Номер 11.19, страница 306 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. 11.3. Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений - номер 11.19, страница 306.

Условие.

11.19 а) $ \sin 2x \cos x - 3 \sin^2 x = 0; $

б) $ \sin 2x \cos x - 2 \sin x = 0; $

в) $ \cos 2x + \cos x = 0; $

г) $ \cos 2x - \cos x = 0; $

д) $ 1.5 - 2 \cos 2x = 5 \cos x; $

е) $ 0.5 + 2 \cos 2x = 3 \sin x; $

ж) $ 2 \cos 2x - 3 = 8 \cos x; $

з) $ 2 \cos 2x - 5 = 8 \sin x; $

и) $ 2 \sin (0.5\pi + 2x) + \cos x = 3; $

к) $ \cos x + \sin (1.5\pi + 2x) = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $\sin 2x \cos x - 3 \sin^2 x = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$2 \sin x \cos x \cdot \cos x - 3 \sin^2 x = 0$

$2 \sin x \cos^2 x - 3 \sin^2 x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2 \cos^2 x - 3 \sin x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $\sin x = 0$

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $2 \cos^2 x - 3 \sin x = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$2(1 - \sin^2 x) - 3 \sin x = 0$

$2 - 2 \sin^2 x - 3 \sin x = 0$

$2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$:

$2t^2 + 3t - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

$t_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$. Этот корень не подходит, так как $|\sin x| \le 1$.

$t_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене: $\sin x = \frac{1}{2}$.

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяем решения из двух случаев.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin 2x \cos x - 2 \sin x = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$2 \sin x \cos x \cdot \cos x - 2 \sin x = 0$

$2 \sin x \cos^2 x - 2 \sin x = 0$

Вынесем общий множитель $2 \sin x$ за скобки:

$2 \sin x (\cos^2 x - 1) = 0$

Используя тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем $\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$:

$2 \sin x (-\sin^2 x) = 0$

$-2 \sin^3 x = 0$

$\sin x = 0$

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\cos 2x + \cos x = 0$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$:

$(2 \cos^2 x - 1) + \cos x = 0$

$2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$:

$2t^2 + t - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$.

$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене:

1) $\cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\cos 2x - \cos x = 0$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$:

$(2 \cos^2 x - 1) - \cos x = 0$

$2 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$:

$2t^2 - t - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

$t_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

$t_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Возвращаемся к замене:

1) $\cos x = 1 \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

д) $1,5 - 2 \cos 2x = 5 \cos x$

Перенесем все члены в одну сторону: $2 \cos 2x + 5 \cos x - 1,5 = 0$.

Используем формулу $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$:

$2(2 \cos^2 x - 1) + 5 \cos x - 1,5 = 0$

$4 \cos^2 x - 2 + 5 \cos x - 1,5 = 0$

$4 \cos^2 x + 5 \cos x - 3,5 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби: $8 \cos^2 x + 10 \cos x - 7 = 0$.

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$: $8t^2 + 10t - 7 = 0$.

$D = 10^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-7) = 100 + 224 = 324 = 18^2$.

$t_1 = \frac{-10 - 18}{16} = -\frac{28}{16} = -\frac{7}{4}$. Не подходит, так как $|t| > 1$.

$t_2 = \frac{-10 + 18}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене: $\cos x = \frac{1}{2}$.

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

е) $0,5 + 2 \cos 2x = 3 \sin x$

Перенесем все члены в одну сторону: $2 \cos 2x - 3 \sin x + 0,5 = 0$.

Используем формулу $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$:

$2(1 - 2 \sin^2 x) - 3 \sin x + 0,5 = 0$

$2 - 4 \sin^2 x - 3 \sin x + 0,5 = 0$

$-4 \sin^2 x - 3 \sin x + 2,5 = 0$

Умножим уравнение на -2: $8 \sin^2 x + 6 \sin x - 5 = 0$.

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$: $8t^2 + 6t - 5 = 0$.

$D = 6^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 36 + 160 = 196 = 14^2$.

$t_1 = \frac{-6 - 14}{16} = -\frac{20}{16} = -\frac{5}{4}$. Не подходит, так как $|t| > 1$.

$t_2 = \frac{-6 + 14}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене: $\sin x = \frac{1}{2}$.

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

ж) $2 \cos 2x - 3 = 8 \cos x$

$2 \cos 2x - 8 \cos x - 3 = 0$.

Используем формулу $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$:

$2(2 \cos^2 x - 1) - 8 \cos x - 3 = 0$

$4 \cos^2 x - 2 - 8 \cos x - 3 = 0$

$4 \cos^2 x - 8 \cos x - 5 = 0$.

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$: $4t^2 - 8t - 5 = 0$.

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.

$t_1 = \frac{8 - 12}{8} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$.

$t_2 = \frac{8 + 12}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$. Не подходит, так как $|t| > 1$.

Возвращаемся к замене: $\cos x = -\frac{1}{2}$.

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

з) $2 \cos 2x - 5 = 8 \sin x$

$2 \cos 2x - 8 \sin x - 5 = 0$.

Используем формулу $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$:

$2(1 - 2 \sin^2 x) - 8 \sin x - 5 = 0$

$2 - 4 \sin^2 x - 8 \sin x - 5 = 0$

$-4 \sin^2 x - 8 \sin x - 3 = 0$

$4 \sin^2 x + 8 \sin x + 3 = 0$.

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$: $4t^2 + 8t + 3 = 0$.

$D = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16 = 4^2$.

$t_1 = \frac{-8 - 4}{8} = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2}$. Не подходит, так как $|t| > 1$.

$t_2 = \frac{-8 + 4}{8} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене: $\sin x = -\frac{1}{2}$.

$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

и) $2 \sin(0,5\pi + 2x) + \cos x = 3$

Используем формулу приведения $\sin(0,5\pi + 2x) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2x) = \cos(2x)$:

$2 \cos(2x) + \cos x = 3$

$2 \cos 2x + \cos x - 3 = 0$

Используем формулу $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$:

$2(2 \cos^2 x - 1) + \cos x - 3 = 0$

$4 \cos^2 x - 2 + \cos x - 3 = 0$

$4 \cos^2 x + \cos x - 5 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$: $4t^2 + t - 5 = 0$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.

$t_1 = \frac{-1 - 9}{8} = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4}$. Не подходит, так как $|t| > 1$.

$t_2 = \frac{-1 + 9}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

Возвращаемся к замене: $\cos x = 1$.

$x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

к) $\cos x + \sin(1,5\pi + 2x) = 0$

Используем формулу приведения $\sin(1,5\pi + 2x) = \sin(\frac{3\pi}{2} + 2x) = -\cos(2x)$:

$\cos x - \cos(2x) = 0$

$\cos(2x) = \cos x$

Это уравнение идентично уравнению из пункта г). Приведем решение еще раз.

Используем формулу $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$:

$2 \cos^2 x - 1 = \cos x$

$2 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$: $2t^2 - t - 1 = 0$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$.

$t_1 = \frac{1+3}{4} = 1$, $t_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене:

1) $\cos x = 1 \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.