Номер 10.3, страница 284 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 10. Тригонометрические функции числового аргумента. 10.1. Функция y=sinx - номер 10.3, страница 284.

Условие.

10.3 a) Постройте график функции $y = \sin x$ по точкам на отрезке $[0; \pi]$.

б) Относительно какой прямой симметричен график функции $y = \sin x$ на отрезке $[0; \pi]$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Постройте график функции y = sin x по точкам на отрезке [0; π].

Для построения графика функции $y = \sin x$ на отрезке $[0; \pi]$ необходимо вычислить значения функции для нескольких характерных точек на этом интервале. Составим таблицу значений:

$x$ (радианы)	$y = \sin x$
0	$\sin(0) = 0$
$\frac{\pi}{6}$	$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} = 0.5$
$\frac{\pi}{4}$	$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$
$\frac{\pi}{3}$	$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$
$\frac{\pi}{2}$	$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$
$\frac{2\pi}{3}$	$\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$
$\frac{3\pi}{4}$	$\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$
$\frac{5\pi}{6}$	$\sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2} = 0.5$
$\pi$	$\sin(\pi) = 0$

После вычисления значений, нужно нанести полученные точки $(x, y)$ на координатную плоскость. Затем эти точки соединяются плавной кривой. В результате получается график, представляющий собой верхнюю полуволну синусоиды (арку), которая начинается в точке $(0, 0)$, достигает своего максимума $y=1$ в точке $x = \pi/2$ и опускается до $y=0$ в точке $x = \pi$.

Ответ: Для построения графика вычисляются значения функции в ключевых точках (представлены в таблице), которые затем наносятся на координатную плоскость и соединяются плавной кривой, образуя арку с вершиной в точке $(\frac{\pi}{2}, 1)$.

б) Относительно какой прямой симметричен график функции y = sin x на отрезке [0; π]?

Чтобы определить ось симметрии графика функции $y = \sin x$ на отрезке $[0; \pi]$, проанализируем значения функции. Как видно из таблицы в пункте а), значения синуса для углов, симметричных относительно $\pi/2$, равны. Например, $\sin(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{5\pi}{6})$.

Это можно доказать, используя формулу приведения $\sin(\pi - x) = \sin x$. Эта формула показывает, что функция принимает одинаковые значения в точках $x$ и $\pi - x$.

Две точки $x_1 = x$ и $x_2 = \pi - x$ на оси абсцисс равноудалены от точки $x_c = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{x + (\pi - x)}{2} = \frac{\pi}{2}$.

Поскольку для любой точки $(x, \sin x)$ на графике существует точка $(\pi - x, \sin(\pi - x))$, которая благодаря тождеству равна $(\pi - x, \sin x)$ и также лежит на графике, то график функции симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через точку $x_c = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: График функции $y = \sin x$ на отрезке $[0; \pi]$ симметричен относительно прямой $x = \frac{\pi}{2}$.