Номер 10.4, страница 284 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

10.1. Функция y=sinx. § 10. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 10.4, страница 284.

10.4 a) Является ли функция $y = \sin x$ чётной (нечётной)? Докажите.

б) Какое свойство графика функции $y = \sin x$ следует из доказанного утверждения?

в) Постройте график функции $y = \sin x$ на отрезке $[-\pi; \pi]$, используя это свойство.

г) На каком промежутке функция $y = \sin x, x \in [-\pi; \pi]$, положительна? отрицательна?

а) Чтобы определить, является ли функция $y = \sin x$ чётной или нечётной, необходимо проверить выполнение следующих условий для любого $x$ из области определения функции.

1. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, является симметричной относительно нуля.

2. Найдём значение функции для аргумента $-x$: $y(-x) = \sin(-x)$.

Известно тригонометрическое свойство синуса: $\sin(-x) = -\sin(x)$. Следовательно, $y(-x) = -\sin(x) = -y(x)$.

Так как выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной. Условие для чётной функции $y(-x) = y(x)$ не выполняется (например, для $x = \pi/2$, $\sin(-\pi/2) = -1$, а $\sin(\pi/2) = 1$, то есть $y(-x) \neq y(x)$).

Ответ: Функция $y = \sin x$ является нечётной.

б) Свойство графика нечётной функции заключается в том, что он симметричен относительно начала координат, то есть точки $(0; 0)$. Это означает, что если точка с координатами $(a; b)$ принадлежит графику, то и точка с координатами $(-a; -b)$ также принадлежит этому графику.

Ответ: График функции $y = \sin x$ симметричен относительно начала координат.

в) Чтобы построить график функции $y = \sin x$ на отрезке $[-\pi; \pi]$, используя свойство нечётности (симметрии относительно начала координат), мы можем сначала построить его на отрезке $[0; \pi]$, а затем симметрично отразить относительно точки $(0; 0)$ для получения части графика на отрезке $[-\pi; 0]$.

1. Построение на отрезке $[0; \pi]$. Найдём несколько ключевых точек:

• При $x=0$, $y = \sin 0 = 0$. Точка $(0; 0)$.
• При $x=\pi/2$, $y = \sin(\pi/2) = 1$. Точка $(\pi/2; 1)$ - это точка максимума на данном отрезке.
• При $x=\pi$, $y = \sin \pi = 0$. Точка $(\pi; 0)$.

Соединив эти точки плавной линией, получим арку, выпуклую вверх.

2. Построение на отрезке $[-\pi; 0]$. Используем свойство симметрии. Каждой точке $(x; y)$ на построенной части графика будет соответствовать точка $(-x; -y)$ на второй части графика:

• Точке $(\pi/2; 1)$ соответствует точка $(-\pi/2; -1)$.
• Точке $(\pi; 0)$ соответствует точка $(-\pi; 0)$.
• Точка $(0; 0)$ является центром симметрии и отображается сама на себя.

Соединив точки $(-\pi; 0)$, $(-\pi/2; -1)$ и $(0; 0)$ плавной линией, получим арку, выпуклую вниз.

Ответ: График функции $y = \sin x$ на отрезке $[-\pi; \pi]$ представляет собой волну, проходящую через начало координат. На отрезке $[0; \pi]$ это выпуклая вверх кривая, идущая от $(0; 0)$ через максимум в точке $(\pi/2; 1)$ к точке $(\pi; 0)$. На отрезке $[-\pi; 0]$ это симметричная ей относительно начала координат выпуклая вниз кривая, идущая от $(-\pi; 0)$ через минимум в точке $(-\pi/2; -1)$ к точке $(0; 0)$.

г) Для определения знаков функции на отрезке $x \in [-\pi; \pi]$ обратимся к построенному графику или к тригонометрическому кругу.

Функция положительна ($y>0$), когда её график находится выше оси абсцисс (оси Ox). Из графика, построенного в пункте (в), видно, что это происходит на интервале от $0$ до $\pi$.

Функция отрицательна ($y<0$), когда её график находится ниже оси абсцисс. Это происходит на интервале от $-\pi$ до $0$.

В точках $x = -\pi, x = 0, x = \pi$ значение функции равно нулю.

Ответ: Функция положительна на промежутке $(0; \pi)$ и отрицательна на промежутке $(-\pi; 0)$.