Номер 10.8, страница 285 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 10. Тригонометрические функции числового аргумента. 10.1. Функция y=sinx - номер 10.8, страница 285.

Условие.

10.8* Постройте график функции:

а) $y = |\sin x|$;

б) $y = \sin (\pi - x)$;

в) $y = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$;

г) $y = \sin |x|$;

д) $y = |\sin x - 0,5|$;

е) $y = \sin x - 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы построить график функции $y = |\sin x|$, нужно выполнить следующие шаги:
1. Сначала строим график основной функции $y = \sin x$. Это стандартная синусоида, проходящая через начало координат, с периодом $2\pi$ и областью значений $[-1, 1]$.
2. Затем применяем операцию взятия модуля ко всей функции: $y = |f(x)|$. Это преобразование означает, что все части графика, которые находятся ниже оси абсцисс (где $y < 0$), симметрично отражаются относительно этой оси. Части графика, которые находятся на оси или выше неё (где $y \ge 0$), остаются без изменений.
3. Таким образом, "отрицательные" полуволны синусоиды, расположенные на интервалах $(\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$, отражаются вверх.

Ответ: График представляет собой последовательность одинаковых "холмов", расположенных над осью абсцисс. Период функции равен $\pi$, а область значений — $[0, 1]$.

б) Чтобы построить график функции $y = \sin(\pi - x)$, воспользуемся формулой приведения.
1. Согласно формуле приведения для синуса, $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$.
2. В нашем случае $\alpha = x$, поэтому функция упрощается до $y = \sin x$.
3. Таким образом, график данной функции полностью совпадает с графиком функции $y = \sin x$.

Ответ: График является стандартной синусоидой $y = \sin x$ с периодом $2\pi$ и областью значений $[-1, 1]$.

в) Чтобы построить график функции $y = 2 \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$, воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла.
1. Формула синуса двойного угла имеет вид: $\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$.
2. В нашем случае, если принять $\alpha = \frac{x}{2}$, то $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{2} = x$.
3. Таким образом, исходная функция сводится к виду $y = \sin x$.
4. График этой функции — стандартная синусоида.

Ответ: График является стандартной синусоидой $y = \sin x$ с периодом $2\pi$ и областью значений $[-1, 1]$.

г) Чтобы построить график функции $y = \sin|x|$, нужно выполнить преобразование аргумента функции.
1. Эта функция является чётной, так как $\sin|-x| = \sin|x|$, следовательно, её график симметричен относительно оси ординат (оси Y).
2. Построение графика $y=f(|x|)$ из графика $y=f(x)$ выполняется так:
- Часть графика $y = \sin x$ для $x \ge 0$ остаётся без изменений.
- Часть графика для $x < 0$ отбрасывается.
- Оставшаяся часть для $x \ge 0$ симметрично отражается относительно оси ординат.
3. Итак, для $x \ge 0$ мы строим график $y = \sin x$. Затем отражаем эту часть графика влево относительно оси Y, чтобы получить график для $x < 0$.

Ответ: График совпадает с синусоидой $y = \sin x$ при $x \ge 0$ и является её зеркальным отражением относительно оси ординат при $x < 0$. Функция не является периодической.

д) Чтобы построить график функции $y = |\sin x - 0.5|$, выполним построение в несколько этапов:
1. Сначала строим график функции $y = \sin x$.
2. Затем строим график функции $y = \sin x - 0.5$. Для этого сдвигаем график $y = \sin x$ на 0,5 единицы вниз вдоль оси ординат. Новая линия осцилляции — прямая $y = -0.5$. Область значений этой функции — $[-1.5, 0.5]$.
3. Наконец, строим график $y = |\sin x - 0.5|$. Для этого части графика $y = \sin x - 0.5$, лежащие ниже оси абсцисс, симметрично отражаем относительно этой оси. Части, лежащие выше или на оси, остаются на месте.
- График $y = \sin x - 0.5$ находится ниже оси абсцисс там, где $\sin x < 0.5$. Эти участки отразятся вверх.
- Максимумы исходной функции $\sin x$ (где $\sin x=1$) станут локальными максимумами на высоте $1 - 0.5 = 0.5$.
- Минимумы исходной функции $\sin x$ (где $\sin x=-1$) после сдвига окажутся в точках $y = -1.5$, а после отражения станут глобальными максимумами на высоте $y = 1.5$.

Ответ: График является периодической кривой с периодом $2\pi$. Он колеблется между $y=0$ и $y=1.5$. График касается оси абсцисс в точках, где $\sin x = 0.5$.

е) Чтобы построить график функции $y = \sin x - 1$, нужно выполнить преобразование сдвига.
1. За основу берем график функции $y = \sin x$.
2. Данное преобразование $y = f(x) - c$ представляет собой сдвиг графика $y=f(x)$ на $c$ единиц вниз. В нашем случае $c=1$.
3. Таким образом, мы сдвигаем график $y = \sin x$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат.
4. Максимальное значение функции будет $1 - 1 = 0$, а минимальное — $-1 - 1 = -2$.

Ответ: График является синусоидой, сдвинутой на 1 единицу вниз. Он целиком расположен под осью абсцисс или касается её в точках максимума. Область значений функции — $[-2, 0]$.