Номер 10.11, страница 287 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 10. Тригонометрические функции числового аргумента. 10.2. Функции y=cosx - номер 10.11, страница 287.

Условие.

10.11° Сформулируйте свойства функции $y = \cos x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Основные свойства функции $y = \cos x$:

• Область определения

  Функция косинус определена для всех действительных чисел, так как для любого угла, выраженного в радианах, можно найти значение его косинуса.

  Ответ: Область определения функции — множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

• Область значений

  Значения функции косинус ограничены и находятся в отрезке от -1 до 1 включительно, так как косинус угла в прямоугольном треугольнике (или на единичной окружности) не может быть больше 1 и меньше -1.

  Ответ: Область значений функции — отрезок $[-1; 1]$, то есть $E(y) = [-1; 1]$.

• Четность

  Функция является четной, поскольку для любого значения $x$ из области определения выполняется равенство $\cos(-x) = \cos x$. Это означает, что график функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

  Ответ: Функция $y = \cos x$ — четная.

• Периодичность

  Функция является периодической, так как ее значения повторяются через определенный интервал. Наименьший положительный период для функции косинус равен $2\pi$. Это означает, что для любого целого числа $n$ выполняется равенство $\cos(x + 2\pi n) = \cos x$.

  Ответ: Наименьший положительный период $T = 2\pi$.

• Нули функции

  Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Для нахождения нулей решается уравнение $\cos x = 0$.

  Ответ: Нули функции: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

• Промежутки знакопостоянства

  Это промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (положительна или отрицательна).

  • Функция положительна ($y > 0$), когда угол $x$ находится в I или IV координатной четверти.
  • Функция отрицательна ($y < 0$), когда угол $x$ находится во II или III координатной четверти.

  Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$;
  $y < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

• Промежутки монотонности

  Это промежутки, на которых функция возрастает или убывает.

  • Функция возрастает на промежутках, где ее значения увеличиваются от -1 до 1.
  • Функция убывает на промежутках, где ее значения уменьшаются от 1 до -1.

  Ответ: Функция возрастает на отрезках вида $[-\pi + 2\pi n; 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.
  Функция убывает на отрезках вида $[2\pi n; \pi + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

• Экстремумы функции

  Это точки максимума и минимума функции.

  • Максимумы достигаются в точках, где значение функции равно 1.
  • Минимумы достигаются в точках, где значение функции равно -1.

  Ответ: Точки максимума $x_{max} = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$; наибольшее значение функции $y_{max} = 1$.
  Точки минимума $x_{min} = \pi + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$; наименьшее значение функции $y_{min} = -1$.