Номер 11.7, страница 299 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.1. Простейшие тригонометрические уравнения. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.7, страница 299.

11.7* ИССЛЕДУЕМ. При каких значениях $a$ имеет хотя бы одно решение уравнение:

а) $\sin x = a$;

б) $\cos x = a$;

в) $\operatorname{tg} x = a$;

г) $\operatorname{ctg} x = a$?

а) Уравнение $ \sin x = a $ имеет хотя бы одно решение, если значение $a$ принадлежит области значений функции $y = \sin x$. Областью значений функции синус является отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что синус любого угла не может быть по модулю больше единицы.
Таким образом, условие существования решения для данного уравнения — это $ |a| \le 1 $, или, что то же самое, $ -1 \le a \le 1 $.

Ответ: $a \in [-1; 1]$.

б) Уравнение $ \cos x = a $ имеет хотя бы одно решение, если значение $a$ принадлежит области значений функции $y = \cos x$. Областью значений функции косинус, так же как и для синуса, является отрезок $[-1; 1]$. Косинус любого угла не может быть по модулю больше единицы.
Следовательно, условие существования решения для данного уравнения — это $ |a| \le 1 $, или $ -1 \le a \le 1 $.

Ответ: $a \in [-1; 1]$.

в) Уравнение $ \text{tg} x = a $ имеет хотя бы одно решение, если значение $a$ принадлежит области значений функции $y = \text{tg} x$. Функция тангенс, определяемая как отношение $ \frac{\sin x}{\cos x} $, может принимать любое действительное значение. Когда $x$ приближается к $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $k \in \mathbb{Z}$, знаменатель $ \cos x $ стремится к нулю, а тангенс стремится к бесконечности.
Область значений функции тангенс — это множество всех действительных чисел, то есть $ (-\infty; +\infty) $. Поэтому уравнение имеет решение при любом значении $a$.

Ответ: $a \in (-\infty; +\infty)$, то есть $a$ — любое действительное число.

г) Уравнение $ \text{ctg} x = a $ имеет хотя бы одно решение, если значение $a$ принадлежит области значений функции $y = \text{ctg} x$. Функция котангенс, определяемая как отношение $ \frac{\cos x}{\sin x} $, так же как и тангенс, может принимать любое действительное значение. Когда $x$ приближается к $ \pi k $, где $k \in \mathbb{Z}$, знаменатель $ \sin x $ стремится к нулю, а котангенс стремится к бесконечности.
Область значений функции котангенс — это множество всех действительных чисел, то есть $ (-\infty; +\infty) $. Поэтому уравнение имеет решение при любом значении $a$.

Ответ: $a \in (-\infty; +\infty)$, то есть $a$ — любое действительное число.