Номер 11.12, страница 303 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
11.2. Уравнения, сводящиеся к простейшим. § 11. Тригонометрические уравнения и неравенства. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 11.12, страница 303.
№11.12 (с. 303)
Условие. №11.12 (с. 303)
скриншот условия

11.12 а) $\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 0$;
б) $\sin 2x = 1$;
в) $\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) = -1$;
г) $\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1$;
д) $\cos 3x = 0$;
е) $\cos\left(\frac{3\pi}{4} - 2x\right) = -1$;
ж) $\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0$;
з) $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = -1$;
и) $\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4} + 2x\right) = -1$;
к) $\operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 0$;
л) $\operatorname{ctg}(-4x) = 1$;
м) $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}\right) = -1$.
Решение 1. №11.12 (с. 303)












Решение 2. №11.12 (с. 303)

Решение 3. №11.12 (с. 303)

Решение 4. №11.12 (с. 303)

Решение 5. №11.12 (с. 303)
а)
Решим уравнение $sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 0$.
Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Синус равен нулю, когда его аргумент равен $\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
$x - \frac{\pi}{3} = \pi n$
Чтобы найти $x$, перенесем $\frac{\pi}{3}$ в правую часть:
$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б)
Решим уравнение $sin(2x) = 1$.
Это частный случай. Синус равен единице, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
Разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
в)
Решим уравнение $sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) = -1$.
Это частный случай. Синус равен минус единице, когда его аргумент равен $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$3x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$
Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из обеих частей:
$3x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$3x = -\frac{2\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$3x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$
Разделим обе части на 3:
$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.
г)
Решим уравнение $cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1$.
Это частный случай. Косинус равен единице, когда его аргумент равен $2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x + \frac{\pi}{6} = 2\pi n$
Выразим $x$:
$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
д)
Решим уравнение $cos(3x) = 0$.
Это частный случай. Косинус равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$
Разделим обе части на 3:
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.
е)
Решим уравнение $cos\left(\frac{3\pi}{4} - 2x\right) = -1$.
Это частный случай. Косинус равен минус единице, когда его аргумент равен $\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\frac{3\pi}{4} - 2x = \pi + 2\pi n$
Выразим член, содержащий $x$:
$-2x = \pi - \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$
$-2x = \frac{4\pi - 3\pi}{4} + 2\pi n$
$-2x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
Разделим обе части на -2:
$x = -\frac{\pi}{8} - \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = -\frac{\pi}{8} - \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
ж)
Решим уравнение $tg\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0$.
Это частный случай. Тангенс равен нулю, когда его аргумент равен $\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x + \frac{\pi}{4} = \pi n$
Выразим $x$:
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
з)
Решим уравнение $tg\left(\frac{x}{2}\right) = -1$.
Общее решение для уравнения $tg(t) = -1$ имеет вид $t = arctg(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$
Умножим обе части на 2:
$x = 2\left(-\frac{\pi}{4} + \pi n\right)$
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
и)
Решим уравнение $tg\left(\frac{3\pi}{4} + 2x\right) = -1$.
Общее решение $t = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\frac{3\pi}{4} + 2x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$
Выразим член, содержащий $x$:
$2x = -\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} + \pi n$
$2x = -\frac{4\pi}{4} + \pi n$
$2x = -\pi + \pi n$
Разделим обе части на 2:
$x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
к)
Решим уравнение $ctg\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 0$.
Это частный случай. Котангенс равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$
Выразим $x$:
$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n$
$x = \frac{2\pi + \pi}{4} + \pi n$
$x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
л)
Решим уравнение $ctg(-4x) = 1$.
Используем свойство нечетности котангенса $ctg(-t) = -ctg(t)$:
$-ctg(4x) = 1$, откуда $ctg(4x) = -1$.
Общее решение для $ctg(t) = -1$ имеет вид $t = arcctg(-1) + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$4x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$
Разделим обе части на 4:
$x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.
м)
Решим уравнение $ctg\left(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}\right) = -1$.
Общее решение для $ctg(t) = -1$ имеет вид $t = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi n$
Выразим член, содержащий $x$:
$-\frac{x}{2} = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + \pi n$
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$-\frac{x}{2} = \frac{9\pi - 2\pi}{12} + \pi n$
$-\frac{x}{2} = \frac{7\pi}{12} + \pi n$
Умножим обе части на -2:
$x = -2\left(\frac{7\pi}{12} + \pi n\right)$
$x = -\frac{7\pi}{6} - 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = -\frac{7\pi}{6} - 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 11.12 расположенного на странице 303 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.12 (с. 303), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.