Номер 11.12, страница 303 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. 11.2. Уравнения, сводящиеся к простейшим - номер 11.12, страница 303.

Условие.

11.12 а) $\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 0$;

б) $\sin 2x = 1$;

в) $\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) = -1$;

г) $\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1$;

д) $\cos 3x = 0$;

е) $\cos\left(\frac{3\pi}{4} - 2x\right) = -1$;

ж) $\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0$;

з) $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = -1$;

и) $\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4} + 2x\right) = -1$;

к) $\operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 0$;

л) $\operatorname{ctg}(-4x) = 1$;

м) $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}\right) = -1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Решим уравнение $sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 0$.

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Синус равен нулю, когда его аргумент равен $\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

$x - \frac{\pi}{3} = \pi n$

Чтобы найти $x$, перенесем $\frac{\pi}{3}$ в правую часть:

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим уравнение $sin(2x) = 1$.

Это частный случай. Синус равен единице, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Решим уравнение $sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) = -1$.

Это частный случай. Синус равен минус единице, когда его аргумент равен $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$3x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из обеих частей:

$3x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$3x = -\frac{2\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$3x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

Разделим обе части на 3:

$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Решим уравнение $cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1$.

Это частный случай. Косинус равен единице, когда его аргумент равен $2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x + \frac{\pi}{6} = 2\pi n$

Выразим $x$:

$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

д)

Решим уравнение $cos(3x) = 0$.

Это частный случай. Косинус равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

е)

Решим уравнение $cos\left(\frac{3\pi}{4} - 2x\right) = -1$.

Это частный случай. Косинус равен минус единице, когда его аргумент равен $\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{3\pi}{4} - 2x = \pi + 2\pi n$

Выразим член, содержащий $x$:

$-2x = \pi - \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

$-2x = \frac{4\pi - 3\pi}{4} + 2\pi n$

$-2x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

Разделим обе части на -2:

$x = -\frac{\pi}{8} - \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{8} - \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

ж)

Решим уравнение $tg\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0$.

Это частный случай. Тангенс равен нулю, когда его аргумент равен $\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x + \frac{\pi}{4} = \pi n$

Выразим $x$:

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

з)

Решим уравнение $tg\left(\frac{x}{2}\right) = -1$.

Общее решение для уравнения $tg(t) = -1$ имеет вид $t = arctg(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

Умножим обе части на 2:

$x = 2\left(-\frac{\pi}{4} + \pi n\right)$

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

и)

Решим уравнение $tg\left(\frac{3\pi}{4} + 2x\right) = -1$.

Общее решение $t = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{3\pi}{4} + 2x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

Выразим член, содержащий $x$:

$2x = -\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} + \pi n$

$2x = -\frac{4\pi}{4} + \pi n$

$2x = -\pi + \pi n$

Разделим обе части на 2:

$x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

к)

Решим уравнение $ctg\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 0$.

Это частный случай. Котангенс равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Выразим $x$:

$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n$

$x = \frac{2\pi + \pi}{4} + \pi n$

$x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

л)

Решим уравнение $ctg(-4x) = 1$.

Используем свойство нечетности котангенса $ctg(-t) = -ctg(t)$:

$-ctg(4x) = 1$, откуда $ctg(4x) = -1$.

Общее решение для $ctg(t) = -1$ имеет вид $t = arcctg(-1) + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$4x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$

Разделим обе части на 4:

$x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

м)

Решим уравнение $ctg\left(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}\right) = -1$.

Общее решение для $ctg(t) = -1$ имеет вид $t = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi n$

Выразим член, содержащий $x$:

$-\frac{x}{2} = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + \pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$-\frac{x}{2} = \frac{9\pi - 2\pi}{12} + \pi n$

$-\frac{x}{2} = \frac{7\pi}{12} + \pi n$

Умножим обе части на -2:

$x = -2\left(\frac{7\pi}{12} + \pi n\right)$

$x = -\frac{7\pi}{6} - 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{7\pi}{6} - 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.