Номер 11.15, страница 306 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.3. Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.15, страница 306.

Решите уравнение (11.15—11.23):

11.15 a) $2 \sin^2 x = 3 \cos x;$

б) $2 \cos^2 x + 3 \sin x = 0;$

в) $2 \cos^2 x + 2 \cos x + \sin^2 x = 0;$

г) $\sin^2 x + 2 \cos x - 2 = 0.$

а) $2 \sin^2 x = 3 \cos x$

Для решения этого уравнения приведем его к одной тригонометрической функции. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2(1 - \cos^2 x) = 3 \cos x$

Раскроем скобки:

$2 - 2 \cos^2 x = 3 \cos x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\cos x$:

$2 \cos^2 x + 3 \cos x - 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Так как область значений функции косинус от -1 до 1, то $|t| \le 1$.

$2t^2 + 3t - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1) $\cos x = t_1 = \frac{1}{2}$. Это значение удовлетворяет условию $|\cos x| \le 1$. Решения этого уравнения:

$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = t_2 = -2$. Это уравнение не имеет решений, так как $-2$ не входит в область значений функции косинус.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $2 \cos^2 x + 3 \sin x = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к функции синуса.

Подставим в уравнение:

$2(1 - \sin^2 x) + 3 \sin x = 0$

$2 - 2 \sin^2 x + 3 \sin x = 0$

Умножим уравнение на -1 и упорядочим члены:

$2 \sin^2 x - 3 \sin x - 2 = 0$

Введем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 - 3t - 2 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$t_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$t_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Вернемся к замене:

1) $\sin x = t_1 = 2$. Уравнение не имеет решений, так как область значений синуса $[-1, 1]$.

2) $\sin x = t_2 = -\frac{1}{2}$. Это уравнение имеет решения:

$x = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi k = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $2 \cos^2 x + 2 \cos x + \sin^2 x = 0$

Сгруппируем члены $\cos^2 x$ и $\sin^2 x$:

$\cos^2 x + (\cos^2 x + \sin^2 x) + 2 \cos x = 0$

Используя тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, упростим уравнение:

$\cos^2 x + 1 + 2 \cos x = 0$

Переставим члены, чтобы увидеть формулу полного квадрата:

$\cos^2 x + 2 \cos x + 1 = 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата суммы:

$(\cos x + 1)^2 = 0$

Это равенство выполняется только тогда, когда основание степени равно нулю:

$\cos x + 1 = 0$

$\cos x = -1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, решение которого:

$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sin^2 x + 2 \cos x - 2 = 0$

Заменим $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$, используя основное тригонометрическое тождество.

$(1 - \cos^2 x) + 2 \cos x - 2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-\cos^2 x + 2 \cos x - 1 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1:

$\cos^2 x - 2 \cos x + 1 = 0$

Левая часть является формулой полного квадрата разности:

$(\cos x - 1)^2 = 0$

Отсюда следует, что:

$\cos x - 1 = 0$

$\cos x = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, решение которого:

$x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.