Страница 303 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.12 а) $\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 0$;

б) $\sin 2x = 1$;

в) $\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) = -1$;

г) $\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1$;

д) $\cos 3x = 0$;

е) $\cos\left(\frac{3\pi}{4} - 2x\right) = -1$;

ж) $\operatorname{tg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0$;

з) $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = -1$;

и) $\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{4} + 2x\right) = -1$;

к) $\operatorname{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 0$;

л) $\operatorname{ctg}(-4x) = 1$;

м) $\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}\right) = -1$.

а)

Решим уравнение $sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 0$.

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Синус равен нулю, когда его аргумент равен $\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

$x - \frac{\pi}{3} = \pi n$

Чтобы найти $x$, перенесем $\frac{\pi}{3}$ в правую часть:

$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим уравнение $sin(2x) = 1$.

Это частный случай. Синус равен единице, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Решим уравнение $sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) = -1$.

Это частный случай. Синус равен минус единице, когда его аргумент равен $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$3x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из обеих частей:

$3x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$3x = -\frac{2\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$3x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

Разделим обе части на 3:

$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Решим уравнение $cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1$.

Это частный случай. Косинус равен единице, когда его аргумент равен $2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x + \frac{\pi}{6} = 2\pi n$

Выразим $x$:

$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

д)

Решим уравнение $cos(3x) = 0$.

Это частный случай. Косинус равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

е)

Решим уравнение $cos\left(\frac{3\pi}{4} - 2x\right) = -1$.

Это частный случай. Косинус равен минус единице, когда его аргумент равен $\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{3\pi}{4} - 2x = \pi + 2\pi n$

Выразим член, содержащий $x$:

$-2x = \pi - \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

$-2x = \frac{4\pi - 3\pi}{4} + 2\pi n$

$-2x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

Разделим обе части на -2:

$x = -\frac{\pi}{8} - \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{8} - \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

ж)

Решим уравнение $tg\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0$.

Это частный случай. Тангенс равен нулю, когда его аргумент равен $\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x + \frac{\pi}{4} = \pi n$

Выразим $x$:

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

з)

Решим уравнение $tg\left(\frac{x}{2}\right) = -1$.

Общее решение для уравнения $tg(t) = -1$ имеет вид $t = arctg(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

Умножим обе части на 2:

$x = 2\left(-\frac{\pi}{4} + \pi n\right)$

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

и)

Решим уравнение $tg\left(\frac{3\pi}{4} + 2x\right) = -1$.

Общее решение $t = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{3\pi}{4} + 2x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

Выразим член, содержащий $x$:

$2x = -\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} + \pi n$

$2x = -\frac{4\pi}{4} + \pi n$

$2x = -\pi + \pi n$

Разделим обе части на 2:

$x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

к)

Решим уравнение $ctg\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 0$.

Это частный случай. Котангенс равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Выразим $x$:

$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n$

$x = \frac{2\pi + \pi}{4} + \pi n$

$x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

л)

Решим уравнение $ctg(-4x) = 1$.

Используем свойство нечетности котангенса $ctg(-t) = -ctg(t)$:

$-ctg(4x) = 1$, откуда $ctg(4x) = -1$.

Общее решение для $ctg(t) = -1$ имеет вид $t = arcctg(-1) + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$4x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$

Разделим обе части на 4:

$x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{3\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

м)

Решим уравнение $ctg\left(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}\right) = -1$.

Общее решение для $ctg(t) = -1$ имеет вид $t = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi n$

Выразим член, содержащий $x$:

$-\frac{x}{2} = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + \pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$-\frac{x}{2} = \frac{9\pi - 2\pi}{12} + \pi n$

$-\frac{x}{2} = \frac{7\pi}{12} + \pi n$

Умножим обе части на -2:

$x = -2\left(\frac{7\pi}{12} + \pi n\right)$

$x = -\frac{7\pi}{6} - 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{7\pi}{6} - 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

11.13 а) $sin 2x = \frac{1}{2}$;

б) $sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $sin \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

г) $cos 3x = -\frac{1}{2}$;

д) $cos \frac{x}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

е) $cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

ж) $tg 3x = \sqrt{3}$;

з) $tg \left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

и) $tg \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) = -\sqrt{3}$;

к) $ctg \left(3x - \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$;

л) $ctg \left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

м) $ctg \left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = -\sqrt{3}$.

а)

Дано уравнение $sin(2x) = \frac{1}{2}$.

Общее решение уравнения $sin(y) = a$ имеет вид $y = (-1)^n arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $y=2x$ и $a=\frac{1}{2}$.

Арксинус $\frac{1}{2}$ равен $\frac{\pi}{6}$.

Следовательно, $2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $sin(\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используем общую формулу решения $y = (-1)^n arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $y=\frac{x}{2}$ и $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Арксинус $\frac{\sqrt{2}}{2}$ равен $\frac{\pi}{4}$.

Получаем: $\frac{x}{2} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$.

Умножим обе части на 2:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $sin(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Аргумент синуса $2x - \frac{\pi}{3}$. Арксинус $\frac{\sqrt{3}}{2}$ равен $\frac{\pi}{3}$.

$2x - \frac{\pi}{3} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Перенесем $\frac{\pi}{3}$ в правую часть:

$2x = \frac{\pi}{3} + (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Разделим на 2:

$x = \frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $cos(3x) = -\frac{1}{2}$.

Общее решение уравнения $cos(y) = a$ имеет вид $y = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $y=3x$ и $a=-\frac{1}{2}$.

Арккосинус $-\frac{1}{2}$ равен $\frac{2\pi}{3}$.

Следовательно, $3x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Разделим на 3:

$x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

д)

Дано уравнение $cos(\frac{x}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используем общую формулу $y = \pm arccos(a) + 2\pi n$.

Здесь $y=\frac{x}{2}$ и $a=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Арккосинус $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ равен $\frac{3\pi}{4}$.

Получаем: $\frac{x}{2} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

Умножим на 2:

$x = \pm \frac{3\pi}{2} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{2} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

е)

Дано уравнение $cos(x + \frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Аргумент косинуса $x + \frac{\pi}{6}$. Арккосинус $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ равен $\frac{5\pi}{6}$.

$x + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из обеих частей:

$x = -\frac{\pi}{6} \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

Рассмотрим два случая:

1) $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = \frac{4\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

2) $x = -\frac{\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{6\pi}{6} + 2\pi n = -\pi + 2\pi n$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ (или $x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, x_2 = -\pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$).

ж)

Дано уравнение $tg(3x) = \sqrt{3}$.

Общее решение уравнения $tg(y) = a$ имеет вид $y = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $y=3x$ и $a=\sqrt{3}$.

Арктангенс $\sqrt{3}$ равен $\frac{\pi}{3}$.

$3x = \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Разделим на 3:

$x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

з)

Дано уравнение $tg(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Арктангенс $\frac{\sqrt{3}}{3}$ равен $\frac{\pi}{6}$.

$\frac{x}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Перенесем $\frac{\pi}{6}$ вправо:

$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{2\pi}{6} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Умножим на 3:

$x = \pi + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

и)

Дано уравнение $tg(\frac{\pi}{4} - 2x) = -\sqrt{3}$.

Арктангенс $-\sqrt{3}$ равен $-\frac{\pi}{3}$.

$\frac{\pi}{4} - 2x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выразим $-2x$:

$-2x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \pi n = -\frac{4\pi+3\pi}{12} + \pi n = -\frac{7\pi}{12} + \pi n$.

Разделим на -2:

$x = \frac{7\pi}{24} - \frac{\pi n}{2}$. Так как $n$ - любое целое число, знак перед вторым слагаемым можно изменить на плюс.

$x = \frac{7\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{7\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

к)

Дано уравнение $ctg(3x - \frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.

Общее решение уравнения $ctg(y) = a$ имеет вид $y = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Арккотангенс $\sqrt{3}$ равен $\frac{\pi}{6}$.

$3x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + \pi n$.

$3x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{2\pi}{6} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$.

$x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

л)

Дано уравнение $ctg(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Арккотангенс $\frac{\sqrt{3}}{3}$ равен $\frac{\pi}{3}$.

$\frac{x}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi n$.

$x = 2\pi + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

м)

Дано уравнение $ctg(\frac{\pi}{6} - 2x) = -\sqrt{3}$.

Арккотангенс $-\sqrt{3}$ равен $\frac{5\pi}{6}$.

$\frac{\pi}{6} - 2x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$-2x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{4\pi}{6} + \pi n = \frac{2\pi}{3} + \pi n$.

Разделим на -2:

$x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi n}{2}$. Заменим $-n$ на $k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

11.14* a) $\sin^2 x = \frac{1}{3};$

б) $\cos^2 x = \frac{1}{5};$

в) $\sin^2 x = \frac{1}{5};$

г) $\cos^2 x = \frac{1}{3};$

д) $\operatorname{tg}^2 x = 4;$

е) $\operatorname{ctg}^2 x = 2.$

а) Для решения уравнения $sin^2 x = \frac{1}{3}$ воспользуемся формулой понижения степени $sin^2 x = \frac{1 - cos(2x)}{2}$.
Подставим значение $sin^2 x$ в формулу:
$\frac{1 - cos(2x)}{2} = \frac{1}{3}$
Умножим обе части на 2:
$1 - cos(2x) = \frac{2}{3}$
Выразим $cos(2x)$:
$cos(2x) = 1 - \frac{2}{3}$
$cos(2x) = \frac{1}{3}$
Теперь решим полученное простейшее тригонометрическое уравнение относительно $2x$:
$2x = \pm arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = \pm \frac{1}{2} arccos\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{1}{2} arccos\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) Для решения уравнения $cos^2 x = \frac{1}{5}$ воспользуемся формулой понижения степени $cos^2 x = \frac{1 + cos(2x)}{2}$.
Подставим значение $cos^2 x$ в формулу:
$\frac{1 + cos(2x)}{2} = \frac{1}{5}$
Умножим обе части на 2:
$1 + cos(2x) = \frac{2}{5}$
Выразим $cos(2x)$:
$cos(2x) = \frac{2}{5} - 1$
$cos(2x) = -\frac{3}{5}$
Решим уравнение относительно $2x$:
$2x = \pm arccos\left(-\frac{3}{5}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = \pm \frac{1}{2} arccos\left(-\frac{3}{5}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{1}{2} arccos\left(-\frac{3}{5}\right) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) Решаем уравнение $sin^2 x = \frac{1}{5}$, используя формулу понижения степени $sin^2 x = \frac{1 - cos(2x)}{2}$.
$\frac{1 - cos(2x)}{2} = \frac{1}{5}$
$1 - cos(2x) = \frac{2}{5}$
$cos(2x) = 1 - \frac{2}{5}$
$cos(2x) = \frac{3}{5}$
Решаем для $2x$:
$2x = \pm arccos\left(\frac{3}{5}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Находим $x$:
$x = \pm \frac{1}{2} arccos\left(\frac{3}{5}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{1}{2} arccos\left(\frac{3}{5}\right) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) Решаем уравнение $cos^2 x = \frac{1}{3}$, используя формулу понижения степени $cos^2 x = \frac{1 + cos(2x)}{2}$.
$\frac{1 + cos(2x)}{2} = \frac{1}{3}$
$1 + cos(2x) = \frac{2}{3}$
$cos(2x) = \frac{2}{3} - 1$
$cos(2x) = -\frac{1}{3}$
Решаем для $2x$:
$2x = \pm arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Находим $x$:
$x = \pm \frac{1}{2} arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{1}{2} arccos\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

д) Дано уравнение $tg^2 x = 4$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$tg x = \pm \sqrt{4}$
$tg x = \pm 2$
Это уравнение распадается на два случая:
1) $tg x = 2 \implies x = arctg(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $tg x = -2 \implies x = arctg(-2) + \pi k = -arctg(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Объединяя эти две серии решений, получаем общую формулу:
$x = \pm arctg(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm arctg(2) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

е) Дано уравнение $ctg^2 x = 2$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$ctg x = \pm \sqrt{2}$
Это уравнение распадается на два случая:
1) $ctg x = \sqrt{2} \implies x = arcctg(\sqrt{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $ctg x = -\sqrt{2} \implies x = arcctg(-\sqrt{2}) + \pi k = \pi - arcctg(\sqrt{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Эти две серии решений можно представить в виде одной общей формулы:
$x = \pm arcctg(\sqrt{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm arcctg(\sqrt{2}) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.