Страница 291 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

10.19°

а) В каком случае говорят, что задана функция $y = \text{tg } x$ числового аргумента $x?

б) При каких значениях $x$ определена функция $y = \text{tg } x?

в) Сформулируйте свойства функции $y = \text{tg } x.

а) Говорят, что задана функция $y = \operatorname{tg} x$ числового аргумента $x$, когда установлен закон (правило), по которому каждому действительному числу $x$ из определенного множества (области определения) ставится в соответствие единственное действительное число $y$. Для функции $y = \operatorname{tg} x$ это правило состоит в вычислении тангенса числа $x$, где $x$ рассматривается как действительное число (величина угла, выраженная в радианах).

Ответ: Говорят, что задана функция $y = \operatorname{tg} x$, если каждому числу $x$ из области определения функции тангенс поставлено в соответствие единственное число $y$, равное $\operatorname{tg} x$.

б) Функция тангенса определяется как отношение синуса к косинусу: $y = \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

Дробь имеет смысл (определена) только тогда, когда ее знаменатель не равен нулю. Следовательно, функция $y = \operatorname{tg} x$ определена для всех тех значений аргумента $x$, при которых выполняется условие $\cos x \neq 0$.

Известно, что косинус равен нулю при значениях аргумента $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, область определения функции $y = \operatorname{tg} x$ — это множество всех действительных чисел, кроме чисел вида $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Функция определена при всех значениях $x$, таких что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) Основные свойства функции $y = \operatorname{tg} x$:

• Область определения: множество всех действительных чисел, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В виде множества: $D(y) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

• Область значений: множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

• Периодичность: функция является периодической. Наименьший положительный период равен $\pi$. То есть, $\operatorname{tg}(x+\pi) = \operatorname{tg} x$ для любого $x$ из области определения.

• Четность: функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$. График функции симметричен относительно начала координат (точки $O(0;0)$).

• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $y=0$ при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

• Промежутки знакопостоянства:

  • $\operatorname{tg} x > 0$ (функция положительна) на интервалах $(\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

  • $\operatorname{tg} x < 0$ (функция отрицательна) на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

• Монотонность (промежутки возрастания и убывания): функция строго возрастает на каждом из интервалов своей области определения, то есть на интервалах вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

• Экстремумы: функция не имеет точек максимума и минимума.

• Асимптоты: прямые вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, являются вертикальными асимптотами графика функции.

Ответ: Свойства функции $y=\operatorname{tg} x$: область определения $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; область значений $(-\infty, +\infty)$; функция нечетная; периодическая с периодом $\pi$; возрастает на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$; нули при $x = \pi k$; не имеет экстремумов; вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

10.20 Постройте график функции $y = \operatorname{tg} x$ по точкам на интервале $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$.

Для построения графика функции $y = \operatorname{tg} x$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ по точкам, необходимо выполнить анализ функции, вычислить координаты нескольких ключевых точек, а затем нанести их на координатную плоскость и соединить плавной линией.

1. Анализ функции

• Область определения и асимптоты: Функция $y = \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ не определена, когда знаменатель $\cos x = 0$. Это происходит при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число. На заданном интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ функция не определена на его границах. Прямые $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$ являются вертикальными асимптотами графика. При $x \to \frac{\pi}{2}^-$ значение $y \to +\infty$, а при $x \to -\frac{\pi}{2}^+$ значение $y \to -\infty$.

• Симметрия: Функция является нечетной, так как $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$. Ее график симметричен относительно начала координат $(0, 0)$.

• Монотонность: Функция возрастает на всем интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, так как ее производная $y' = \frac{1}{\cos^2 x}$ всегда положительна.

• Точки пересечения с осями координат: Если $x=0$, то $y = \operatorname{tg} 0 = 0$. График проходит через начало координат. Это единственная точка пересечения с осями на данном интервале.

2. Вычисление координат точек

Составим таблицу значений функции для нескольких удобных точек из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

3. Построение графика

1. Начертим координатные оси $Ox$ и $Oy$.
2. Проведем вертикальные пунктирные линии (асимптоты) $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.
3. Отметим на плоскости точки из таблицы: $(-\frac{\pi}{3}, -\sqrt{3})$, $(-\frac{\pi}{4}, -1)$, $(-\frac{\pi}{6}, -\frac{\sqrt{3}}{3})$, $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{6}, \frac{\sqrt{3}}{3})$, $(\frac{\pi}{4}, 1)$, $(\frac{\pi}{3}, \sqrt{3})$.
4. Соединим точки плавной кривой, которая возрастает, проходит через начало координат и стремится к асимптотам на границах интервала.

График функции $y = \operatorname{tg} x$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ выглядит следующим образом:

Ответ:

График функции $y = \operatorname{tg} x$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ является основной ветвью тангенсоиды. Это возрастающая кривая, симметричная относительно начала координат, проходящая через точку $(0,0)$ и асимптотически приближающаяся к вертикальным прямым $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$. График построен по точкам, представленным в таблице и на рисунке.

10.21° a) Является ли функция $y = \operatorname{tg} x$ чётной (нечётной)? Докажите.

б) Какое свойство графика функции $y = \operatorname{tg} x$ следует из доказанного утверждения?

в) Постройте график функции $y = \operatorname{tg} x$ на интервале $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, используя это свойство.

г) На каком промежутке функция $y = \operatorname{tg} x, x \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, положительна? отрицательна?

а) Является ли функция y = tg x чётной (нечётной)? Докажите.

Чтобы определить, является ли функция $y = \operatorname{tg} x$ чётной или нечётной, нужно проверить выполнение равенств $f(-x) = f(x)$ (для чётной функции) или $f(-x) = -f(x)$ (для нечётной функции) для всех $x$ из области определения.

Область определения функции $y = \operatorname{tg} x$ — это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно нуля (если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ ей принадлежит).

Найдём значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = \operatorname{tg}(-x)$

Используя определение тангенса $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и свойства чётности синуса ($\sin(-x) = -\sin x$) и косинуса ($\cos(-x) = \cos x$), получаем:

$\operatorname{tg}(-x) = \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \frac{-\sin x}{\cos x} = - \frac{\sin x}{\cos x} = -\operatorname{tg} x$

Поскольку выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Функция $y = \operatorname{tg} x$ является нечётной.

б) Какое свойство графика функции y = tg x следует из доказанного утверждения?

Из того, что функция $y = \operatorname{tg} x$ является нечётной, следует свойство её графика. График нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки $(0; 0)$).

Это означает, что если точка $(x_0; y_0)$ принадлежит графику функции, то и точка $(-x_0; -y_0)$ также принадлежит этому графику.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg} x$ симметричен относительно начала координат.

в) Постройте график функции y = tg x на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, используя это свойство.

Для построения графика функции $y = \operatorname{tg} x$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ воспользуемся свойством симметрии относительно начала координат.

Сначала построим график для $x \in [0; \frac{\pi}{2})$. Найдём несколько ключевых точек:

• При $x=0$, $y = \operatorname{tg}(0) = 0$. Точка $(0; 0)$.
• При $x=\frac{\pi}{4}$, $y = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$. Точка $(\frac{\pi}{4}; 1)$.
• При $x \to \frac{\pi}{2}$ слева, $y = \operatorname{tg} x \to +\infty$. Прямая $x = \frac{\pi}{2}$ является вертикальной асимптотой графика.

Теперь, используя симметрию относительно начала координат, найдём соответствующие точки для $x \in (-\frac{\pi}{2}; 0]$:

• Точка $(0; 0)$ симметрична сама себе.
• Точке $(\frac{\pi}{4}; 1)$ соответствует симметричная точка $(-\frac{\pi}{4}; -1)$.
• Вертикальной асимптоте $x = \frac{\pi}{2}$ соответствует симметричная вертикальная асимптота $x = -\frac{\pi}{2}$. При $x \to -\frac{\pi}{2}$ справа, $y = \operatorname{tg} x \to -\infty$.

Соединив эти точки плавной линией, получим график функции на заданном интервале.

Ответ: График представляет собой возрастающую кривую, проходящую через начало координат и ограниченную вертикальными асимптотами $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

г) На каком промежутке функция y = tg x, $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, положительна? отрицательна?

Чтобы определить, на каком промежутке функция $y = \operatorname{tg} x$ положительна или отрицательна на интервале $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, можно проанализировать её знак или посмотреть на построенный график.

1. Аналитический способ: Знак тангенса $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$ зависит от знаков $\sin x$ и $\cos x$.

• На всем интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ функция $\cos x$ положительна ($\cos x > 0$).
• Следовательно, знак $\operatorname{tg} x$ совпадает со знаком $\sin x$.
• Функция $\sin x$ положительна при $x \in (0; \pi)$. В пределах нашего интервала это означает $x \in (0; \frac{\pi}{2})$.
• Функция $\sin x$ отрицательна при $x \in (-\pi; 0)$. В пределах нашего интервала это означает $x \in (-\frac{\pi}{2}; 0)$.

2. Графический способ:

• Функция положительна там, где её график лежит выше оси Ox. Из графика в пункте в) видно, что это происходит на интервале $(0; \frac{\pi}{2})$.
• Функция отрицательна там, где её график лежит ниже оси Ox. Из графика видно, что это происходит на интервале $(-\frac{\pi}{2}; 0)$.

Ответ: Функция положительна на промежутке $(0; \frac{\pi}{2})$ и отрицательна на промежутке $(-\frac{\pi}{2}; 0)$.

10.22.° a) Является ли периодом функции $y = \text{tg } x$ число: $0; \frac{\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}; \pi; -\pi; \frac{3\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}; 2\pi; -2\pi$?

б) Каков главный период функции $y = \text{tg } x$?

в) Какое свойство графика функции $y = \text{tg } x$ следует из её периодичности?

г) Как называют график функции $y = \text{tg } x$?

а) По определению, число $T \neq 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Основной (наименьший положительный) период функции $y=\tg x$ равен $\pi$. Любое число вида $k\pi$, где $k$ — целое ненулевое число, также будет периодом. Рассмотрим предложенные числа:
• $0$ — не является периодом, так как по определению период должен быть отличен от нуля.
• $\frac{\pi}{2}$ и $-\frac{\pi}{2}$ — не являются периодами, так как, например, $\tg(x+\frac{\pi}{2}) = -\ctg x \neq \tg x$.
• $\pi$ и $-\pi$ — являются периодами, так как $\tg(x \pm \pi) = \tg x$.
• $\frac{3\pi}{2}$ и $-\frac{3\pi}{2}$ — не являются периодами, так как $\tg(x+\frac{3\pi}{2}) = \tg(x+\pi+\frac{\pi}{2}) = \tg(x+\frac{\pi}{2}) = -\ctg x \neq \tg x$.
• $2\pi$ и $-2\pi$ — являются периодами, так как они кратны основному периоду $\pi$ (например, $2\pi=2\cdot\pi$).
Ответ: периодами являются числа $\pi; -\pi; 2\pi; -2\pi$.

б) Главный (или основной) период функции — это её наименьший положительный период. Как известно, для функции $y=\tg x$ таким периодом является число $\pi$.
Ответ: $\pi$.

в) Периодичность функции означает, что её график состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых фрагментов. Для функции $y=\tg x$ с основным периодом $T=\pi$ это свойство означает, что весь её график можно получить из одной ветви (например, на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$) путем её параллельного переноса вдоль оси абсцисс ($Ox$) на расстояния $k\pi$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: график функции состоит из бесконечного числа одинаковых ветвей, получаемых одна из другой параллельным переносом вдоль оси $Ox$ на $k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) График функции $y = \tg x$ имеет собственное название, аналогично синусоиде для функции $y = \sin x$.
Ответ: тангенсоида.