Номер 11.16, страница 306 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
11.3. Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.16, страница 306.
№11.16 (с. 306)
Условие. №11.16 (с. 306)
скриншот условия

11.16 a) $ \sin 2x \cos x - \sin x \cos 2x = 1 $;
б) $ \sin 3x \cos x + \sin x \cos 3x = 0 $;
в) $ \cos 5x \cos 4x + \sin 5x \sin 4x = 1 $;
г) $ \cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x = -1 $;
д) $ \cos 2000x \cos 1999x + \sin 2000x \sin 1999x = 0,5 $;
е) $ \sin 2001x \cos 2000x - \sin 2000x \cos 2001x = -0,5 $.
Решение 1. №11.16 (с. 306)






Решение 2. №11.16 (с. 306)

Решение 3. №11.16 (с. 306)


Решение 4. №11.16 (с. 306)


Решение 5. №11.16 (с. 306)
а) $ \sin 2x \cos x - \sin x \cos 2x = 1 $
Для решения этого уравнения воспользуемся формулой синуса разности углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $. В данном случае $ \alpha = 2x $ и $ \beta = x $.
Применяя формулу, получаем:
$ \sin(2x - x) = \sin x $
Исходное уравнение сводится к простейшему тригонометрическому уравнению:
$ \sin x = 1 $
Решением этого уравнения является серия корней:
$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
б) $ \sin 3x \cos x + \sin x \cos 3x = 0 $
Для решения этого уравнения воспользуемся формулой синуса суммы углов: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $. В данном случае $ \alpha = 3x $ и $ \beta = x $.
Применяя формулу, получаем:
$ \sin(3x + x) = \sin 4x $
Исходное уравнение сводится к уравнению:
$ \sin 4x = 0 $
Решением этого уравнения является серия корней:
$ 4x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
$ x = \frac{\pi k}{4} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $.
в) $ \cos 5x \cos 4x + \sin 5x \sin 4x = 1 $
Для решения этого уравнения воспользуемся формулой косинуса разности углов: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $. В данном случае $ \alpha = 5x $ и $ \beta = 4x $.
Применяя формулу, получаем:
$ \cos(5x - 4x) = \cos x $
Исходное уравнение сводится к простейшему тригонометрическому уравнению:
$ \cos x = 1 $
Решением этого уравнения является серия корней:
$ x = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
г) $ \cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x = -1 $
Для решения этого уравнения воспользуемся формулой косинуса суммы углов: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $. В данном случае $ \alpha = 2x $ и $ \beta = x $.
Применяя формулу, получаем:
$ \cos(2x + x) = \cos 3x $
Исходное уравнение сводится к уравнению:
$ \cos 3x = -1 $
Решением этого уравнения является серия корней:
$ 3x = \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
$ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.
д) $ \cos 2000x \cos 1999x + \sin 2000x \sin 1999x = 0,5 $
Для решения этого уравнения воспользуемся формулой косинуса разности углов: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $. В данном случае $ \alpha = 2000x $ и $ \beta = 1999x $.
Применяя формулу, получаем:
$ \cos(2000x - 1999x) = \cos x $
Исходное уравнение сводится к уравнению:
$ \cos x = 0,5 $ или $ \cos x = \frac{1}{2} $.
Решением этого уравнения является серия корней:
$ x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
е) $ \sin 2001x \cos 2000x - \sin 2000x \cos 2001x = -0,5 $
Для решения этого уравнения воспользуемся формулой синуса разности углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $. В данном случае $ \alpha = 2001x $ и $ \beta = 2000x $.
Применяя формулу, получаем:
$ \sin(2001x - 2000x) = \sin x $
Исходное уравнение сводится к уравнению:
$ \sin x = -0,5 $ или $ \sin x = -\frac{1}{2} $.
Решением этого уравнения является серия корней:
$ x = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi k = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 11.16 расположенного на странице 306 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.16 (с. 306), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.