Страница 302 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решите уравнение (11.8—11.14):

11.8

а) $ \sin x (\sin x + 1) = 0; $

б) $ \cos x (\cos x - 1) = 0; $

в) $ \sin^2 x - \sin x = 0; $

г) $ \cos^2 x + \cos x = 0; $

д) $ \tan^2 x - \tan x = 0; $

е) $ \tan^2 x + \tan x = 0; $

ж) $ \cot^2 x - \cot x = 0; $

з) $ \cot^2 x + \cot x = 0. $

а) Данное уравнение $sin x (sin x + 1) = 0$ представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Это возможно, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1. $sin x = 0$. Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решениями являются $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $sin x + 1 = 0$, что равносильно $sin x = -1$. Решениями этого уравнения являются $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Объединив решения обоих случаев, получаем полный ответ.
Ответ: $x = \pi n$, $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б) Уравнение $cos x (cos x - 1) = 0$ также распадается на два уравнения:
1. $cos x = 0$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $cos x - 1 = 0$, что равносильно $cos x = 1$. Решения: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Объединяем полученные серии решений.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

в) В уравнении $sin^2 x - sin x = 0$ вынесем общий множитель $sin x$ за скобки: $sin x (sin x - 1) = 0$.
Рассмотрим два случая:
1. $sin x = 0$. Решения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $sin x - 1 = 0$, что равносильно $sin x = 1$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi n$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

г) В уравнении $cos^2 x + cos x = 0$ вынесем общий множитель $cos x$ за скобки: $cos x (cos x + 1) = 0$.
Рассмотрим два случая:
1. $cos x = 0$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $cos x + 1 = 0$, что равносильно $cos x = -1$. Решения: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = \pi + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

д) В уравнении $tg^2 x - tg x = 0$ вынесем $tg x$ за скобки: $tg x (tg x - 1) = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для тангенса: $cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Уравнение распадается на два:
1. $tg x = 0$. Решения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эти решения удовлетворяют ОДЗ.
2. $tg x - 1 = 0$, что равносильно $tg x = 1$. Решения: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эти решения также удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \pi n$, $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

е) В уравнении $tg^2 x + tg x = 0$ вынесем $tg x$ за скобки: $tg x (tg x + 1) = 0$.
ОДЗ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Получаем два уравнения:
1. $tg x = 0$. Решения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. (Удовлетворяют ОДЗ).
2. $tg x + 1 = 0$, что равносильно $tg x = -1$. Решения: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. (Удовлетворяют ОДЗ).
Ответ: $x = \pi n$, $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

ж) В уравнении $ctg^2 x - ctg x = 0$ вынесем $ctg x$ за скобки: $ctg x (ctg x - 1) = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для котангенса: $sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Уравнение распадается на два:
1. $ctg x = 0$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эти решения удовлетворяют ОДЗ.
2. $ctg x - 1 = 0$, что равносильно $ctg x = 1$. Решения: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эти решения также удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

з) В уравнении $ctg^2 x + ctg x = 0$ вынесем $ctg x$ за скобки: $ctg x (ctg x + 1) = 0$.
ОДЗ: $x \neq \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Получаем два уравнения:
1. $ctg x = 0$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. (Удовлетворяют ОДЗ).
2. $ctg x + 1 = 0$, что равносильно $ctg x = -1$. Решения: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. (Удовлетворяют ОДЗ).
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

11.9 а) $sin^2 x = 1$;

б) $cos^2 x = 1$;

в) $tg^2 x = 1$;

г) $ctg^2 x = 1$;

д) $sin^2 x = \frac{1}{4}$;

е) $cos^2 x = \frac{1}{4}$;

ж) $tg^2 x = 3$;

з) $ctg^2 x = \frac{1}{3}$;

и) $sin^2 x = \frac{1}{2}$;

к) $cos^2 x = \frac{3}{4}$;

л) $ctg^2 x = 3$;

м) $tg^2 x = \frac{1}{3}$.

а)

Дано уравнение $\sin^2 x = 1$.

Для решения воспользуемся формулой понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

Подставим ее в уравнение:

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = 1$

$1 - \cos(2x) = 2$

$\cos(2x) = -1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Аргумент косинуса равен:

$2x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано уравнение $\cos^2 x = 1$.

Воспользуемся формулой понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} = 1$

$1 + \cos(2x) = 2$

$\cos(2x) = 1$

Это частный случай. Аргумент косинуса равен:

$2x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем $x$:

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано уравнение $\text{tg}^2 x = 1$.

Извлекая квадратный корень, получаем:

$\text{tg} x = \pm 1$.

Это можно разбить на два уравнения:

1) $\text{tg} x = 1$, откуда $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{tg} x = -1$, откуда $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Также можно заметить, что решения на тригонометрическом круге ($\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \dots$) отстоят друг от друга на $\frac{\pi}{2}$. Поэтому решение можно записать как:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано уравнение $\text{ctg}^2 x = 1$.

Извлекаем квадратный корень:

$\text{ctg} x = \pm 1$.

1) $\text{ctg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{ctg} x = -1 \implies x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решения идентичны решению для $\text{tg}^2 x = 1$. Объединенная формула:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

д)

Дано уравнение $\sin^2 x = \frac{1}{4}$.

Используем формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{4}$

$1 - \cos(2x) = \frac{1}{2}$

$\cos(2x) = \frac{1}{2}$

Решаем уравнение относительно $2x$:

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Делим на 2:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

е)

Дано уравнение $\cos^2 x = \frac{1}{4}$.

Используем формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{4}$

$1 + \cos(2x) = \frac{1}{2}$

$\cos(2x) = -\frac{1}{2}$

Решаем уравнение относительно $2x$:

$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Делим на 2:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

ж)

Дано уравнение $\text{tg}^2 x = 3$.

Извлекаем квадратный корень:

$\text{tg} x = \pm \sqrt{3}$.

Это дает две серии решений:

1) $\text{tg} x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{tg} x = -\sqrt{3} \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединенное решение:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

з)

Дано уравнение $\text{ctg}^2 x = \frac{1}{3}$.

Извлекаем квадратный корень:

$\text{ctg} x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

1) $\text{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{ctg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \implies x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что $\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$. Решения можно объединить в одну формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

и)

Дано уравнение $\sin^2 x = \frac{1}{2}$.

Применим формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2}$

$1 - \cos(2x) = 1$

$\cos(2x) = 0$

Решаем частный случай:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Делим на 2:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

к)

Дано уравнение $\cos^2 x = \frac{3}{4}$.

Применим формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{3}{4}$

$1 + \cos(2x) = \frac{3}{2}$

$\cos(2x) = \frac{1}{2}$

Решаем уравнение для $2x$:

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Делим на 2:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

л)

Дано уравнение $\text{ctg}^2 x = 3$.

Извлекаем квадратный корень:

$\text{ctg} x = \pm \sqrt{3}$.

1) $\text{ctg} x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{ctg} x = -\sqrt{3} \implies x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения, получаем:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

м)

Дано уравнение $\text{tg}^2 x = \frac{1}{3}$.

Извлекаем квадратный корень:

$\text{tg} x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

1) $\text{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \implies x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединяем в одну формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

11.10 a) $\sin^2 x - 4 \sin x + 3 = 0$;

б) $\cos^2 x + 5 \cos x - 6 = 0$;

в) $\sin^2 x + 3 \sin x + 2 = 0$;

г) $2 \cos^2 x + 5 \cos x + 3 = 0$;

д) $\text{tg}^2 x + 2 \text{tg} x - 3 = 0$;

е) $5 \text{tg}^2 x + 6 \text{tg} x + 1 = 0$;

ж) $6 \text{tg}^2 x - \text{tg} x - 1 = 0$;

з) $4 \text{tg}^2 x - 7 \text{tg} x - 2 = 0$;

и) $\sin^2 x + 2 \sin x + 1 = 0$;

к) $\cos^2 x - 2 \cos x + 1 = 0$.

а) $\sin^2 x - 4 \sin x + 3 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\sin x$. Введем замену: пусть $t = \sin x$. Тогда уравнение принимает вид:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Отсюда корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Выполним обратную замену:

1. $\sin x = 3$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $[-1; 1]$, а $3 \notin [-1; 1]$.

2. $\sin x = 1$. Решение этого простейшего тригонометрического уравнения:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos^2 x + 5 \cos x - 6 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Уравнение примет вид:

$t^2 + 5t - 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -5, а произведение -6. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -6$.

Выполним обратную замену:

1. $\cos x = -6$. Уравнение не имеет решений, так как $-6 \notin [-1; 1]$.

2. $\cos x = 1$. Решение:

$x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin^2 x + 3 \sin x + 2 = 0$

Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$. Получаем квадратное уравнение:

$t^2 + 3t + 2 = 0$

По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -3$ и $t_1 \cdot t_2 = 2$. Корни: $t_1 = -1$ и $t_2 = -2$.

Выполним обратную замену:

1. $\sin x = -2$. Уравнение не имеет решений, так как $-2 \notin [-1; 1]$.

2. $\sin x = -1$. Решение:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $2\cos^2 x + 5 \cos x + 3 = 0$

Пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Получаем уравнение:

$2t^2 + 5t + 3 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

$t = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 1}{4}$

$t_1 = \frac{-5 - 1}{4} = -\frac{6}{4} = -1.5$

$t_2 = \frac{-5 + 1}{4} = -\frac{4}{4} = -1$

Выполним обратную замену:

1. $\cos x = -1.5$. Уравнение не имеет решений, так как $-1.5 \notin [-1; 1]$.

2. $\cos x = -1$. Решение:

$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

д) $\text{tg}^2 x + 2 \text{tg} x - 3 = 0$

Пусть $t = \text{tg} x$. Уравнение принимает вид:

$t^2 + 2t - 3 = 0$

По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -2$ и $t_1 \cdot t_2 = -3$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Выполним обратную замену:

1. $\text{tg} x = 1$. Решение: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. $\text{tg} x = -3$. Решение: $x = \text{arctg}(-3) + \pi k = -\text{arctg}(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n; x = -\text{arctg}(3) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

е) $5\text{tg}^2 x + 6 \text{tg} x + 1 = 0$

Пусть $t = \text{tg} x$. Получаем уравнение:

$5t^2 + 6t + 1 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$.

$t = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 \pm 4}{10}$

$t_1 = \frac{-6 - 4}{10} = -1$

$t_2 = \frac{-6 + 4}{10} = -\frac{2}{10} = -0.2$

Выполним обратную замену:

1. $\text{tg} x = -1$. Решение: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. $\text{tg} x = -0.2$. Решение: $x = \text{arctg}(-0.2) + \pi k = -\text{arctg}(0.2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n; x = -\text{arctg}(0.2) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

ж) $6\text{tg}^2 x - \text{tg} x - 1 = 0$

Пусть $t = \text{tg} x$. Получаем уравнение:

$6t^2 - t - 1 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.

$t = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 \pm 5}{12}$

$t_1 = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{1 - 5}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$

Выполним обратную замену:

1. $\text{tg} x = \frac{1}{2}$. Решение: $x = \text{arctg}(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. $\text{tg} x = -\frac{1}{3}$. Решение: $x = \text{arctg}(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\text{arctg}(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \text{arctg}(\frac{1}{2}) + \pi n; x = -\text{arctg}(\frac{1}{3}) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

з) $4\text{tg}^2 x - 7 \text{tg} x - 2 = 0$

Пусть $t = \text{tg} x$. Получаем уравнение:

$4t^2 - 7t - 2 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81$.

$t = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{7 \pm 9}{8}$

$t_1 = \frac{7 + 9}{8} = \frac{16}{8} = 2$

$t_2 = \frac{7 - 9}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$

Выполним обратную замену:

1. $\text{tg} x = 2$. Решение: $x = \text{arctg}(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. $\text{tg} x = -\frac{1}{4}$. Решение: $x = \text{arctg}(-\frac{1}{4}) + \pi k = -\text{arctg}(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \text{arctg}(2) + \pi n; x = -\text{arctg}(\frac{1}{4}) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

и) $\sin^2 x + 2 \sin x + 1 = 0$

Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат. Свернем его по формуле квадрата суммы:

$(\sin x + 1)^2 = 0$

Отсюда следует, что:

$\sin x + 1 = 0$

$\sin x = -1$

Решение этого простейшего тригонометрического уравнения:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

к) $\cos^2 x - 2 \cos x + 1 = 0$

Левая часть уравнения является полным квадратом. Свернем его по формуле квадрата разности:

$(\cos x - 1)^2 = 0$

Отсюда следует, что:

$\cos x - 1 = 0$

$\cos x = 1$

Решение этого простейшего тригонометрического уравнения:

$x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

11.11* a) $ \text{tg}^2 x - \frac{1}{\text{tg}^2 x - 1} = 2,5; $

б) $ 3 \text{tg}^2 x + \frac{1}{\text{tg}^2 x - 1} = -0,5. $

a) $\text{tg}^2 x - \frac{1}{\text{tg}^2 x - 1} = 2,5$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$\text{tg}^2 x - 1 \neq 0$, откуда $\text{tg}^2 x \neq 1$, то есть $\text{tg} x \neq \pm 1$.

Это означает, что $x \neq \pm \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Также, тангенс должен быть определен, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \text{tg}^2 x$. Так как $\text{tg}^2 x \ge 0$, то $y \ge 0$. С учетом ОДЗ, $y \neq 1$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$y - \frac{1}{y - 1} = 2,5$

Умножим обе части уравнения на $(y-1)$, так как мы знаем, что $y-1 \neq 0$:

$y(y - 1) - 1 = 2,5(y - 1)$

$y^2 - y - 1 = 2,5y - 2,5$

Перенесем все члены в левую часть:

$y^2 - y - 2,5y - 1 + 2,5 = 0$

$y^2 - 3,5y + 1,5 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$2y^2 - 7y + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Оба корня удовлетворяют условиям $y \ge 0$ и $y \neq 1$.

Теперь выполним обратную замену.

1. Если $y = 3$:

$\text{tg}^2 x = 3$

$\text{tg} x = \pm \sqrt{3}$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2. Если $y = 0,5$:

$\text{tg}^2 x = 0,5 = \frac{1}{2}$

$\text{tg} x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = \pm \text{arctg}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Все найденные серии корней удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \text{arctg}\frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $3 \text{tg}^2 x + \frac{1}{\text{tg}^2 x - 1} = -0,5$

ОДЗ такое же, как и в предыдущем пункте: $\text{tg}^2 x \neq 1$, то есть $x \neq \pm \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, и $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Выполним замену $y = \text{tg}^2 x$, где $y \ge 0$ и $y \neq 1$.

Получаем уравнение:

$3y + \frac{1}{y - 1} = -0,5$

Умножим обе части на $(y-1)$:

$3y(y - 1) + 1 = -0,5(y - 1)$

$3y^2 - 3y + 1 = -0,5y + 0,5$

Перенесем все члены в левую часть:

$3y^2 - 3y + 0,5y + 1 - 0,5 = 0$

$3y^2 - 2,5y + 0,5 = 0$

Умножим уравнение на 2:

$6y^2 - 5y + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Оба корня удовлетворяют условиям $y \ge 0$ и $y \neq 1$.

Выполним обратную замену.

1. Если $y = \frac{1}{3}$:

$\text{tg}^2 x = \frac{1}{3}$

$\text{tg} x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2. Если $y = \frac{1}{2}$:

$\text{tg}^2 x = \frac{1}{2}$

$\text{tg} x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x = \pm \text{arctg}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Все найденные серии корней удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \text{arctg}\frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.