Номер 10.11, страница 287 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
10.2. Функции y=cosx. § 10. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 10.11, страница 287.
№10.11 (с. 287)
Условие. №10.11 (с. 287)
скриншот условия

10.11° Сформулируйте свойства функции $y = \cos x$.
Решение 1. №10.11 (с. 287)

Решение 2. №10.11 (с. 287)

Решение 3. №10.11 (с. 287)

Решение 4. №10.11 (с. 287)

Решение 5. №10.11 (с. 287)
Основные свойства функции $y = \cos x$:
- Область определения
Функция косинус определена для всех действительных чисел, так как для любого угла, выраженного в радианах, можно найти значение его косинуса.
Ответ: Область определения функции — множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.
- Область значений
Значения функции косинус ограничены и находятся в отрезке от -1 до 1 включительно, так как косинус угла в прямоугольном треугольнике (или на единичной окружности) не может быть больше 1 и меньше -1.
Ответ: Область значений функции — отрезок $[-1; 1]$, то есть $E(y) = [-1; 1]$.
- Четность
Функция является четной, поскольку для любого значения $x$ из области определения выполняется равенство $\cos(-x) = \cos x$. Это означает, что график функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
Ответ: Функция $y = \cos x$ — четная.
- Периодичность
Функция является периодической, так как ее значения повторяются через определенный интервал. Наименьший положительный период для функции косинус равен $2\pi$. Это означает, что для любого целого числа $n$ выполняется равенство $\cos(x + 2\pi n) = \cos x$.
Ответ: Наименьший положительный период $T = 2\pi$.
- Нули функции
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Для нахождения нулей решается уравнение $\cos x = 0$.
Ответ: Нули функции: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
- Промежутки знакопостоянства
Это промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (положительна или отрицательна).
- Функция положительна ($y > 0$), когда угол $x$ находится в I или IV координатной четверти.
- Функция отрицательна ($y < 0$), когда угол $x$ находится во II или III координатной четверти.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$;
$y < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. - Промежутки монотонности
Это промежутки, на которых функция возрастает или убывает.
- Функция возрастает на промежутках, где ее значения увеличиваются от -1 до 1.
- Функция убывает на промежутках, где ее значения уменьшаются от 1 до -1.
Ответ: Функция возрастает на отрезках вида $[-\pi + 2\pi n; 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает на отрезках вида $[2\pi n; \pi + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$. - Экстремумы функции
Это точки максимума и минимума функции.
- Максимумы достигаются в точках, где значение функции равно 1.
- Минимумы достигаются в точках, где значение функции равно -1.
Ответ: Точки максимума $x_{max} = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$; наибольшее значение функции $y_{max} = 1$.
Точки минимума $x_{min} = \pi + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$; наименьшее значение функции $y_{min} = -1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 10.11 расположенного на странице 287 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10.11 (с. 287), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.