Номер 11.19, страница 306 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
11.3. Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.19, страница 306.
№11.19 (с. 306)
Условие. №11.19 (с. 306)
скриншот условия

11.19 а) $ \sin 2x \cos x - 3 \sin^2 x = 0; $
б) $ \sin 2x \cos x - 2 \sin x = 0; $
в) $ \cos 2x + \cos x = 0; $
г) $ \cos 2x - \cos x = 0; $
д) $ 1.5 - 2 \cos 2x = 5 \cos x; $
е) $ 0.5 + 2 \cos 2x = 3 \sin x; $
ж) $ 2 \cos 2x - 3 = 8 \cos x; $
з) $ 2 \cos 2x - 5 = 8 \sin x; $
и) $ 2 \sin (0.5\pi + 2x) + \cos x = 3; $
к) $ \cos x + \sin (1.5\pi + 2x) = 0. $
Решение 1. №11.19 (с. 306)










Решение 2. №11.19 (с. 306)

Решение 3. №11.19 (с. 306)


Решение 4. №11.19 (с. 306)



Решение 5. №11.19 (с. 306)
а) $\sin 2x \cos x - 3 \sin^2 x = 0$
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$2 \sin x \cos x \cdot \cos x - 3 \sin^2 x = 0$
$2 \sin x \cos^2 x - 3 \sin^2 x = 0$
Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:
$\sin x (2 \cos^2 x - 3 \sin x) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1) $\sin x = 0$
$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $2 \cos^2 x - 3 \sin x = 0$
Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:
$2(1 - \sin^2 x) - 3 \sin x = 0$
$2 - 2 \sin^2 x - 3 \sin x = 0$
$2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0$
Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$:
$2t^2 + 3t - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
$t_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$. Этот корень не подходит, так как $|\sin x| \le 1$.
$t_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Возвращаемся к замене: $\sin x = \frac{1}{2}$.
$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Объединяем решения из двух случаев.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
б) $\sin 2x \cos x - 2 \sin x = 0$
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$2 \sin x \cos x \cdot \cos x - 2 \sin x = 0$
$2 \sin x \cos^2 x - 2 \sin x = 0$
Вынесем общий множитель $2 \sin x$ за скобки:
$2 \sin x (\cos^2 x - 1) = 0$
Используя тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем $\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$:
$2 \sin x (-\sin^2 x) = 0$
$-2 \sin^3 x = 0$
$\sin x = 0$
$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
в) $\cos 2x + \cos x = 0$
Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$:
$(2 \cos^2 x - 1) + \cos x = 0$
$2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$:
$2t^2 + t - 1 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$.
$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Возвращаемся к замене:
1) $\cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
г) $\cos 2x - \cos x = 0$
Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$:
$(2 \cos^2 x - 1) - \cos x = 0$
$2 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$:
$2t^2 - t - 1 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
$t_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
$t_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
Возвращаемся к замене:
1) $\cos x = 1 \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
д) $1,5 - 2 \cos 2x = 5 \cos x$
Перенесем все члены в одну сторону: $2 \cos 2x + 5 \cos x - 1,5 = 0$.
Используем формулу $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$:
$2(2 \cos^2 x - 1) + 5 \cos x - 1,5 = 0$
$4 \cos^2 x - 2 + 5 \cos x - 1,5 = 0$
$4 \cos^2 x + 5 \cos x - 3,5 = 0$
Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби: $8 \cos^2 x + 10 \cos x - 7 = 0$.
Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$: $8t^2 + 10t - 7 = 0$.
$D = 10^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-7) = 100 + 224 = 324 = 18^2$.
$t_1 = \frac{-10 - 18}{16} = -\frac{28}{16} = -\frac{7}{4}$. Не подходит, так как $|t| > 1$.
$t_2 = \frac{-10 + 18}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.
Возвращаемся к замене: $\cos x = \frac{1}{2}$.
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
е) $0,5 + 2 \cos 2x = 3 \sin x$
Перенесем все члены в одну сторону: $2 \cos 2x - 3 \sin x + 0,5 = 0$.
Используем формулу $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$:
$2(1 - 2 \sin^2 x) - 3 \sin x + 0,5 = 0$
$2 - 4 \sin^2 x - 3 \sin x + 0,5 = 0$
$-4 \sin^2 x - 3 \sin x + 2,5 = 0$
Умножим уравнение на -2: $8 \sin^2 x + 6 \sin x - 5 = 0$.
Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$: $8t^2 + 6t - 5 = 0$.
$D = 6^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 36 + 160 = 196 = 14^2$.
$t_1 = \frac{-6 - 14}{16} = -\frac{20}{16} = -\frac{5}{4}$. Не подходит, так как $|t| > 1$.
$t_2 = \frac{-6 + 14}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.
Возвращаемся к замене: $\sin x = \frac{1}{2}$.
$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
ж) $2 \cos 2x - 3 = 8 \cos x$
$2 \cos 2x - 8 \cos x - 3 = 0$.
Используем формулу $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$:
$2(2 \cos^2 x - 1) - 8 \cos x - 3 = 0$
$4 \cos^2 x - 2 - 8 \cos x - 3 = 0$
$4 \cos^2 x - 8 \cos x - 5 = 0$.
Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$: $4t^2 - 8t - 5 = 0$.
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.
$t_1 = \frac{8 - 12}{8} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$.
$t_2 = \frac{8 + 12}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$. Не подходит, так как $|t| > 1$.
Возвращаемся к замене: $\cos x = -\frac{1}{2}$.
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
з) $2 \cos 2x - 5 = 8 \sin x$
$2 \cos 2x - 8 \sin x - 5 = 0$.
Используем формулу $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$:
$2(1 - 2 \sin^2 x) - 8 \sin x - 5 = 0$
$2 - 4 \sin^2 x - 8 \sin x - 5 = 0$
$-4 \sin^2 x - 8 \sin x - 3 = 0$
$4 \sin^2 x + 8 \sin x + 3 = 0$.
Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$: $4t^2 + 8t + 3 = 0$.
$D = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16 = 4^2$.
$t_1 = \frac{-8 - 4}{8} = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2}$. Не подходит, так как $|t| > 1$.
$t_2 = \frac{-8 + 4}{8} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$.
Возвращаемся к замене: $\sin x = -\frac{1}{2}$.
$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
и) $2 \sin(0,5\pi + 2x) + \cos x = 3$
Используем формулу приведения $\sin(0,5\pi + 2x) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2x) = \cos(2x)$:
$2 \cos(2x) + \cos x = 3$
$2 \cos 2x + \cos x - 3 = 0$
Используем формулу $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$:
$2(2 \cos^2 x - 1) + \cos x - 3 = 0$
$4 \cos^2 x - 2 + \cos x - 3 = 0$
$4 \cos^2 x + \cos x - 5 = 0$
Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$: $4t^2 + t - 5 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.
$t_1 = \frac{-1 - 9}{8} = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4}$. Не подходит, так как $|t| > 1$.
$t_2 = \frac{-1 + 9}{8} = \frac{8}{8} = 1$.
Возвращаемся к замене: $\cos x = 1$.
$x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
к) $\cos x + \sin(1,5\pi + 2x) = 0$
Используем формулу приведения $\sin(1,5\pi + 2x) = \sin(\frac{3\pi}{2} + 2x) = -\cos(2x)$:
$\cos x - \cos(2x) = 0$
$\cos(2x) = \cos x$
Это уравнение идентично уравнению из пункта г). Приведем решение еще раз.
Используем формулу $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$:
$2 \cos^2 x - 1 = \cos x$
$2 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$: $2t^2 - t - 1 = 0$.
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$.
$t_1 = \frac{1+3}{4} = 1$, $t_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$.
Возвращаемся к замене:
1) $\cos x = 1 \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 11.19 расположенного на странице 306 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.19 (с. 306), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.