Номер 9.83, страница 279 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 9. Формулы сложения. 9.7*. Формулы для тангенсов - номер 9.83, страница 279.

Условие.

9.83 a) $tg \frac{\alpha}{2}$, если $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$, $\cos \alpha = \frac{4}{5}$;

б) $tg \frac{\alpha}{2}$, если $\sin \alpha = \frac{12}{13}$, $\cos \alpha = \frac{5}{13}$;

в) $tg \frac{\alpha}{2}$, если $\sin \alpha = -\frac{4}{5}$, $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$;

г) $tg \frac{\alpha}{2}$, если $\sin \alpha = -\frac{12}{13}$, $\cos \alpha = -\frac{5}{13}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Дано: $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$ и $\cos \alpha = \frac{4}{5}$.

Для нахождения $tg \frac{\alpha}{2}$ воспользуемся одной из формул тангенса половинного угла:

$tg \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$

Подставим заданные значения в формулу и выполним вычисления:

$tg \frac{\alpha}{2} = \frac{-\frac{3}{5}}{1 + \frac{4}{5}} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{5}{5} + \frac{4}{5}} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{9}{5}} = -\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{9} = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$

б) Дано: $\sin \alpha = \frac{12}{13}$ и $\cos \alpha = \frac{5}{13}$.

Используем ту же формулу тангенса половинного угла:

$tg \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$

Подставляем значения в формулу:

$tg \frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{12}{13}}{1 + \frac{5}{13}} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{13}{13} + \frac{5}{13}} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{18}{13}} = \frac{12}{13} \cdot \frac{13}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

в) Дано: $\sin \alpha = -\frac{4}{5}$ и $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$.

Применим формулу тангенса половинного угла. В данном случае удобнее использовать формулу $tg \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$, чтобы избежать сложения с отрицательным числом в знаменателе.

$tg \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{3}{5})}{-\frac{4}{5}} = \frac{1 + \frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{\frac{5}{5} + \frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{\frac{8}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{8}{5} \cdot (-\frac{5}{4}) = -\frac{8}{4} = -2$.

Ответ: $-2$

г) Дано: $\sin \alpha = -\frac{12}{13}$ и $\cos \alpha = -\frac{5}{13}$.

Воспользуемся формулой $tg \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$.

Подставляем заданные значения:

$tg \frac{\alpha}{2} = \frac{-\frac{12}{13}}{1 + (-\frac{5}{13})} = \frac{-\frac{12}{13}}{1 - \frac{5}{13}} = \frac{-\frac{12}{13}}{\frac{13}{13} - \frac{5}{13}} = \frac{-\frac{12}{13}}{\frac{8}{13}} = -\frac{12}{13} \cdot \frac{13}{8} = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2}$.

Ответ: $-\frac{3}{2}$