Номер 9.87, страница 280 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 9. Формулы сложения. 9.7*. Формулы для тангенсов - номер 9.87, страница 280.

Условие.

9.87* Докажите справедливость равенства:

а) $ \text{tg } 40^\circ + \sqrt{3} = 4 \sin 40^\circ $;

б) $ \text{ctg } 70^\circ - \sqrt{3} = -4 \cos 70^\circ $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Докажем справедливость равенства $\text{tg } 40^\circ + \sqrt{3} = 4 \sin 40^\circ$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Представим тангенс как отношение синуса к косинусу, а число $\sqrt{3}$ как тангенс угла $60^\circ$, то есть $\sqrt{3} = \text{tg } 60^\circ$.

$\text{tg } 40^\circ + \sqrt{3} = \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ} + \text{tg } 60^\circ = \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ} + \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ}$

Приведем выражение к общему знаменателю $\cos 40^\circ \cos 60^\circ$:

$\frac{\sin 40^\circ \cos 60^\circ + \cos 40^\circ \sin 60^\circ}{\cos 40^\circ \cos 60^\circ}$

В числителе дроби мы получили формулу синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$. Применим её:

$\frac{\sin(40^\circ + 60^\circ)}{\cos 40^\circ \cos 60^\circ} = \frac{\sin 100^\circ}{\cos 40^\circ \cos 60^\circ}$

Мы знаем, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в знаменатель:

$\frac{\sin 100^\circ}{\cos 40^\circ \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2 \sin 100^\circ}{\cos 40^\circ}$

Теперь воспользуемся формулой приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$. Для угла $100^\circ$ имеем: $\sin 100^\circ = \sin(180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ$.

$\frac{2 \sin 80^\circ}{\cos 40^\circ}$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ для $\sin 80^\circ$:

$\sin 80^\circ = \sin(2 \cdot 40^\circ) = 2\sin 40^\circ \cos 40^\circ$

Подставим полученное выражение в нашу дробь:

$\frac{2 \cdot (2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ)}{\cos 40^\circ}$

Сократим $\cos 40^\circ$ в числителе и знаменателе:

$4 \sin 40^\circ$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к виду правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б) Докажем справедливость равенства $\text{ctg } 70^\circ - \sqrt{3} = -4 \cos 70^\circ$.

Преобразуем левую часть равенства. Представим котангенс как отношение косинуса к синусу, а число $\sqrt{3}$ как котангенс угла $30^\circ$, то есть $\sqrt{3} = \text{ctg } 30^\circ$.

$\text{ctg } 70^\circ - \sqrt{3} = \frac{\cos 70^\circ}{\sin 70^\circ} - \text{ctg } 30^\circ = \frac{\cos 70^\circ}{\sin 70^\circ} - \frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ}$

Приведем выражение к общему знаменателю $\sin 70^\circ \sin 30^\circ$:

$\frac{\cos 70^\circ \sin 30^\circ - \sin 70^\circ \cos 30^\circ}{\sin 70^\circ \sin 30^\circ} = \frac{\sin 30^\circ \cos 70^\circ - \cos 30^\circ \sin 70^\circ}{\sin 70^\circ \sin 30^\circ}$

В числителе дроби мы получили формулу синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$. Применим её:

$\frac{\sin(30^\circ - 70^\circ)}{\sin 70^\circ \sin 30^\circ} = \frac{\sin(-40^\circ)}{\sin 70^\circ \sin 30^\circ}$

Используем свойство нечетности функции синус $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ и известное значение $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$:

$\frac{-\sin 40^\circ}{\sin 70^\circ \cdot \frac{1}{2}} = \frac{-2 \sin 40^\circ}{\sin 70^\circ}$

Применим формулу приведения $\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$ к знаменателю: $\sin 70^\circ = \cos(90^\circ - 70^\circ) = \cos 20^\circ$.

$\frac{-2 \sin 40^\circ}{\cos 20^\circ}$

Теперь применим формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ к числителю:

$\frac{-2 \cdot (2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ)}{\cos 20^\circ}$

Сократим $\cos 20^\circ$ в числителе и знаменателе:

$-4 \sin 20^\circ$

Снова воспользуемся формулой приведения $\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$:

$\sin 20^\circ = \cos(90^\circ - 20^\circ) = \cos 70^\circ$

Подставив это, получаем:

$-4 \cos 70^\circ$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к виду правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.