Номер 11.10, страница 302 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. 11.2. Уравнения, сводящиеся к простейшим - номер 11.10, страница 302.

Условие.

11.10 a) $\sin^2 x - 4 \sin x + 3 = 0$;

б) $\cos^2 x + 5 \cos x - 6 = 0$;

в) $\sin^2 x + 3 \sin x + 2 = 0$;

г) $2 \cos^2 x + 5 \cos x + 3 = 0$;

д) $\text{tg}^2 x + 2 \text{tg} x - 3 = 0$;

е) $5 \text{tg}^2 x + 6 \text{tg} x + 1 = 0$;

ж) $6 \text{tg}^2 x - \text{tg} x - 1 = 0$;

з) $4 \text{tg}^2 x - 7 \text{tg} x - 2 = 0$;

и) $\sin^2 x + 2 \sin x + 1 = 0$;

к) $\cos^2 x - 2 \cos x + 1 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $\sin^2 x - 4 \sin x + 3 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\sin x$. Введем замену: пусть $t = \sin x$. Тогда уравнение принимает вид:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Отсюда корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Выполним обратную замену:

1. $\sin x = 3$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $[-1; 1]$, а $3 \notin [-1; 1]$.

2. $\sin x = 1$. Решение этого простейшего тригонометрического уравнения:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos^2 x + 5 \cos x - 6 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Уравнение примет вид:

$t^2 + 5t - 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -5, а произведение -6. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -6$.

Выполним обратную замену:

1. $\cos x = -6$. Уравнение не имеет решений, так как $-6 \notin [-1; 1]$.

2. $\cos x = 1$. Решение:

$x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin^2 x + 3 \sin x + 2 = 0$

Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$. Получаем квадратное уравнение:

$t^2 + 3t + 2 = 0$

По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -3$ и $t_1 \cdot t_2 = 2$. Корни: $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$.

Выполним обратную замену:

1. $\sin x = -2$. Уравнение не имеет решений, так как $-2 \notin [-1; 1]$.

2. $\sin x = -1$. Решение:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $2\cos^2 x + 5 \cos x + 3 = 0$

Пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Получаем уравнение:

$2t^2 + 5t + 3 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

$t = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 1}{4}$

$t_1 = \frac{-5 - 1}{4} = -\frac{6}{4} = -1.5$

$t_2 = \frac{-5 + 1}{4} = -\frac{4}{4} = -1$

Выполним обратную замену:

1. $\cos x = -1.5$. Уравнение не имеет решений, так как $-1.5 \notin [-1; 1]$.

2. $\cos x = -1$. Решение:

$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

д) $\text{tg}^2 x + 2 \text{tg} x - 3 = 0$

Пусть $t = \text{tg} x$. Уравнение принимает вид:

$t^2 + 2t - 3 = 0$

По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -2$ и $t_1 \cdot t_2 = -3$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Выполним обратную замену:

1. $\text{tg} x = 1$. Решение: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. $\text{tg} x = -3$. Решение: $x = \text{arctg}(-3) + \pi k = -\text{arctg}(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n; x = -\text{arctg}(3) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

е) $5\text{tg}^2 x + 6 \text{tg} x + 1 = 0$

Пусть $t = \text{tg} x$. Получаем уравнение:

$5t^2 + 6t + 1 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$.

$t = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 \pm 4}{10}$

$t_1 = \frac{-6 - 4}{10} = -1$

$t_2 = \frac{-6 + 4}{10} = -\frac{2}{10} = -0.2$

Выполним обратную замену:

1. $\text{tg} x = -1$. Решение: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. $\text{tg} x = -0.2$. Решение: $x = \text{arctg}(-0.2) + \pi k = -\text{arctg}(0.2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n; x = -\text{arctg}(0.2) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

ж) $6\text{tg}^2 x - \text{tg} x - 1 = 0$

Пусть $t = \text{tg} x$. Получаем уравнение:

$6t^2 - t - 1 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.

$t = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 \pm 5}{12}$

$t_1 = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{1 - 5}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$

Выполним обратную замену:

1. $\text{tg} x = \frac{1}{2}$. Решение: $x = \text{arctg}(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. $\text{tg} x = -\frac{1}{3}$. Решение: $x = \text{arctg}(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\text{arctg}(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \text{arctg}(\frac{1}{2}) + \pi n; x = -\text{arctg}(\frac{1}{3}) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

з) $4\text{tg}^2 x - 7 \text{tg} x - 2 = 0$

Пусть $t = \text{tg} x$. Получаем уравнение:

$4t^2 - 7t - 2 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81$.

$t = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{7 \pm 9}{8}$

$t_1 = \frac{7 + 9}{8} = \frac{16}{8} = 2$

$t_2 = \frac{7 - 9}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$

Выполним обратную замену:

1. $\text{tg} x = 2$. Решение: $x = \text{arctg}(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. $\text{tg} x = -\frac{1}{4}$. Решение: $x = \text{arctg}(-\frac{1}{4}) + \pi k = -\text{arctg}(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \text{arctg}(2) + \pi n; x = -\text{arctg}(\frac{1}{4}) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

и) $\sin^2 x + 2 \sin x + 1 = 0$

Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат. Свернем его по формуле квадрата суммы:

$(\sin x + 1)^2 = 0$

Отсюда следует, что:

$\sin x + 1 = 0$

$\sin x = -1$

Решение этого простейшего тригонометрического уравнения:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

к) $\cos^2 x - 2 \cos x + 1 = 0$

Левая часть уравнения является полным квадратом. Свернем его по формуле квадрата разности:

$(\cos x - 1)^2 = 0$

Отсюда следует, что:

$\cos x - 1 = 0$

$\cos x = 1$

Решение этого простейшего тригонометрического уравнения:

$x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.