Номер 11.17, страница 306 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.3. Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.17, страница 306.

11.17 a) $\sin x \cos \frac{\pi}{3} + \sin \frac{\pi}{3} \cos x = 0;$

б) $\cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4} = 1.$

а) $\sin x \cos \frac{\pi}{3} + \sin \frac{\pi}{3} \cos x = 0$

Левая часть уравнения представляет собой развернутую формулу синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

В данном случае $\alpha = x$ и $\beta = \frac{\pi}{3}$. Свернем левую часть уравнения по этой формуле:

$\sin(x + \frac{\pi}{3}) = 0$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней, где аргумент синуса равен $ \pi n $, где $ n $ — любое целое число.

$x + \frac{\pi}{3} = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$, чтобы найти окончательное решение:

$x = \pi n - \frac{\pi}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4} = 1$

Левая часть этого уравнения соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

В нашем случае $\alpha = x$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$. Применим формулу:

$\cos(x + \frac{\pi}{4}) = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Косинус равен единице, когда его аргумент равен $2\pi n$, где $n$ — любое целое число.

$x + \frac{\pi}{4} = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Теперь выразим $x$:

$x = 2\pi n - \frac{\pi}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.