Страница 295 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

10.31 Укажите три числовых промежутка, на каждом из которых функция $y = ctg x$ убывает.

Чтобы определить промежутки убывания функции $y = \text{ctg } x$, необходимо проанализировать ее поведение. Проще всего это сделать с помощью производной.

1. Найдём область определения функции.
Функция котангенса определяется как отношение $y = \text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Она не определена в точках, где знаменатель обращается в нуль, то есть где $\sin x = 0$. Это происходит при $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Найдём производную функции.
Производная функции $y = \text{ctg } x$ равна: $y' = (\text{ctg } x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

3. Проанализируем знак производной.
Выражение $\sin^2 x$ является квадратом синуса, поэтому оно всегда неотрицательно: $\sin^2 x \ge 0$. В области определения функции $\sin x \neq 0$, следовательно, $\sin^2 x > 0$.
Так как знаменатель $\sin^2 x$ всегда строго положителен, то вся дробь $\frac{1}{\sin^2 x}$ также всегда положительна.
Из-за знака "минус" перед дробью производная $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ всегда отрицательна ($y' < 0$) на всей своей области определения.

4. Сделаем вывод о монотонности.
Если производная функции отрицательна на некотором промежутке, то функция на этом промежутке убывает. Поскольку производная $y'$ отрицательна на всей области определения функции $y = \text{ctg } x$, функция убывает на каждом интервале, на котором она непрерывна. Эти интервалы имеют вид $(\pi n, \pi(n+1))$, где $n \in \mathbb{Z}$.

5. Укажем три конкретных промежутка.
Для этого выберем три любых целых значения для $n$:

• Пусть $n = -1$, тогда промежуток будет $(-\pi, 0)$.
• Пусть $n = 0$, тогда промежуток будет $(0, \pi)$.
• Пусть $n = 1$, тогда промежуток будет $(\pi, 2\pi)$.

Это три примера числовых промежутков, на каждом из которых функция $y = \text{ctg } x$ убывает.

Ответ: $(0; \pi)$, $(\pi; 2\pi)$, $(-\pi; 0)$.

10.32 Сравните:

а) ctg $\frac{\pi}{7}$ и ctg $\frac{6\pi}{7}$;

б) ctg $(-\frac{\pi}{7})$ и ctg $(-\frac{6\pi}{7})$;

в) ctg $\frac{7\pi}{9}$ и ctg $\frac{8\pi}{9}$;

г) ctg $\frac{11\pi}{10}$ и ctg $\frac{13\pi}{10}$;

д) ctg $\frac{\pi}{11}$ и ctg $\frac{13\pi}{12}$;

е) ctg $\frac{6\pi}{7}$ и ctg $(-\frac{\pi}{5})$.

Для решения данных задач мы будем использовать свойства функции котангенс $y = \text{ctg}(x)$:

• Функция является убывающей на каждом из интервалов своей области определения, например, на $(0, \pi)$, $(\pi, 2\pi)$ и т.д. Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ из такого интервала, если $x_1 < x_2$, то $\text{ctg}(x_1) > \text{ctg}(x_2)$.
• Котангенс — нечетная функция: $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$.
• Котангенс — периодическая функция с периодом $\pi$: $\text{ctg}(x + \pi n) = \text{ctg}(x)$ для любого целого $n$.
• Знаки котангенса по четвертям: I (+), II (-), III (+), IV (-).

а)

Сравним $\text{ctg}\frac{\pi}{7}$ и $\text{ctg}\frac{6\pi}{7}$.

Аргументы $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{6\pi}{7}$ принадлежат интервалу $(0, \pi)$, на котором функция $y = \text{ctg}(x)$ монотонно убывает.

Сравним значения аргументов: $\frac{\pi}{7} < \frac{6\pi}{7}$.

Так как функция котангенса на этом интервале убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $\text{ctg}\frac{\pi}{7} > \text{ctg}\frac{6\pi}{7}$.

Альтернативно, можно определить знаки: угол $\frac{\pi}{7}$ находится в I четверти, где котангенс положителен ($\text{ctg}\frac{\pi}{7} > 0$), а угол $\frac{6\pi}{7}$ — во II четверти, где котангенс отрицателен ($\text{ctg}\frac{6\pi}{7} < 0$). Положительное число всегда больше отрицательного.

Ответ: $\text{ctg}\frac{\pi}{7} > \text{ctg}\frac{6\pi}{7}$.

б)

Сравним $\text{ctg}(-\frac{\pi}{7})$ и $\text{ctg}(-\frac{6\pi}{7})$.

Определим, в каких координатных четвертях находятся углы.

Угол $-\frac{\pi}{7}$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, что соответствует IV координатной четверти. В этой четверти котангенс отрицателен: $\text{ctg}(-\frac{\pi}{7}) < 0$.

Угол $-\frac{6\pi}{7}$ находится в интервале $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$, что соответствует III координатной четверти. В этой четверти котангенс положителен: $\text{ctg}(-\frac{6\pi}{7}) > 0$.

Положительное число всегда больше отрицательного, поэтому $\text{ctg}(-\frac{6\pi}{7}) > \text{ctg}(-\frac{\pi}{7})$.

Ответ: $\text{ctg}(-\frac{\pi}{7}) < \text{ctg}(-\frac{6\pi}{7})$.

в)

Сравним $\text{ctg}\frac{7\pi}{9}$ и $\text{ctg}\frac{8\pi}{9}$.

Аргументы $\frac{7\pi}{9}$ и $\frac{8\pi}{9}$ принадлежат интервалу $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, который является частью интервала $(0, \pi)$, где функция $y = \text{ctg}(x)$ монотонно убывает.

Сравним аргументы: $\frac{7\pi}{9} < \frac{8\pi}{9}$.

Поскольку функция убывает, большему аргументу соответствует меньшее значение функции. Таким образом, $\text{ctg}\frac{7\pi}{9} > \text{ctg}\frac{8\pi}{9}$.

Ответ: $\text{ctg}\frac{7\pi}{9} > \text{ctg}\frac{8\pi}{9}$.

г)

Сравним $\text{ctg}\frac{11\pi}{10}$ и $\text{ctg}\frac{13\pi}{10}$.

Аргументы $\frac{11\pi}{10}$ и $\frac{13\pi}{10}$ принадлежат интервалу $(\pi, \frac{3\pi}{2})$, который является частью интервала $(\pi, 2\pi)$, где функция $y = \text{ctg}(x)$ монотонно убывает.

Сравним аргументы: $\frac{11\pi}{10} < \frac{13\pi}{10}$.

Так как функция убывает, большему аргументу соответствует меньшее значение функции. Значит, $\text{ctg}\frac{11\pi}{10} > \text{ctg}\frac{13\pi}{10}$.

Ответ: $\text{ctg}\frac{11\pi}{10} > \text{ctg}\frac{13\pi}{10}$.

д)

Сравним $\text{ctg}\frac{\pi}{11}$ и $\text{ctg}\frac{13\pi}{12}$.

Используем периодичность котангенса для второго выражения: $\text{ctg}\frac{13\pi}{12} = \text{ctg}(\pi + \frac{\pi}{12}) = \text{ctg}\frac{\pi}{12}$.

Теперь задача сводится к сравнению $\text{ctg}\frac{\pi}{11}$ и $\text{ctg}\frac{\pi}{12}$.

Оба аргумента, $\frac{\pi}{11}$ и $\frac{\pi}{12}$, находятся в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, где функция $y = \text{ctg}(x)$ убывает.

Сравним аргументы: так как $11 < 12$, то $\frac{1}{11} > \frac{1}{12}$, и, следовательно, $\frac{\pi}{11} > \frac{\pi}{12}$.

Поскольку функция убывает, большему аргументу соответствует меньшее значение функции: $\text{ctg}\frac{\pi}{11} < \text{ctg}\frac{\pi}{12}$.

Отсюда следует, что $\text{ctg}\frac{\pi}{11} < \text{ctg}\frac{13\pi}{12}$.

Ответ: $\text{ctg}\frac{\pi}{11} < \text{ctg}\frac{13\pi}{12}$.

е)

Сравним $\text{ctg}\frac{6\pi}{7}$ и $\text{ctg}(-\frac{\pi}{5})$.

Сначала определим знаки. Угол $\frac{6\pi}{7}$ находится во II четверти ($\text{ctg}\frac{6\pi}{7} < 0$). Угол $-\frac{\pi}{5}$ находится в IV четверти ($\text{ctg}(-\frac{\pi}{5}) < 0$).

Так как оба значения отрицательны, преобразуем их, используя формулы приведения и нечетность котангенса.

$\text{ctg}\frac{6\pi}{7} = \text{ctg}(\pi - \frac{\pi}{7}) = -\text{ctg}\frac{\pi}{7}$.

$\text{ctg}(-\frac{\pi}{5}) = -\text{ctg}\frac{\pi}{5}$.

Теперь сравним $-\text{ctg}\frac{\pi}{7}$ и $-\text{ctg}\frac{\pi}{5}$. Для этого сначала сравним $\text{ctg}\frac{\pi}{7}$ и $\text{ctg}\frac{\pi}{5}$.

Аргументы $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{\pi}{5}$ лежат в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, где котангенс убывает.

Сравним аргументы: так как $7 > 5$, то $\frac{1}{7} < \frac{1}{5}$, значит $\frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{5}$.

Из-за убывания функции, $\text{ctg}\frac{\pi}{7} > \text{ctg}\frac{\pi}{5}$.

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный: $-\text{ctg}\frac{\pi}{7} < -\text{ctg}\frac{\pi}{5}$.

Следовательно, $\text{ctg}\frac{6\pi}{7} < \text{ctg}(-\frac{\pi}{5})$.

Ответ: $\text{ctg}\frac{6\pi}{7} < \text{ctg}(-\frac{\pi}{5})$.

10.33* Постройте график функции:

а) $y = |\cot x|$;

б) $y = \cot |x|$;

в) $y = \cot x \sin x$;

г) $y = \cot (\pi - x)$;

д) $y = \cot x + 1$;

е) $y = |\cot x + 1|$.

а) Чтобы построить график функции $y = |\operatorname{ctg} x|$, необходимо выполнить следующие преобразования графика $y = \operatorname{ctg} x$:

1. Сначала строим график основной функции $y = \operatorname{ctg} x$. Это периодическая функция с периодом $\pi$. Её область определения — все действительные числа, кроме $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках находятся вертикальные асимптоты. Функция пересекает ось Ox в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.
2. Далее применяем операцию взятия модуля ко всей функции: $y = |f(x)|$. Геометрически это означает, что все части графика, которые находятся ниже оси абсцисс (где значения функции отрицательны), симметрично отражаются относительно этой оси вверх. Части графика, которые уже находятся выше или на оси абсцисс, остаются на своих местах.
3. У функции $y = \operatorname{ctg} x$ отрицательные значения находятся на интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Именно эти участки графика нужно отразить.

В результате мы получим график, который целиком расположен в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Вертикальные асимптоты $x = \pi k$ и нули функции $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ сохраняются. Период функции также остается равным $\pi$.

Ответ: График функции $y = |\operatorname{ctg} x|$ получается из графика $y = \operatorname{ctg} x$ путем симметричного отражения относительно оси Ox тех его частей, которые расположены ниже этой оси.

б) Чтобы построить график функции $y = \operatorname{ctg} |x|$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Сначала строим график функции $y = \operatorname{ctg} x$.
2. Применяем преобразование модуля к аргументу: $y = f(|x|)$. Это преобразование выполняется так:
   • Часть графика, соответствующая $x \ge 0$, остается без изменений.
   • Часть графика, соответствующая $x < 0$, удаляется.
   • Оставшаяся часть графика (для $x \ge 0$) симметрично отражается относительно оси ординат (оси Oy).

В итоге получается четная функция, график которой симметричен относительно оси Oy. Область определения функции: $|x| \neq \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$. Так как $|x| \ge 0$, то $x \neq \pi k$ для любого целого $k$. Вертикальные асимптоты будут в точках $x = \pi k$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg} |x|$ строится так: строится ветвь графика $y = \operatorname{ctg} x$ для $x > 0$, а затем эта ветвь симметрично отражается относительно оси Oy.

в) Чтобы построить график функции $y = \operatorname{ctg} x \sin x$, сначала упростим выражение:

$y = \operatorname{ctg} x \sin x = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x$

При упрощении важно учесть область определения исходной функции. Функция $y = \operatorname{ctg} x$ не определена в точках, где $\sin x = 0$, то есть при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, функция эквивалентна $y = \cos x$ при условии, что $x \neq \pi k$.

Построение графика:

1. Строим график функции $y = \cos x$.
2. На этом графике "выкалываем" (удаляем) точки, абсциссы которых равны $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
3. Координаты выколотых точек: $(\pi k, \cos(\pi k)) = (\pi k, (-1)^k)$. Например, это точки $(0, 1)$, $(\pi, -1)$, $(2\pi, 1)$, $(-\pi, -1)$ и так далее.

Ответ: Графиком функции является график $y = \cos x$ с выколотыми точками вида $(\pi k, (-1)^k)$ при всех целых $k$.

г) Чтобы построить график функции $y = \operatorname{ctg}(\pi - x)$, можно использовать формулы приведения.

Согласно формуле приведения для котангенса, $\operatorname{ctg}(\pi - x) = -\operatorname{ctg} x$.

Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = -\operatorname{ctg} x$.

Построение графика:

1. Строим график функции $y = \operatorname{ctg} x$.
2. Применяем преобразование $y = -f(x)$, что соответствует симметричному отражению графика $y = f(x)$ относительно оси абсцисс (оси Ox).

В результате каждая ветвь котангенсоиды, которая убывала, станет возрастающей. Асимптоты и нули функции останутся на прежних местах ($x=\pi k$ и $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$ соответственно).

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg}(\pi - x)$ совпадает с графиком функции $y = -\operatorname{ctg} x$, который получается из графика $y = \operatorname{ctg} x$ симметричным отражением относительно оси Ox.

д) Чтобы построить график функции $y = \operatorname{ctg} x + 1$, нужно выполнить преобразование сдвига.

Это преобразование вида $y = f(x) + c$, где $c=1$. Оно соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y = f(x)$ вдоль оси ординат (оси Oy) на $c$ единиц.

Построение графика:

1. Строим график функции $y = \operatorname{ctg} x$.
2. Сдвигаем весь график на 1 единицу вверх.

Вертикальные асимптоты $x = \pi k$ останутся без изменений. Ось Ox, которую график $y = \operatorname{ctg} x$ пересекал в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, теперь сместится на линию $y = 1$. Новые нули функции (точки пересечения с осью Ox) находятся из уравнения $\operatorname{ctg} x + 1 = 0$, то есть $\operatorname{ctg} x = -1$, откуда $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg} x + 1$ получается из графика $y = \operatorname{ctg} x$ параллельным переносом на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

е) Чтобы построить график функции $y = |\operatorname{ctg} x + 1|$, нужно выполнить последовательность преобразований.

1. Сначала строим график функции $y = \operatorname{ctg} x + 1$, как это было описано в предыдущем пункте (сдвигом графика $y = \operatorname{ctg} x$ на 1 единицу вверх).
2. Затем к полученному графику применяем операцию взятия модуля: $y = |g(x)|$, где $g(x) = \operatorname{ctg} x + 1$. Как и в пункте а), это означает, что все части графика, расположенные ниже оси Ox, отражаются симметрично относительно этой оси.
3. Определим, где $g(x) < 0$: $\operatorname{ctg} x + 1 < 0 \implies \operatorname{ctg} x < -1$. Это неравенство выполняется на интервалах $(\frac{3\pi}{4} + \pi k, \pi + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
4. Именно эти участки графика $y = \operatorname{ctg} x + 1$ нужно отразить вверх.

В результате получится график, который целиком лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Вертикальные асимптоты $x = \pi k$ сохраняются. Точки, где график касался оси Ox, — это нули функции $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$.

Ответ: График функции $y = |\operatorname{ctg} x + 1|$ получается из графика $y = \operatorname{ctg} x + 1$ путем симметричного отражения относительно оси Ox тех его частей, которые расположены ниже этой оси.