или $x + \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим каждую серию:

1) $x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

2) $x + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{4\pi - \pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 2$.

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=1, b=-\sqrt{3}, c=2$.

Найдем вспомогательный множитель $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Разделим обе части уравнения на $R=2$:

$\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = 1$

Заметим, что $\frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3})$.

$\sin x \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{3}) = 1$

Используем формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$:

$\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{3\pi+2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

Ответ: $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $\sqrt{2} \cos x + \sqrt{2} \sin x = 1$.

Перепишем в стандартном виде $\sqrt{2} \sin x + \sqrt{2} \cos x = 1$. Здесь $a=\sqrt{2}, b=\sqrt{2}$.

Найдем вспомогательный множитель $R = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$.

Разделим обе части уравнения на $R=2$:

$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{1}{2}$

Заметим, что $\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos(\frac{\pi}{4})$ и $\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin(\frac{\pi}{4})$.

$\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$

Используем формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$:

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения можно найти из двух серий:

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим каждую серию:

1) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{2\pi - 3\pi}{12} + 2\pi n = -\frac{\pi}{12} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

2) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{10\pi - 3\pi}{12} + 2\pi n = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi n$, $x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

д)

Дано уравнение $\sin x + \cos x = -1$.

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=1, b=1$.

Найдем вспомогательный множитель $R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Заметим, что $\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin(\frac{\pi}{4})$ и $\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos(\frac{\pi}{4})$.

$\sin x \sin(\frac{\pi}{4}) + \cos x \cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Используем формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$:

$\cos(x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Решим это уравнение. $t = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

$x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Разобьем решение на две серии:

1) $x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \pi + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

2) $x - \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \implies x = -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pi + 2\pi n$, $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

е)

Дано уравнение $\cos x + \sin x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перенесем $\cos x$ в правую часть:

$\sin x = -\cos x$

Заметим, что если $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin x = 0$. Однако, синус и косинус одного и того же угла не могут быть одновременно равны нулю, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} = -1$

$\tan x = -1$

Решение этого простейшего тригонометрического уравнения:

$x = \arctan(-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.