Номер 11.10, страница 302 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
11.2. Уравнения, сводящиеся к простейшим. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.10, страница 302.
№11.10 (с. 302)
Условие. №11.10 (с. 302)
скриншот условия

11.10 a) $\sin^2 x - 4 \sin x + 3 = 0$;
б) $\cos^2 x + 5 \cos x - 6 = 0$;
в) $\sin^2 x + 3 \sin x + 2 = 0$;
г) $2 \cos^2 x + 5 \cos x + 3 = 0$;
д) $\text{tg}^2 x + 2 \text{tg} x - 3 = 0$;
е) $5 \text{tg}^2 x + 6 \text{tg} x + 1 = 0$;
ж) $6 \text{tg}^2 x - \text{tg} x - 1 = 0$;
з) $4 \text{tg}^2 x - 7 \text{tg} x - 2 = 0$;
и) $\sin^2 x + 2 \sin x + 1 = 0$;
к) $\cos^2 x - 2 \cos x + 1 = 0$.
Решение 1. №11.10 (с. 302)










Решение 2. №11.10 (с. 302)

Решение 3. №11.10 (с. 302)


Решение 4. №11.10 (с. 302)


Решение 5. №11.10 (с. 302)
а) $\sin^2 x - 4 \sin x + 3 = 0$
Данное уравнение является квадратным относительно $\sin x$. Введем замену: пусть $t = \sin x$. Тогда уравнение принимает вид:
$t^2 - 4t + 3 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Отсюда корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.
Выполним обратную замену:
1. $\sin x = 3$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $[-1; 1]$, а $3 \notin [-1; 1]$.
2. $\sin x = 1$. Решение этого простейшего тригонометрического уравнения:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) $\cos^2 x + 5 \cos x - 6 = 0$
Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Уравнение примет вид:
$t^2 + 5t - 6 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна -5, а произведение -6. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -6$.
Выполним обратную замену:
1. $\cos x = -6$. Уравнение не имеет решений, так как $-6 \notin [-1; 1]$.
2. $\cos x = 1$. Решение:
$x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
в) $\sin^2 x + 3 \sin x + 2 = 0$
Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$. Получаем квадратное уравнение:
$t^2 + 3t + 2 = 0$
По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -3$ и $t_1 \cdot t_2 = 2$. Корни: $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$.
Выполним обратную замену:
1. $\sin x = -2$. Уравнение не имеет решений, так как $-2 \notin [-1; 1]$.
2. $\sin x = -1$. Решение:
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
г) $2\cos^2 x + 5 \cos x + 3 = 0$
Пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Получаем уравнение:
$2t^2 + 5t + 3 = 0$
Найдем корни через дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.
$t = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 1}{4}$
$t_1 = \frac{-5 - 1}{4} = -\frac{6}{4} = -1.5$
$t_2 = \frac{-5 + 1}{4} = -\frac{4}{4} = -1$
Выполним обратную замену:
1. $\cos x = -1.5$. Уравнение не имеет решений, так как $-1.5 \notin [-1; 1]$.
2. $\cos x = -1$. Решение:
$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
д) $\text{tg}^2 x + 2 \text{tg} x - 3 = 0$
Пусть $t = \text{tg} x$. Уравнение принимает вид:
$t^2 + 2t - 3 = 0$
По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -2$ и $t_1 \cdot t_2 = -3$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.
Выполним обратную замену:
1. $\text{tg} x = 1$. Решение: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2. $\text{tg} x = -3$. Решение: $x = \text{arctg}(-3) + \pi k = -\text{arctg}(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n; x = -\text{arctg}(3) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.
е) $5\text{tg}^2 x + 6 \text{tg} x + 1 = 0$
Пусть $t = \text{tg} x$. Получаем уравнение:
$5t^2 + 6t + 1 = 0$
Найдем корни через дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$.
$t = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 \pm 4}{10}$
$t_1 = \frac{-6 - 4}{10} = -1$
$t_2 = \frac{-6 + 4}{10} = -\frac{2}{10} = -0.2$
Выполним обратную замену:
1. $\text{tg} x = -1$. Решение: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2. $\text{tg} x = -0.2$. Решение: $x = \text{arctg}(-0.2) + \pi k = -\text{arctg}(0.2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n; x = -\text{arctg}(0.2) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.
ж) $6\text{tg}^2 x - \text{tg} x - 1 = 0$
Пусть $t = \text{tg} x$. Получаем уравнение:
$6t^2 - t - 1 = 0$
Найдем корни через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.
$t = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 \pm 5}{12}$
$t_1 = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{1 - 5}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$
Выполним обратную замену:
1. $\text{tg} x = \frac{1}{2}$. Решение: $x = \text{arctg}(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2. $\text{tg} x = -\frac{1}{3}$. Решение: $x = \text{arctg}(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\text{arctg}(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \text{arctg}(\frac{1}{2}) + \pi n; x = -\text{arctg}(\frac{1}{3}) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.
з) $4\text{tg}^2 x - 7 \text{tg} x - 2 = 0$
Пусть $t = \text{tg} x$. Получаем уравнение:
$4t^2 - 7t - 2 = 0$
Найдем корни через дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81$.
$t = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{7 \pm 9}{8}$
$t_1 = \frac{7 + 9}{8} = \frac{16}{8} = 2$
$t_2 = \frac{7 - 9}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$
Выполним обратную замену:
1. $\text{tg} x = 2$. Решение: $x = \text{arctg}(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2. $\text{tg} x = -\frac{1}{4}$. Решение: $x = \text{arctg}(-\frac{1}{4}) + \pi k = -\text{arctg}(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \text{arctg}(2) + \pi n; x = -\text{arctg}(\frac{1}{4}) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.
и) $\sin^2 x + 2 \sin x + 1 = 0$
Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат. Свернем его по формуле квадрата суммы:
$(\sin x + 1)^2 = 0$
Отсюда следует, что:
$\sin x + 1 = 0$
$\sin x = -1$
Решение этого простейшего тригонометрического уравнения:
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
к) $\cos^2 x - 2 \cos x + 1 = 0$
Левая часть уравнения является полным квадратом. Свернем его по формуле квадрата разности:
$(\cos x - 1)^2 = 0$
Отсюда следует, что:
$\cos x - 1 = 0$
$\cos x = 1$
Решение этого простейшего тригонометрического уравнения:
$x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 11.10 расположенного на странице 302 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.10 (с. 302), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.