Страница 287 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

10.10° В каком случае говорят, что задана функция $y = \cos x$ числового аргумента $x$?

Говорят, что задана функция $y = \cos x$ числового аргумента $x$, если установлено правило (закон соответствия), по которому каждому действительному числу $x$ из области определения ставится в соответствие единственное число $y$. Для тригонометрических функций, рассматриваемых как функции числового аргумента, это правило вводится с помощью единичной окружности.

Рассмотрим в прямоугольной системе координат $xOy$ окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1. Такую окружность называют единичной. За начальную точку на окружности примем точку $P_0$ с координатами $(1, 0)$.

Каждому действительному числу $x$ можно поставить в соответствие точку $P_x$ на единичной окружности. Эта точка получается путем перемещения по окружности из начальной точки $P_0$ на дугу длиной $|x|$. При этом, если $x > 0$, движение происходит в положительном направлении (против часовой стрелки), а если $x < 0$ — в отрицательном направлении (по часовой стрелке). Таким образом, число $x$ представляет собой радианную меру угла, на который нужно повернуть начальную точку $P_0$, чтобы получить точку $P_x$.

После того как для каждого числа $x$ найдена соответствующая ему точка $P_x$ на единичной окружности, вводится определение косинуса. Косинусом числового аргумента $x$ (обозначается $\cos x$) называется абсцисса (то есть, координата по оси $x$) точки $P_x$.

Следовательно, функция $y = \cos x$ числового аргумента $x$ — это закон, который каждому действительному числу $x$ ставит в соответствие абсциссу точки на единичной окружности, в которую переходит точка $(1, 0)$ при повороте на угол в $x$ радиан.

Ответ: Говорят, что задана функция $y = \cos x$ числового аргумента $x$, когда установлено правило, согласно которому каждому действительному числу $x$ ставится в соответствие абсцисса точки единичной окружности, полученной путем поворота точки $(1, 0)$ на угол в $x$ радиан.

10.11° Сформулируйте свойства функции $y = \cos x$.

Основные свойства функции $y = \cos x$:

• Область определения

  Функция косинус определена для всех действительных чисел, так как для любого угла, выраженного в радианах, можно найти значение его косинуса.

  Ответ: Область определения функции — множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

• Область значений

  Значения функции косинус ограничены и находятся в отрезке от -1 до 1 включительно, так как косинус угла в прямоугольном треугольнике (или на единичной окружности) не может быть больше 1 и меньше -1.

  Ответ: Область значений функции — отрезок $[-1; 1]$, то есть $E(y) = [-1; 1]$.

• Четность

  Функция является четной, поскольку для любого значения $x$ из области определения выполняется равенство $\cos(-x) = \cos x$. Это означает, что график функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

  Ответ: Функция $y = \cos x$ — четная.

• Периодичность

  Функция является периодической, так как ее значения повторяются через определенный интервал. Наименьший положительный период для функции косинус равен $2\pi$. Это означает, что для любого целого числа $n$ выполняется равенство $\cos(x + 2\pi n) = \cos x$.

  Ответ: Наименьший положительный период $T = 2\pi$.

• Нули функции

  Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Для нахождения нулей решается уравнение $\cos x = 0$.

  Ответ: Нули функции: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

• Промежутки знакопостоянства

  Это промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (положительна или отрицательна).

  • Функция положительна ($y > 0$), когда угол $x$ находится в I или IV координатной четверти.
  • Функция отрицательна ($y < 0$), когда угол $x$ находится во II или III координатной четверти.

  Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$;
  $y < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

• Промежутки монотонности

  Это промежутки, на которых функция возрастает или убывает.

  • Функция возрастает на промежутках, где ее значения увеличиваются от -1 до 1.
  • Функция убывает на промежутках, где ее значения уменьшаются от 1 до -1.

  Ответ: Функция возрастает на отрезках вида $[-\pi + 2\pi n; 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.
  Функция убывает на отрезках вида $[2\pi n; \pi + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

• Экстремумы функции

  Это точки максимума и минимума функции.

  • Максимумы достигаются в точках, где значение функции равно 1.
  • Минимумы достигаются в точках, где значение функции равно -1.

  Ответ: Точки максимума $x_{max} = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$; наибольшее значение функции $y_{max} = 1$.
  Точки минимума $x_{min} = \pi + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$; наименьшее значение функции $y_{min} = -1$.

10.12 Постройте график функции $y=\cos x$ по точкам на отрезке $[0; \pi]$.

Для построения графика функции $y=\cos x$ на отрезке $[0; \pi]$ по точкам, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выбрать несколько значений аргумента $x$ из заданного отрезка $[0; \pi]$.
2. Вычислить для каждого выбранного значения $x$ соответствующее значение функции $y = \cos x$.
3. Составить таблицу значений.
4. Нанести полученные точки $(x, y)$ на координатную плоскость.
5. Соединить точки плавной линией.

1. Выбор точек и вычисление значений функции

Выберем характерные точки на отрезке $[0; \pi]$, для которых значения косинуса хорошо известны. Это точки $0$, $\pi/6$, $\pi/4$, $\pi/3$, $\pi/2$, $2\pi/3$, $3\pi/4$, $5\pi/6$ и $\pi$.Вычислим значения $y = \cos x$ для этих точек:

• При $x = 0$: $y = \cos(0) = 1$
• При $x = \pi/6$: $y = \cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,87$
• При $x = \pi/4$: $y = \cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,71$
• При $x = \pi/3$: $y = \cos(\pi/3) = \frac{1}{2} = 0,5$
• При $x = \pi/2$: $y = \cos(\pi/2) = 0$
• При $x = 2\pi/3$: $y = \cos(2\pi/3) = -\frac{1}{2} = -0,5$
• При $x = 3\pi/4$: $y = \cos(3\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0,71$
• При $x = 5\pi/6$: $y = \cos(5\pi/6) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0,87$
• При $x = \pi$: $y = \cos(\pi) = -1$

2. Таблица значений

Сведем полученные результаты в таблицу:

3. Построение графика

Построим прямоугольную систему координат $Oxy$. На оси абсцисс $Ox$ отложим значения $x$ от $0$ до $\pi$. На оси ординат $Oy$ отложим значения $y$ от $-1$ до $1$.

Отметим на координатной плоскости точки с координатами $(x, y)$ из таблицы:$(0, 1)$, $(\pi/6, \approx 0.87)$, $(\pi/4, \approx 0.71)$, $(\pi/3, 0.5)$, $(\pi/2, 0)$, $(2\pi/3, -0.5)$, $(3\pi/4, \approx -0.71)$, $(5\pi/6, \approx -0.87)$ и $(\pi, -1)$.

Соединим отмеченные точки плавной кривой. Эта кривая и будет являться графиком функции $y=\cos x$ на отрезке $[0; \pi]$.

Ответ:

График функции $y=\cos x$ на отрезке $[0; \pi]$ построен по вычисленным точкам. График представляет собой часть косинусоиды, которая начинается в точке $(0, 1)$, монотонно убывает, пересекает ось $Ox$ в точке $(\pi/2, 0)$ и заканчивается в точке $(\pi, -1)$.

10.13 а) Является ли функция $y = \cos x$ чётной (нечётной)? Докажите.

б) Какое свойство графика функции $y = \cos x$ следует из доказанного утверждения?

в) Постройте график функции $y = \cos x$ на отрезке $[-\pi; \pi]$, используя это свойство.

г) На каком промежутке функция $y = \cos x, x \in \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right]$, положительна? отрицательна?

а)

Функция $y=f(x)$ называется чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Функция называется нечётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Рассмотрим функцию $y = \cos x$. Область её определения — все действительные числа ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), она симметрична относительно нуля.

Проверим выполнение условия для чётной функции. Пусть $f(x) = \cos x$. Тогда:

$f(-x) = \cos(-x)$

Известно свойство косинуса: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Следовательно:

$\cos(-x) = \cos x$

Таким образом, $f(-x) = f(x)$, что соответствует определению чётной функции.

Ответ: функция $y = \cos x$ является чётной.

б)

Из того, что функция $y = \cos x$ является чётной, следует, что её график симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Это означает, что если точка с координатами $(x_0; y_0)$ принадлежит графику функции, то и точка с координатами $(-x_0; y_0)$ также принадлежит этому графику.

Ответ: график функции $y = \cos x$ симметричен относительно оси $Oy$.

в)

Чтобы построить график функции $y = \cos x$ на отрезке $[-\pi; \pi]$, можно использовать свойство её чётности (симметрию относительно оси $Oy$).

1. Сначала построим график на неотрицательной части отрезка, то есть на $[0; \pi]$. Для этого найдём значения функции в нескольких ключевых точках:
- при $x = 0$, $y = \cos 0 = 1$;
- при $x = \frac{\pi}{2}$, $y = \cos \frac{\pi}{2} = 0$;
- при $x = \pi$, $y = \cos \pi = -1$.
На отрезке $[0; \pi]$ функция убывает от 1 до -1, проходя через ноль в точке $x = \frac{\pi}{2}$.

2. Теперь используем свойство симметрии. Отразим построенную часть графика относительно оси $Oy$, чтобы получить его на отрезке $[-\pi; 0]$.
- Точка $(\pi; -1)$ отразится в точку $(-\pi; -1)$.
- Точка $(\frac{\pi}{2}; 0)$ отразится в точку $(-\frac{\pi}{2}; 0)$.
- Точка $(0; 1)$ останется на месте, так как лежит на оси симметрии.
На отрезке $[-\pi; 0]$ функция возрастает от -1 до 1.

В результате мы получаем одну полную волну косинусоиды, которая начинается в точке $(-\pi, -1)$, поднимается до максимума в точке $(0, 1)$ и опускается до минимума в точке $(\pi, -1)$.

Ответ: для построения графика на отрезке $[-\pi; \pi]$ нужно построить его на отрезке $[0; \pi]$ и симметрично отразить относительно оси $Oy$. График представляет собой кривую, проходящую через точки $(-\pi, -1)$, $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$.

г)

Нужно определить знаки функции $y = \cos x$ на промежутке $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.

Функция положительна, когда её график находится выше оси абсцисс ($Ox$), то есть $\cos x > 0$. На единичной окружности это соответствует углам в I и IV четвертях. В пределах заданного промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ это происходит на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. В точках $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$ функция равна нулю.

Функция отрицательна, когда её график находится ниже оси абсцисс ($Ox$), то есть $\cos x < 0$. На единичной окружности это соответствует углам во II и III четвертях. В пределах заданного промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ это происходит на интервале $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$. В точках $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$ функция равна нулю.

Ответ: на промежутке $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ функция $y = \cos x$ положительна при $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ и отрицательна при $x \in (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.

10.14° a) Является ли периодом функции $y = \cos x$ число: $0$; $\pi$; $-\pi$; $2\pi$; $-2\pi$; $3\pi$; $-3\pi$; $4\pi$; $-4\pi$?

б) Каков главный период функции $y = \cos x$?

в) Какое свойство графика функции $y = \cos x$ следует из её периодичности?

г) Как называют график функции $y = \cos x$?

а) По определению, число $T \neq 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
- Число $0$ не является периодом, так как по определению период должен быть отличен от нуля.
- Числа $\pi$ и $-\pi$ не являются периодами, так как $\cos(x \pm \pi) = -\cos x$, что не равно $\cos x$ для всех $x$.
- Числа $3\pi$ и $-3\pi$ не являются периодами, так как $\cos(x \pm 3\pi) = \cos(x \pm \pi \pm 2\pi) = \cos(x \pm \pi) = -\cos x$.
- Числа $2\pi, -2\pi, 4\pi, -4\pi$ являются периодами функции $y = \cos x$. В общем виде, любое число вида $2\pi k$, где $k$ — целое ненулевое число, является периодом для $y = \cos x$, так как выполняется тождество $\cos(x + 2\pi k) = \cos x$.
Ответ: периодами являются числа $2\pi, -2\pi, 4\pi, -4\pi$; не являются периодами числа $0, \pi, -\pi, 3\pi, -3\pi$.

б) Главным (или основным) периодом функции называется её наименьший положительный период. Множество всех периодов функции $y = \cos x$ задается формулой $T = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$. Положительными периодами из этого множества являются $2\pi, 4\pi, 6\pi, \dots$. Наименьшим из них является $2\pi$.
Ответ: главный период функции $y = \cos x$ равен $2\pi$.

в) Периодичность функции означает, что её график состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых частей. Для функции $y = \cos x$ с главным периодом $T = 2\pi$, это свойство означает, что весь её график можно получить, построив его на любом отрезке длиной $2\pi$ (например, на отрезке $[0, 2\pi]$) и затем выполняя параллельные переносы этого фрагмента вдоль оси абсцисс ($Ox$) на величины, кратные периоду, то есть на $2\pi k$, где $k$ — любое целое число.
Ответ: из периодичности функции $y = \cos x$ следует, что её график можно получить из его части на отрезке длиной $2\pi$ с помощью параллельных переносов вдоль оси абсцисс.

г) График тригонометрической функции $y = \cos x$ представляет собой кривую, которую называют косинусоидой.
Ответ: график функции $y = \cos x$ называют косинусоидой.

10.15 Определите промежутки возрастания (убывания) функции $y = \cos x$ на отрезке:

а) $[\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}]$;

б) $[-\frac{5\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}]$;

в) $[-\pi; \pi]$;

г) $[0; 2\pi]$.

Для определения промежутков возрастания и убывания функции $y = \cos x$, необходимо найти ее производную и определить знаки производной на заданных отрезках.

Производная функции $y = \cos x$ равна $y' = (\cos x)' = -\sin x$.

Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная положительна ($y' > 0$), и убывает на тех, где производная отрицательна ($y' < 0$).

• Возрастание: $y' > 0 \implies -\sin x > 0 \implies \sin x < 0$. Это выполняется для $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$. С учетом непрерывности функции, промежутки возрастания можно записать как $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$.

• Убывание: $y' < 0 \implies -\sin x < 0 \implies \sin x > 0$. Это выполняется для $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$. С учетом непрерывности, промежутки убывания можно записать как $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$.

Теперь проанализируем каждый отрезок.

а) На отрезке $[\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}]$.

Найдем промежутки, где функция убывает, пересекая общие промежутки убывания $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$ с отрезком $[\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$.

• При $k=0$: $[0, \pi]$. Пересечение с $[\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$ дает $[\frac{\pi}{2}, \pi]$.

• При $k=1$: $[2\pi, 3\pi]$. Пересечение с $[\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$ дает $[2\pi, \frac{5\pi}{2}]$.

Найдем промежутки, где функция возрастает, пересекая общие промежутки возрастания $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$ с отрезком $[\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$.

• При $k=0$: $[\pi, 2\pi]$. Этот промежуток полностью входит в $[\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$.

Ответ: функция возрастает на отрезке $[\pi, 2\pi]$ и убывает на отрезках $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ и $[2\pi, \frac{5\pi}{2}]$.

б) На отрезке $[-\frac{5\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}]$.

Найдем промежутки убывания, пересекая общие промежутки убывания $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$ с отрезком $[-\frac{5\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$.

• При $k=-1$: $[-2\pi, -\pi]$. Этот промежуток полностью входит в $[-\frac{5\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$.

Найдем промежутки возрастания, пересекая общие промежутки возрастания $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$ с отрезком $[-\frac{5\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$.

• При $k=-2$: $[-3\pi, -2\pi]$. Пересечение с $[-\frac{5\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$ дает $[-\frac{5\pi}{2}, -2\pi]$.

• При $k=-1$: $[-\pi, 0]$. Пересечение с $[-\frac{5\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$ дает $[-\pi, -\frac{\pi}{2}]$.

Ответ: функция возрастает на отрезках $[-\frac{5\pi}{2}, -2\pi]$ и $[-\pi, -\frac{\pi}{2}]$ и убывает на отрезке $[-2\pi, -\pi]$.

в) На отрезке $[-\pi; \pi]$.

Найдем промежутки убывания, пересекая $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$ с $[-\pi, \pi]$.

• При $k=0$: $[0, \pi]$. Этот промежуток полностью входит в $[-\pi, \pi]$.

Найдем промежутки возрастания, пересекая $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$ с $[-\pi, \pi]$.

• При $k=-1$: $[-\pi, 0]$. Этот промежуток полностью входит в $[-\pi, \pi]$.

Ответ: функция возрастает на отрезке $[-\pi, 0]$ и убывает на отрезке $[0, \pi]$.

г) На отрезке $[0; 2\pi]$.

Найдем промежутки убывания, пересекая $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$ с $[0, 2\pi]$.

• При $k=0$: $[0, \pi]$. Этот промежуток полностью входит в $[0, 2\pi]$.

Найдем промежутки возрастания, пересекая $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$ с $[0, 2\pi]$.

• При $k=0$: $[\pi, 2\pi]$. Этот промежуток полностью входит в $[0, 2\pi]$.

Ответ: функция возрастает на отрезке $[\pi, 2\pi]$ и убывает на отрезке $[0, \pi]$.

10.16 Сравните:

а) $\cos \frac{3\pi}{7}$ и $\cos \frac{2\pi}{7}$;

б) $\cos \left(-\frac{\pi}{7}\right)$ и $\cos \left(-\frac{2\pi}{7}\right)$;

в) $\cos \frac{\pi}{8}$ и $\cos \frac{5\pi}{8}$;

г) $\cos \left(-\frac{5\pi}{7}\right)$ и $\cos \left(-\frac{3\pi}{7}\right)$;

д) $\cos \frac{13\pi}{12}$ и $\cos \frac{23\pi}{12}$;

е) $\cos \frac{\pi}{9}$ и $\cos \frac{5\pi}{9}$.

Для сравнения значений косинусов будем использовать свойства функции $y = \cos(x)$. Эта функция является четной, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$. Также важно помнить о монотонности функции: на промежутке $[0, \pi]$ функция $y = \cos(x)$ убывает, а на промежутке $[\pi, 2\pi]$ — возрастает. Убывание на $[0, \pi]$ означает, что для любых двух углов $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $\cos(x_1) > \cos(x_2)$.

а) Сравним $\cos \frac{3\pi}{7}$ и $\cos \frac{2\pi}{7}$.

Оба угла, $\frac{2\pi}{7}$ и $\frac{3\pi}{7}$, принадлежат промежутку $[0, \pi]$. Сравним сами углы: $\frac{2\pi}{7} < \frac{3\pi}{7}$. Поскольку на промежутке $[0, \pi]$ функция косинус является убывающей, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $\cos \frac{2\pi}{7} > \cos \frac{3\pi}{7}$.

Ответ: $\cos \frac{3\pi}{7} < \cos \frac{2\pi}{7}$.

б) Сравним $\cos(-\frac{\pi}{7})$ и $\cos(-\frac{2\pi}{7})$.

Воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-x) = \cos(x)$. Тогда $\cos(-\frac{\pi}{7}) = \cos(\frac{\pi}{7})$ и $\cos(-\frac{2\pi}{7}) = \cos(\frac{2\pi}{7})$. Теперь задача сводится к сравнению $\cos \frac{\pi}{7}$ и $\cos \frac{2\pi}{7}$. Оба угла $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{2\pi}{7}$ принадлежат промежутку $[0, \pi]$. Так как $\frac{\pi}{7} < \frac{2\pi}{7}$ и функция косинус на этом промежутке убывает, то $\cos \frac{\pi}{7} > \cos \frac{2\pi}{7}$.

Ответ: $\cos(-\frac{\pi}{7}) > \cos(-\frac{2\pi}{7})$.

в) Сравним $\cos \frac{\pi}{8}$ и $\cos \frac{5\pi}{8}$.

Определим, в каких четвертях находятся углы. Угол $\frac{\pi}{8}$ находится в первой четверти, так как $0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$. В этой четверти косинус положителен: $\cos \frac{\pi}{8} > 0$. Угол $\frac{5\pi}{8}$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{8} < \pi$. В этой четверти косинус отрицателен: $\cos \frac{5\pi}{8} < 0$. Положительное число всегда больше отрицательного, следовательно, $\cos \frac{\pi}{8} > \cos \frac{5\pi}{8}$.

Ответ: $\cos \frac{\pi}{8} > \cos \frac{5\pi}{8}$.

г) Сравним $\cos(-\frac{5\pi}{7})$ и $\cos(-\frac{3\pi}{7})$.

Используя свойство четности косинуса, преобразуем выражения: $\cos(-\frac{5\pi}{7}) = \cos(\frac{5\pi}{7})$ и $\cos(-\frac{3\pi}{7}) = \cos(\frac{3\pi}{7})$. Теперь сравним знаки полученных значений. Угол $\frac{3\pi}{7}$ находится в первой четверти ($0 < \frac{3\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$), поэтому $\cos \frac{3\pi}{7} > 0$. Угол $\frac{5\pi}{7}$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{7} < \pi$), поэтому $\cos \frac{5\pi}{7} < 0$. Следовательно, $\cos \frac{5\pi}{7} < \cos \frac{3\pi}{7}$.

Ответ: $\cos(-\frac{5\pi}{7}) < \cos(-\frac{3\pi}{7})$.

д) Сравним $\cos \frac{13\pi}{12}$ и $\cos \frac{23\pi}{12}$.

Определим положение углов на тригонометрической окружности. Угол $\frac{13\pi}{12} = \pi + \frac{\pi}{12}$ находится в третьей четверти. В этой четверти косинус отрицателен: $\cos \frac{13\pi}{12} < 0$. Угол $\frac{23\pi}{12} = 2\pi - \frac{\pi}{12}$ находится в четвертой четверти. В этой четверти косинус положителен: $\cos \frac{23\pi}{12} > 0$. Положительное число больше отрицательного, поэтому $\cos \frac{13\pi}{12} < \cos \frac{23\pi}{12}$. Другой способ: функция $y = \cos(x)$ возрастает на промежутке $[\pi, 2\pi]$. Оба угла, $\frac{13\pi}{12}$ и $\frac{23\pi}{12}$, принадлежат этому промежутку. Так как $\frac{13\pi}{12} < \frac{23\pi}{12}$, то и $\cos \frac{13\pi}{12} < \cos \frac{23\pi}{12}$.

Ответ: $\cos \frac{13\pi}{12} < \cos \frac{23\pi}{12}$.

е) Сравним $\cos \frac{\pi}{9}$ и $\cos \frac{5\pi}{9}$.

Определим знаки косинусов. Угол $\frac{\pi}{9}$ находится в первой четверти ($0 < \frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{2}$), поэтому $\cos \frac{\pi}{9} > 0$. Угол $\frac{5\pi}{9}$ находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} = \frac{4.5\pi}{9} < \frac{5\pi}{9} < \pi$), поэтому $\cos \frac{5\pi}{9} < 0$. Так как положительное число всегда больше отрицательного, то $\cos \frac{\pi}{9} > \cos \frac{5\pi}{9}$.

Ответ: $\cos \frac{\pi}{9} > \cos \frac{5\pi}{9}$.

10.17* Постройте график функции:

а) $y = |\cos x|$;

б) $y = \cos (\pi - x)$;

в) $y = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$;

г) $y = \cos |x|$;

д) $y = \cos x + 1$;

е) $y = |\cos x + 0,5|$.

а) Для построения графика функции $y = |\cos x|$ необходимо сначала построить стандартный график функции $y = \cos x$. Затем, согласно правилу построения графиков функций вида $y = |f(x)|$, та часть графика $y = \cos x$, которая находится выше или на оси абсцисс (где $\cos x \ge 0$), остается без изменений. Та часть графика, которая находится ниже оси абсцисс (где $\cos x < 0$), отражается симметрично относительно оси абсцисс. В результате все отрицательные значения функции становятся положительными.
Ответ: График функции $y = |\cos x|$ получается из графика $y = \cos x$ путем симметричного отражения участков, находящихся под осью $Ox$, относительно этой оси. Период полученной функции равен $\pi$, а область значений — $[0, 1]$.

б) Для построения графика функции $y = \cos(\pi - x)$ воспользуемся формулой приведения для косинуса: $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$. Применив эту формулу к нашей функции, получаем: $y = \cos(\pi - x) = -\cos x$.
Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = -\cos x$. Этот график получается из графика $y = \cos x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$).
Ответ: График функции $y = \cos(\pi - x)$ совпадает с графиком функции $y = -\cos x$, который является симметричным отражением графика $y = \cos x$ относительно оси $Ox$.

в) Рассмотрим функцию $y = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$. Выражение в правой части является формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. В нашем случае аргумент $\alpha = \frac{x}{2}$, следовательно, $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{2} = x$.
Таким образом, исходная функция тождественно равна $y = \cos x$.
Ответ: График данной функции является стандартной косинусоидой, то есть графиком функции $y = \cos x$.

г) Для построения графика функции $y = \cos|x|$ используется правило построения графиков вида $y = f(|x|)$. Необходимо построить график функции $y = f(x)$ для $x \ge 0$, а затем отразить полученную часть графика симметрично относительно оси ординат ($Oy$) на область $x < 0$.
Однако функция $y = \cos x$ является четной, что означает $\cos(-x) = \cos x$ для любого действительного $x$. Из этого следует, что $\cos|x| = \cos x$. График четной функции уже симметричен относительно оси $Oy$, поэтому описанное преобразование не изменит его.
Ответ: График функции $y = \cos|x|$ полностью совпадает с графиком функции $y = \cos x$.

д) График функции $y = \cos x + 1$ получается из графика функции $y = \cos x$ с помощью геометрического преобразования. Преобразование вида $y = f(x) + c$ соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика $y = f(x)$ вдоль оси ординат ($Oy$).
В нашем случае $c=1$, что означает сдвиг вверх на 1 единицу. Каждая точка графика $y = \cos x$ смещается на 1 единицу вверх.
Ответ: График функции $y = \cos x + 1$ получается из графика $y = \cos x$ путем параллельного переноса на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$. Область значений функции — $[0, 2]$.

е) Построение графика функции $y = |\cos x + 0.5|$ выполняется в два последовательных шага:
1. Сначала строим график промежуточной функции $g(x) = \cos x + 0.5$. Этот график получается из графика $y = \cos x$ путем параллельного переноса на 0.5 единицы вверх вдоль оси $Oy$. График этой функции колеблется в диапазоне от $y = -0.5$ до $y = 1.5$.
2. Далее применяем операцию взятия модуля: $y = |g(x)| = |\cos x + 0.5|$. Части графика $y = \cos x + 0.5$, которые лежат выше или на оси $Ox$ (где $g(x) \ge 0$), остаются без изменений. Части, которые лежат ниже оси $Ox$ (где $g(x) < 0$, то есть $\cos x < -0.5$), отражаются симметрично относительно оси $Ox$.
Ответ: График функции $y = |\cos x + 0.5|$ получается из графика $y = \cos x$, сдвинутого на 0.5 единицы вверх, с последующим симметричным отражением участков, находящихся под осью $Ox$, относительно этой оси.

10.18* ИССЛЕДУЕМ Сколько корней имеет уравнение:

a) $cos x = x^2$;

б) $cos x = -x^2$;

в) $cos x = \frac{x}{10}$;

г) $cos x = \frac{x}{100}$?

Для решения данных уравнений воспользуемся графическим методом. Количество корней уравнения $f(x) = g(x)$ равно количеству точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$.

а)

Рассмотрим уравнение $\cos x = x^2$. Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \cos x$ и $y_2 = x^2$.

1. График функции $y_1 = \cos x$ — это косинусоида, ограниченная по оси $y$ значениями от -1 до 1.

2. График функции $y_2 = x^2$ — это парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вверх.

Поскольку значения функции $\cos x$ не превышают 1, то для существования решения необходимо, чтобы $x^2 \le 1$, то есть $-1 \le x \le 1$.

Обе функции, $y_1 = \cos x$ и $y_2 = x^2$, являются четными, что означает симметрию их графиков относительно оси $OY$. Следовательно, если $x_0$ является корнем уравнения, то и $-x_0$ также будет корнем.

Рассмотрим промежуток $x \ge 0$.

При $x=0$: $y_1(0) = \cos 0 = 1$, а $y_2(0) = 0^2 = 0$. Графики не пересекаются в этой точке, $y_1 > y_2$.

При $x=1$: $y_1(1) = \cos 1$ (где 1 радиан ≈ 57.3°). Так как $0 < 1 < \pi/2$, то $\cos 1 > 0$. Конкретнее, $\cos 1 \approx 0.54$. $y_2(1) = 1^2 = 1$. В этой точке $y_1 < y_2$.

Рассмотрим функцию $h(x) = \cos x - x^2$. На отрезке $[0, 1]$ функция непрерывна. $h(0) = 1 > 0$ и $h(1) = \cos 1 - 1 < 0$. По теореме о промежуточных значениях, на интервале $(0, 1)$ существует как минимум один корень.

Найдем производную: $h'(x) = -\sin x - 2x$. Для $x \in (0, 1)$ оба слагаемых, $-\sin x$ и $-2x$, отрицательны. Значит, $h'(x) < 0$ на этом интервале, и функция $h(x)$ монотонно убывает. Следовательно, на интервале $(0, 1)$ существует ровно один корень.

Так как есть один положительный корень $x_0$, то в силу четности обеих функций, существует и один симметричный ему отрицательный корень $-x_0$. Всего получаем 2 корня.

Ответ: 2 корня.

б)

Рассмотрим уравнение $\cos x = -x^2$. Построим графики функций $y_1 = \cos x$ и $y_2 = -x^2$.

1. График $y_1 = \cos x$ — косинусоида.

2. График $y_2 = -x^2$ — парабола с вершиной в (0, 0), ветви которой направлены вниз.

Рассмотрим функцию $h(x) = \cos x - (-x^2) = \cos x + x^2$. Нам нужно найти количество нулей этой функции.

Найдем ее производную: $h'(x) = -\sin x + 2x$.

Чтобы определить знак $h'(x)$, рассмотрим функцию $g(x) = 2x - \sin x$. $g(0) = 0$. Ее производная $g'(x) = 2 - \cos x$. Поскольку $\cos x \le 1$, то $g'(x) = 2 - \cos x \ge 2 - 1 = 1 > 0$. Значит, функция $g(x)$ строго возрастает. Так как $g(0)=0$, то для $x>0$ имеем $g(x)>0$, а для $x<0$ имеем $g(x)<0$.

Таким образом, производная $h'(x) = 2x - \sin x$ равна нулю только при $x=0$, отрицательна при $x<0$ и положительна при $x>0$. Это означает, что в точке $x=0$ функция $h(x)$ имеет точку глобального минимума.

Найдем минимальное значение функции $h(x)$: $h(0) = \cos 0 + 0^2 = 1$.

Поскольку минимальное значение функции $h(x)$ равно 1, то $h(x) \ge 1$ для всех $x$. Это означает, что $h(x)$ никогда не обращается в ноль. Следовательно, графики функций $y_1 = \cos x$ и $y_2 = -x^2$ не пересекаются.

Ответ: 0 корней.

в)

Рассмотрим уравнение $\cos x = \frac{x}{10}$. Построим графики функций $y_1 = \cos x$ и $y_2 = \frac{x}{10}$.

1. График $y_1 = \cos x$ — косинусоида.

2. График $y_2 = \frac{x}{10}$ — прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом $0.1$.

Пересечения возможны только тогда, когда значения $y_2$ находятся в области значений $y_1$, то есть $-1 \le \frac{x}{10} \le 1$, что эквивалентно $-10 \le x \le 10$.

Проанализируем количество пересечений на отрезке $[-10, 10]$.

Для $x>0$: Прямая $y = x/10$ возрастает от 0 до 1. Косинусоида совершает колебания.

• На интервале $(0, \pi/2) \approx (0, 1.57)$ функция $\cos x$ убывает от 1 до 0. Прямая $y=x/10$ возрастает от 0 до $\pi/20 \approx 0.157$. Есть одно пересечение.
• На интервале $(\pi/2, 3\pi/2) \approx (1.57, 4.71)$ $\cos x < 0$, а $x/10 > 0$. Пересечений нет.
• На интервале $(3\pi/2, 5\pi/2) \approx (4.71, 7.85)$ $\cos x$ совершает полный "положительный горб" (от 0 до 1 и обратно до 0). Прямая $y=x/10$ проходит через этот интервал. В точке максимума косинуса $x=2\pi \approx 6.28$, $\cos(2\pi) = 1$. Значение прямой в этой точке $y=2\pi/10 \approx 0.628$. Так как $1 > 0.628$, прямая пересекает "горб" косинусоиды в двух точках.

Далее, до $x=10$, $\cos x$ будет отрицательным или не превысит значений прямой. Таким образом, для $x>0$ имеем $1+2=3$ корня.

Для $x<0$: Прямая $y=x/10$ убывает от 0 до -1. Пересечения возможны, когда $\cos x < 0$.

• На интервале $(-\pi, -\pi/2) \approx (-3.14, -1.57)$ $\cos x$ убывает от -1 до 0, а $y=x/10$ убывает от $-\pi/10 \approx -0.314$ до $-\pi/20 \approx -0.157$. Есть одно пересечение.
• На интервале $(-3\pi/2, -\pi) \approx (-4.71, -3.14)$ $\cos x$ возрастает от 0 до -1, а $y=x/10$ убывает от $-3\pi/20 \approx -0.471$ до $-\pi/10 \approx -0.314$. Есть одно пересечение.
• На интервале $(-5\pi/2, -3\pi) \approx (-7.85, -9.42)$ $\cos x$ убывает от 0 до -1, а $y=x/10$ от $\approx -0.785$ до $\approx -0.942$. Есть одно пересечение.
• На интервале $(-10, -3\pi) \approx (-10, -9.42)$ $\cos x$ возрастает от $\cos(-10) \approx -0.84$ до $-1$, а $y=x/10$ убывает от $-1$ до $\approx-0.942$. Есть одно пересечение.

Таким образом, для $x<0$ имеем $1+1+1+1=4$ корня. Точка $x=0$ не является корнем.

Всего корней: $3 + 4 = 7$.

Ответ: 7 корней.

г)

Рассмотрим уравнение $\cos x = \frac{x}{100}$. Аналогично предыдущему пункту, построим графики $y_1 = \cos x$ и $y_2 = \frac{x}{100}$.

Пересечения возможны только на отрезке $[-100, 100]$. Длина этого отрезка равна 200, что составляет примерно $200 / (2\pi) \approx 31.8$ периодов косинуса.

Для $x>0$: Ищем пересечения графика $y = \cos x$ с прямой $y = x/100$. Пересечения возможны, когда $\cos x > 0$. Это происходит на интервалах $(2k\pi - \pi/2, 2k\pi + \pi/2)$. В центре каждого такого интервала, при $x=2k\pi$, $\cos(2k\pi) = 1$. Прямая пересечет "горб" косинусоиды дважды, если в этой точке она будет ниже 1, т.е. $2k\pi/100 < 1$, что дает $k < 50/\pi \approx 15.9$.

• Для $k=0$ (интервал $[0, \pi/2)$), имеем одно пересечение.
• Для $k=1, 2, ..., 15$ (15 полных "положительных горбов") прямая проходит ниже вершины, давая по 2 пересечения на каждый. Итого $15 \times 2 = 30$ корней.

Всего для $x>0$ получаем $1 + 30 = 31$ корень.

Для $x<0$: Положим $x=-t$ ($t>0$). Уравнение примет вид $\cos t = -t/100$. Ищем пересечения $y=\cos t$ и $y=-t/100$ для $t \in (0, 100]$. Пересечения возможны, когда $\cos t < 0$. Это происходит на интервалах $((2k+1)\pi - \pi/2, (2k+1)\pi + \pi/2)$. В центре каждого "отрицательного горба", при $t=(2k+1)\pi$, $\cos t = -1$. Прямая пересечет его дважды, если $-((2k+1)\pi)/100 > -1$, что дает $2k+1 < 100/\pi \approx 31.83$.

• $2k < 30.83 \implies k < 15.415$.
• Следовательно, для $k=0, 1, ..., 15$ (всего 16 "отрицательных горбов") прямая проходит выше минимума косинусоиды. Каждый такой случай дает 2 пересечения.

Всего для $x<0$ получаем $16 \times 2 = 32$ корня.

Общее количество корней: $31$ (для $x>0$) + $32$ (для $x<0$) = $63$ корня.

Ответ: 63 корня.