Номер 11.16, страница 306 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. 11.3. Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений - номер 11.16, страница 306.

Условие.

11.16 a) $ \sin 2x \cos x - \sin x \cos 2x = 1 $;

б) $ \sin 3x \cos x + \sin x \cos 3x = 0 $;

в) $ \cos 5x \cos 4x + \sin 5x \sin 4x = 1 $;

г) $ \cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x = -1 $;

д) $ \cos 2000x \cos 1999x + \sin 2000x \sin 1999x = 0,5 $;

е) $ \sin 2001x \cos 2000x - \sin 2000x \cos 2001x = -0,5 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $ \sin 2x \cos x - \sin x \cos 2x = 1 $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой синуса разности углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $. В данном случае $ \alpha = 2x $ и $ \beta = x $.

Применяя формулу, получаем:

$ \sin(2x - x) = \sin x $

Исходное уравнение сводится к простейшему тригонометрическому уравнению:

$ \sin x = 1 $

Решением этого уравнения является серия корней:

$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \sin 3x \cos x + \sin x \cos 3x = 0 $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой синуса суммы углов: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $. В данном случае $ \alpha = 3x $ и $ \beta = x $.

Применяя формулу, получаем:

$ \sin(3x + x) = \sin 4x $

Исходное уравнение сводится к уравнению:

$ \sin 4x = 0 $

Решением этого уравнения является серия корней:

$ 4x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{\pi k}{4} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $.

в) $ \cos 5x \cos 4x + \sin 5x \sin 4x = 1 $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой косинуса разности углов: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $. В данном случае $ \alpha = 5x $ и $ \beta = 4x $.

Применяя формулу, получаем:

$ \cos(5x - 4x) = \cos x $

Исходное уравнение сводится к простейшему тригонометрическому уравнению:

$ \cos x = 1 $

Решением этого уравнения является серия корней:

$ x = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

г) $ \cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x = -1 $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой косинуса суммы углов: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $. В данном случае $ \alpha = 2x $ и $ \beta = x $.

Применяя формулу, получаем:

$ \cos(2x + x) = \cos 3x $

Исходное уравнение сводится к уравнению:

$ \cos 3x = -1 $

Решением этого уравнения является серия корней:

$ 3x = \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

д) $ \cos 2000x \cos 1999x + \sin 2000x \sin 1999x = 0,5 $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой косинуса разности углов: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $. В данном случае $ \alpha = 2000x $ и $ \beta = 1999x $.

Применяя формулу, получаем:

$ \cos(2000x - 1999x) = \cos x $

Исходное уравнение сводится к уравнению:

$ \cos x = 0,5 $ или $ \cos x = \frac{1}{2} $.

Решением этого уравнения является серия корней:

$ x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

е) $ \sin 2001x \cos 2000x - \sin 2000x \cos 2001x = -0,5 $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой синуса разности углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $. В данном случае $ \alpha = 2001x $ и $ \beta = 2000x $.

Применяя формулу, получаем:

$ \sin(2001x - 2000x) = \sin x $

Исходное уравнение сводится к уравнению:

$ \sin x = -0,5 $ или $ \sin x = -\frac{1}{2} $.

Решением этого уравнения является серия корней:

$ x = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi k = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.