Страница 307 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

11.22 a) $ \cos 2x + 3 \sin x = 2 $. Укажите его наибольшее решение, принадлежащее отрезку $ [-3\pi; \pi] $.

б) $ \cos 2x + 2 = 3 \cos x $. Укажите его наименьшее решение, принадлежащее отрезку $ [-2.5\pi; -0.5\pi] $.

а)

Решим уравнение $cos 2x + 3 sin x = 2$.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $cos 2x = 1 - 2 sin^2 x$ и подставим ее в уравнение:

$(1 - 2 sin^2 x) + 3 sin x = 2$

Перенесем все слагаемые в одну часть и приведем подобные:

$2 sin^2 x - 3 sin x + 1 = 0$

Сделаем замену переменной $t = sin x$, где $|t| \le 1$. Получим квадратное уравнение:

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Корни этого уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = \frac{1}{2}$. Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$.

Выполним обратную замену:

1. $sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем решения, принадлежащие отрезку $[-3\pi; \pi]$.

Для серии $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$: при $k=0$ имеем $x = \frac{\pi}{2}$; при $k=-1$ имеем $x = -\frac{3\pi}{2}$.

Для серии $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$: при $n=0$ имеем $x = \frac{\pi}{6}$; при $n=-1$ имеем $x = -\frac{11\pi}{6}$.

Для серии $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m$: при $m=0$ имеем $x = \frac{5\pi}{6}$; при $m=-1$ имеем $x = -\frac{7\pi}{6}$.

Итак, на заданном отрезке мы получили следующие решения: $\{-\frac{11\pi}{6}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{7\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}\}$.

Наибольшим из этих решений является $\frac{5\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{6}$.

б)

Решим уравнение $cos 2x + 2 = 3 cos x$.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $cos 2x = 2 cos^2 x - 1$ и подставим ее в уравнение:

$(2 cos^2 x - 1) + 2 = 3 cos x$

Перенесем все слагаемые в одну часть:

$2 cos^2 x - 3 cos x + 1 = 0$

Сделаем замену переменной $y = cos x$, где $|y| \le 1$. Получим квадратное уравнение:

$2y^2 - 3y + 1 = 0$

Корни этого уравнения: $y_1 = 1$ и $y_2 = \frac{1}{2}$. Оба корня удовлетворяют условию $|y| \le 1$.

Выполним обратную замену:

1. $cos x = 1 \implies x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем решения, принадлежащие отрезку $[-2,5\pi; -0,5\pi]$, то есть $[-\frac{5\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}]$.

Для серии $x = 2\pi k$: при $k=-1$ имеем $x = -2\pi$.

Для серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$: при $n=-1$ имеем $x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}$.

Для серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$: при $n=-1$ имеем $x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}$.

Таким образом, на заданном отрезке мы получили решения: $\{-2\pi, -\frac{5\pi}{3}, -\frac{7\pi}{3}\}$.

Чтобы найти наименьшее решение, сравним полученные значения. Приведем их к общему знаменателю 3: $\{-\frac{6\pi}{3}, -\frac{5\pi}{3}, -\frac{7\pi}{3}\}$.

Наименьшим из этих решений является $-\frac{7\pi}{3}$, так как $-7 < -6 < -5$.

Ответ: $-\frac{7\pi}{3}$.

11.23* а) $cos 4x + 6 \sin^2 x = 1;$

б) $cos 4x + 6 \cos^2 x = 1.$

а) Решим уравнение $ \cos 4x + 6 \sin^2 x = 1 $. Для того чтобы привести все тригонометрические функции к одному аргументу, воспользуемся формулами двойного угла и понижения степени.

Формула косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha $. Также, $ \cos(4x) = \cos(2 \cdot 2x) = 2\cos^2(2x) - 1 $. Из формулы $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x $ выразим $ \sin^2 x $: $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} $.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$ (2\cos^2(2x) - 1) + 6 \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right) = 1 $

Упростим полученное выражение:

$ 2\cos^2(2x) - 1 + 3(1 - \cos(2x)) = 1 $

$ 2\cos^2(2x) - 1 + 3 - 3\cos(2x) = 1 $

$ 2\cos^2(2x) - 3\cos(2x) + 2 = 1 $

$ 2\cos^2(2x) - 3\cos(2x) + 1 = 0 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \cos(2x) $, при этом $ |t| \le 1 $. Уравнение примет вид квадратного:

$ 2t^2 - 3t + 1 = 0 $

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 $.

Корни:

$ t_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 $

$ t_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Оба значения удовлетворяют условию $ |t| \le 1 $. Выполним обратную замену.

1) Если $ \cos(2x) = 1 $, то $ 2x = 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Отсюда $ x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) Если $ \cos(2x) = \frac{1}{2} $, то $ 2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k $

$ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \pi n, n \in \mathbb{Z}; \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Решим уравнение $ \cos 4x + 6 \cos^2 x = 1 $. Поступим аналогично предыдущему пункту, приведя все функции к аргументу $ 2x $.

Используем формулы: $ \cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 $ и $ \cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 $, из которой следует, что $ \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} $.

Подставим эти выражения в уравнение:

$ (2\cos^2(2x) - 1) + 6 \left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right) = 1 $

Упростим выражение:

$ 2\cos^2(2x) - 1 + 3(1 + \cos(2x)) = 1 $

$ 2\cos^2(2x) - 1 + 3 + 3\cos(2x) = 1 $

$ 2\cos^2(2x) + 3\cos(2x) + 2 = 1 $

$ 2\cos^2(2x) + 3\cos(2x) + 1 = 0 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \cos(2x) $, где $ |t| \le 1 $. Получим квадратное уравнение:

$ 2t^2 + 3t + 1 = 0 $

Найдем корни. Дискриминант $ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 $.

Корни:

$ t_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $

$ t_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 $

Оба значения удовлетворяют условию $ |t| \le 1 $. Выполним обратную замену.

1) Если $ \cos(2x) = -1 $, то $ 2x = \pi + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Отсюда $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) Если $ \cos(2x) = -\frac{1}{2} $, то $ 2x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $

$ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.