Номер 9.87, страница 280 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
9.7*. Формулы для тангенсов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.87, страница 280.
№9.87 (с. 280)
Условие. №9.87 (с. 280)
скриншот условия

9.87* Докажите справедливость равенства:
а) $ \text{tg } 40^\circ + \sqrt{3} = 4 \sin 40^\circ $;
б) $ \text{ctg } 70^\circ - \sqrt{3} = -4 \cos 70^\circ $.
Решение 1. №9.87 (с. 280)


Решение 2. №9.87 (с. 280)

Решение 3. №9.87 (с. 280)


Решение 4. №9.87 (с. 280)


Решение 5. №9.87 (с. 280)
а) Докажем справедливость равенства $\text{tg } 40^\circ + \sqrt{3} = 4 \sin 40^\circ$.
Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Представим тангенс как отношение синуса к косинусу, а число $\sqrt{3}$ как тангенс угла $60^\circ$, то есть $\sqrt{3} = \text{tg } 60^\circ$.
$\text{tg } 40^\circ + \sqrt{3} = \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ} + \text{tg } 60^\circ = \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ} + \frac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ}$
Приведем выражение к общему знаменателю $\cos 40^\circ \cos 60^\circ$:
$\frac{\sin 40^\circ \cos 60^\circ + \cos 40^\circ \sin 60^\circ}{\cos 40^\circ \cos 60^\circ}$
В числителе дроби мы получили формулу синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$. Применим её:
$\frac{\sin(40^\circ + 60^\circ)}{\cos 40^\circ \cos 60^\circ} = \frac{\sin 100^\circ}{\cos 40^\circ \cos 60^\circ}$
Мы знаем, что $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в знаменатель:
$\frac{\sin 100^\circ}{\cos 40^\circ \cdot \frac{1}{2}} = \frac{2 \sin 100^\circ}{\cos 40^\circ}$
Теперь воспользуемся формулой приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$. Для угла $100^\circ$ имеем: $\sin 100^\circ = \sin(180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ$.
$\frac{2 \sin 80^\circ}{\cos 40^\circ}$
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ для $\sin 80^\circ$:
$\sin 80^\circ = \sin(2 \cdot 40^\circ) = 2\sin 40^\circ \cos 40^\circ$
Подставим полученное выражение в нашу дробь:
$\frac{2 \cdot (2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ)}{\cos 40^\circ}$
Сократим $\cos 40^\circ$ в числителе и знаменателе:
$4 \sin 40^\circ$
Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к виду правой части, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.
б) Докажем справедливость равенства $\text{ctg } 70^\circ - \sqrt{3} = -4 \cos 70^\circ$.
Преобразуем левую часть равенства. Представим котангенс как отношение косинуса к синусу, а число $\sqrt{3}$ как котангенс угла $30^\circ$, то есть $\sqrt{3} = \text{ctg } 30^\circ$.
$\text{ctg } 70^\circ - \sqrt{3} = \frac{\cos 70^\circ}{\sin 70^\circ} - \text{ctg } 30^\circ = \frac{\cos 70^\circ}{\sin 70^\circ} - \frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ}$
Приведем выражение к общему знаменателю $\sin 70^\circ \sin 30^\circ$:
$\frac{\cos 70^\circ \sin 30^\circ - \sin 70^\circ \cos 30^\circ}{\sin 70^\circ \sin 30^\circ} = \frac{\sin 30^\circ \cos 70^\circ - \cos 30^\circ \sin 70^\circ}{\sin 70^\circ \sin 30^\circ}$
В числителе дроби мы получили формулу синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$. Применим её:
$\frac{\sin(30^\circ - 70^\circ)}{\sin 70^\circ \sin 30^\circ} = \frac{\sin(-40^\circ)}{\sin 70^\circ \sin 30^\circ}$
Используем свойство нечетности функции синус $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ и известное значение $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$:
$\frac{-\sin 40^\circ}{\sin 70^\circ \cdot \frac{1}{2}} = \frac{-2 \sin 40^\circ}{\sin 70^\circ}$
Применим формулу приведения $\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$ к знаменателю: $\sin 70^\circ = \cos(90^\circ - 70^\circ) = \cos 20^\circ$.
$\frac{-2 \sin 40^\circ}{\cos 20^\circ}$
Теперь применим формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ к числителю:
$\frac{-2 \cdot (2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ)}{\cos 20^\circ}$
Сократим $\cos 20^\circ$ в числителе и знаменателе:
$-4 \sin 20^\circ$
Снова воспользуемся формулой приведения $\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$:
$\sin 20^\circ = \cos(90^\circ - 20^\circ) = \cos 70^\circ$
Подставив это, получаем:
$-4 \cos 70^\circ$
Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства к виду правой части, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 9.87 расположенного на странице 280 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9.87 (с. 280), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.