Номер 10.7, страница 284 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

10.1. Функция y=sinx. § 10. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 10.7, страница 284.

10.7 Сравните:

а) $\sin\frac{\pi}{7}$ и $\sin\frac{3\pi}{7}$;

б) $\sin\left(-\frac{\pi}{8}\right)$ и $\sin\left(-\frac{3\pi}{8}\right)$;

в) $\sin\frac{\pi}{15}$ и $\sin\left(-\frac{7\pi}{15}\right)$;

г) $\sin\frac{3\pi}{5}$ и $\sin\frac{4\pi}{5}$;

д) $\sin\frac{7\pi}{12}$ и $\sin\frac{11\pi}{12}$;

е) $\sin\frac{8\pi}{9}$ и $\sin\frac{7\pi}{9}$.

а) Для сравнения $ \sin\frac{\pi}{7} $ и $ \sin\frac{3\pi}{7} $ рассмотрим их аргументы. Оба угла, $ \frac{\pi}{7} $ и $ \frac{3\pi}{7} $, находятся в интервале $ (0, \frac{\pi}{2}) $, так как $ 0 < \frac{1}{7} < \frac{3}{7} < \frac{1}{2} $. На этом интервале функция $ y = \sin x $ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поскольку $ \frac{\pi}{7} < \frac{3\pi}{7} $, то $ \sin\frac{\pi}{7} < \sin\frac{3\pi}{7} $.
Ответ: $ \sin\frac{\pi}{7} < \sin\frac{3\pi}{7} $.

б) Аргументы $ -\frac{\pi}{8} $ и $ -\frac{3\pi}{8} $ принадлежат интервалу $ (-\frac{\pi}{2}, 0) $. Этот интервал является частью промежутка $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, на котором функция $ y = \sin x $ возрастает. Сравним аргументы: $ -\frac{3\pi}{8} < -\frac{\pi}{8} $. Так как функция на этом промежутке возрастает, то $ \sin(-\frac{3\pi}{8}) < \sin(-\frac{\pi}{8}) $.
Ответ: $ \sin(-\frac{\pi}{8}) > \sin(-\frac{3\pi}{8}) $.

в) Определим знаки сравниваемых выражений. Угол $ \frac{\pi}{15} $ находится в первой четверти ($ 0 < \frac{\pi}{15} < \frac{\pi}{2} $), поэтому $ \sin\frac{\pi}{15} > 0 $. Угол $ -\frac{7\pi}{15} $ находится в четвертой четверти ($ -\frac{\pi}{2} < -\frac{7\pi}{15} < 0 $), поэтому $ \sin(-\frac{7\pi}{15}) < 0 $. Любое положительное число больше любого отрицательного, следовательно $ \sin\frac{\pi}{15} > \sin(-\frac{7\pi}{15}) $.
Ответ: $ \sin\frac{\pi}{15} > \sin(-\frac{7\pi}{15}) $.

г) Аргументы $ \frac{3\pi}{5} $ и $ \frac{4\pi}{5} $ принадлежат интервалу $ (\frac{\pi}{2}, \pi) $, так как $ \frac{1}{2} = \frac{2.5}{5} < \frac{3}{5} < \frac{4}{5} < 1 $. На этом интервале функция $ y = \sin x $ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поскольку $ \frac{3\pi}{5} < \frac{4\pi}{5} $, то $ \sin\frac{3\pi}{5} > \sin\frac{4\pi}{5} $.
Ответ: $ \sin\frac{3\pi}{5} > \sin\frac{4\pi}{5} $.

д) Аргументы $ \frac{7\pi}{12} $ и $ \frac{11\pi}{12} $ принадлежат интервалу $ (\frac{\pi}{2}, \pi) $, так как $ \frac{\pi}{2} = \frac{6\pi}{12} $. На этом интервале функция $ y = \sin x $ убывает. Поскольку $ \frac{7\pi}{12} < \frac{11\pi}{12} $, то для значений синусов неравенство будет обратным: $ \sin\frac{7\pi}{12} > \sin\frac{11\pi}{12} $.
Ответ: $ \sin\frac{7\pi}{12} > \sin\frac{11\pi}{12} $.

е) Аргументы $ \frac{8\pi}{9} $ и $ \frac{7\pi}{9} $ принадлежат интервалу $ (\frac{\pi}{2}, \pi) $, так как $ \frac{\pi}{2} = \frac{4.5\pi}{9} $. На этом интервале функция $ y = \sin x $ убывает. Поскольку $ \frac{7\pi}{9} < \frac{8\pi}{9} $, то $ \sin\frac{7\pi}{9} > \sin\frac{8\pi}{9} $.
Ответ: $ \sin\frac{8\pi}{9} < \sin\frac{7\pi}{9} $.