Страница 279 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.76 При каких значениях $\alpha$ верно равенство:

a) $\text{tg } (45^{\circ} + \alpha) = \frac{1 + \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg } \alpha}$;

б) $\text{tg } (45^{\circ} - \alpha) = \frac{1 - \text{tg } \alpha}{1 + \text{tg } \alpha}$?

а) Чтобы определить, при каких значениях $\alpha$ верно равенство $\text{tg}(45^\circ + \alpha) = \frac{1 + \text{tg}\,\alpha}{1 - \text{tg}\,\alpha}$, необходимо найти область определения (ОДЗ) для обеих частей уравнения. Данное равенство является тригонометрическим тождеством, поэтому оно будет верно для всех значений $\alpha$, для которых обе его части имеют смысл.

1. Найдем ОДЗ для левой части: $\text{tg}(45^\circ + \alpha)$.
Функция тангенса $\text{tg}\,x$ определена, если ее аргумент $x \neq 90^\circ + 180^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, для $\text{tg}(45^\circ + \alpha)$ должно выполняться условие:
$45^\circ + \alpha \neq 90^\circ + 180^\circ n$
$\alpha \neq 90^\circ - 45^\circ + 180^\circ n$
$\alpha \neq 45^\circ + 180^\circ n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Найдем ОДЗ для правой части: $\frac{1 + \text{tg}\,\alpha}{1 - \text{tg}\,\alpha}$.
Для этого выражения должны выполняться два условия:
а) Должен существовать $\text{tg}\,\alpha$. Это верно, если $\alpha \neq 90^\circ + 180^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
б) Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $1 - \text{tg}\,\alpha \neq 0$. Это означает, что $\text{tg}\,\alpha \neq 1$. Это верно, если $\alpha \neq 45^\circ + 180^\circ m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Объединив все найденные ограничения, получаем, что исходное равенство верно при всех значениях $\alpha$, удовлетворяющих условиям:
$\alpha \neq 45^\circ + 180^\circ n$
$\alpha \neq 90^\circ + 180^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Проверим само тождество, используя формулу тангенса суммы $\text{tg}(x+y) = \frac{\text{tg}\,x + \text{tg}\,y}{1 - \text{tg}\,x \cdot \text{tg}\,y}$:
$\text{tg}(45^\circ + \alpha) = \frac{\text{tg}\,45^\circ + \text{tg}\,\alpha}{1 - \text{tg}\,45^\circ \cdot \text{tg}\,\alpha}$
Так как $\text{tg}\,45^\circ = 1$, подставляем это значение в формулу:
$\text{tg}(45^\circ + \alpha) = \frac{1 + \text{tg}\,\alpha}{1 - 1 \cdot \text{tg}\,\alpha} = \frac{1 + \text{tg}\,\alpha}{1 - \text{tg}\,\alpha}$
Это подтверждает, что равенство является тождеством и верно на всей своей области определения.

Ответ: равенство верно при всех значениях $\alpha$, кроме $\alpha = 45^\circ + 180^\circ n$ и $\alpha = 90^\circ + 180^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) Рассмотрим равенство $\text{tg}(45^\circ - \alpha) = \frac{1 - \text{tg}\,\alpha}{1 + \text{tg}\,\alpha}$. Это формула тангенса разности, и она верна для всех значений $\alpha$, при которых обе части выражения определены. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

1. Найдем ОДЗ для левой части: $\text{tg}(45^\circ - \alpha)$.
Аргумент тангенса не должен быть равен $90^\circ + 180^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$45^\circ - \alpha \neq 90^\circ + 180^\circ n$
$-\alpha \neq 45^\circ + 180^\circ n$
$\alpha \neq -45^\circ - 180^\circ n$. Поскольку $n$ может быть любым целым числом, то и $-n$ может быть любым целым числом. Заменим $-n$ на $k$:
$\alpha \neq -45^\circ + 180^\circ k, k \in \mathbb{Z}$.

2. Найдем ОДЗ для правой части: $\frac{1 - \text{tg}\,\alpha}{1 + \text{tg}\,\alpha}$.
а) Должен существовать $\text{tg}\,\alpha$, что означает $\alpha \neq 90^\circ + 180^\circ m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
б) Знаменатель не должен быть равен нулю: $1 + \text{tg}\,\alpha \neq 0$, что означает $\text{tg}\,\alpha \neq -1$. Это верно, если $\alpha \neq -45^\circ + 180^\circ p$, где $p \in \mathbb{Z}$.

Объединив все ограничения, получаем, что равенство верно при всех значениях $\alpha$, удовлетворяющих условиям:
$\alpha \neq -45^\circ + 180^\circ k$
$\alpha \neq 90^\circ + 180^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим само тождество, используя формулу тангенса разности $\text{tg}(x-y) = \frac{\text{tg}\,x - \text{tg}\,y}{1 + \text{tg}\,x \cdot \text{tg}\,y}$:
$\text{tg}(45^\circ - \alpha) = \frac{\text{tg}\,45^\circ - \text{tg}\,\alpha}{1 + \text{tg}\,45^\circ \cdot \text{tg}\,\alpha}$
Так как $\text{tg}\,45^\circ = 1$, получаем:
$\text{tg}(45^\circ - \alpha) = \frac{1 - \text{tg}\,\alpha}{1 + 1 \cdot \text{tg}\,\alpha} = \frac{1 - \text{tg}\,\alpha}{1 + \text{tg}\,\alpha}$
Равенство подтверждено и верно на всей своей области определения.

Ответ: равенство верно при всех значениях $\alpha$, кроме $\alpha = -45^\circ + 180^\circ k$ и $\alpha = 90^\circ + 180^\circ k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

9.77 a) Известно, что $ \text{tg } \alpha = \frac{1}{5} $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, $ \text{tg } \beta = -\frac{3}{2} $, $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi. $

Докажите, что $ \alpha + \beta = \frac{3\pi}{4}. $

б) Известно, что $ \text{tg } \alpha = \frac{7}{3} $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, $ \text{tg } \beta = -0.4 $, $ -\frac{\pi}{2} < \beta < 0. $

Докажите, что $ \alpha + \beta = \frac{\pi}{4}. $

а)

Для доказательства равенства воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов: $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\,\alpha + tg\,\beta}{1 - tg\,\alpha \cdot tg\,\beta}$

Из условия нам известны значения тангенсов: $tg\,\alpha = \frac{1}{5}$ и $tg\,\beta = -\frac{3}{2}$. Подставим эти значения в формулу: $tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{5} + (-\frac{3}{2})}{1 - \frac{1}{5} \cdot (-\frac{3}{2})} = \frac{\frac{2 - 15}{10}}{1 + \frac{3}{10}} = \frac{-\frac{13}{10}}{\frac{10}{10} + \frac{3}{10}} = \frac{-\frac{13}{10}}{\frac{13}{10}} = -1$

Теперь необходимо определить, в какой четверти лежит угол $\alpha + \beta$. По условию даны следующие ограничения на углы $\alpha$ и $\beta$: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (первая четверть) $\frac{\pi}{2} < \beta < \pi$ (вторая четверть)

Сложим левые и правые части этих неравенств, чтобы найти диапазон для суммы $\alpha + \beta$: $0 + \frac{\pi}{2} < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2} + \pi$ $\frac{\pi}{2} < \alpha + \beta < \frac{3\pi}{2}$

Итак, мы знаем, что $tg(\alpha + \beta) = -1$ и угол $\alpha + \beta$ находится в интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, то есть во второй или третьей четверти. Тангенс равен $-1$ (отрицателен) во второй и четвертой четвертях. Единственная четверть, которая удовлетворяет обоим условиям — это вторая четверть.

Общее решение уравнения $tg(x) = -1$ имеет вид $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k$ — целое число. Из всех решений нам нужно выбрать то, которое попадает в интервал $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$. Этому условию удовлетворяет только значение при $k=0$, то есть $\alpha + \beta = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Как и в предыдущем пункте, используем формулу тангенса суммы: $tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\,\alpha + tg\,\beta}{1 - tg\,\alpha \cdot tg\,\beta}$

Нам даны $tg\,\alpha = \frac{7}{3}$ и $tg\,\beta = -0,4$. Представим $-0,4$ в виде обыкновенной дроби: $-0,4 = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$. Подставим значения в формулу: $tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{7}{3} + (-\frac{2}{5})}{1 - \frac{7}{3} \cdot (-\frac{2}{5})} = \frac{\frac{35 - 6}{15}}{1 + \frac{14}{15}} = \frac{\frac{29}{15}}{\frac{15}{15} + \frac{14}{15}} = \frac{\frac{29}{15}}{\frac{29}{15}} = 1$

Теперь определим, в какой четверти лежит угол $\alpha + \beta$. По условию: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ (первая четверть) $-\frac{\pi}{2} < \beta < 0$ (четвертая четверть)

Сложим неравенства, чтобы найти интервал для суммы $\alpha + \beta$: $0 - \frac{\pi}{2} < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2} + 0$ $-\frac{\pi}{2} < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$

Мы получили, что $tg(\alpha + \beta) = 1$ и угол $\alpha + \beta$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, то есть в первой или четвертой четверти. Тангенс равен $1$ (положителен) в первой и третьей четвертях. Единственная четверть, удовлетворяющая обоим условиям — это первая четверть.

Общее решение уравнения $tg(x) = 1$ имеет вид $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k$ — целое число. Из всех решений нам нужно выбрать то, которое попадает в интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Этому условию удовлетворяет только значение при $k=0$, то есть $\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

9.78* Докажите справедливость равенства:

a) $\text{tg} \frac{\pi}{16} + \text{tg} \frac{3\pi}{16} + \text{tg} \frac{\pi}{16} \text{tg} \frac{3\pi}{16} = 1;$

б) $\text{tg} \frac{7\pi}{8} - \text{tg} \frac{5\pi}{8} - \text{tg} \frac{7\pi}{8} \text{tg} \frac{5\pi}{8} = 1.$

а)

Для доказательства данного равенства воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов: $ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha\text{tg}\beta} $.

Рассмотрим сумму углов $ \frac{\pi}{16} $ и $ \frac{3\pi}{16} $: $ \frac{\pi}{16} + \frac{3\pi}{16} = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4} $.

Тангенс этого угла имеет известное значение: $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $.

Теперь применим формулу тангенса суммы для углов $ \alpha = \frac{\pi}{16} $ и $ \beta = \frac{3\pi}{16} $: $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{16} + \frac{3\pi}{16}\right) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{16} + \text{tg}\frac{3\pi}{16}}{1 - \text{tg}\frac{\pi}{16}\text{tg}\frac{3\pi}{16}} $.

Поскольку $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{16} + \frac{3\pi}{16}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $, мы можем записать: $ 1 = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{16} + \text{tg}\frac{3\pi}{16}}{1 - \text{tg}\frac{\pi}{16}\text{tg}\frac{3\pi}{16}} $.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $ \left(1 - \text{tg}\frac{\pi}{16}\text{tg}\frac{3\pi}{16}\right) $: $ 1 \cdot \left(1 - \text{tg}\frac{\pi}{16}\text{tg}\frac{3\pi}{16}\right) = \text{tg}\frac{\pi}{16} + \text{tg}\frac{3\pi}{16} $.

$ 1 - \text{tg}\frac{\pi}{16}\text{tg}\frac{3\pi}{16} = \text{tg}\frac{\pi}{16} + \text{tg}\frac{3\pi}{16} $.

Перенеся слагаемое $ \left(-\text{tg}\frac{\pi}{16}\text{tg}\frac{3\pi}{16}\right) $ в правую часть, получаем требуемое равенство: $ 1 = \text{tg}\frac{\pi}{16} + \text{tg}\frac{3\pi}{16} + \text{tg}\frac{\pi}{16}\text{tg}\frac{3\pi}{16} $. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Для доказательства этого равенства воспользуемся формулой тангенса разности двух углов: $ \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha\text{tg}\beta} $.

Рассмотрим разность углов $ \frac{7\pi}{8} $ и $ \frac{5\pi}{8} $: $ \frac{7\pi}{8} - \frac{5\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} $.

Тангенс этого угла равен: $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $.

Применим формулу тангенса разности для углов $ \alpha = \frac{7\pi}{8} $ и $ \beta = \frac{5\pi}{8} $: $ \text{tg}\left(\frac{7\pi}{8} - \frac{5\pi}{8}\right) = \frac{\text{tg}\frac{7\pi}{8} - \text{tg}\frac{5\pi}{8}}{1 + \text{tg}\frac{7\pi}{8}\text{tg}\frac{5\pi}{8}} $.

Так как $ \text{tg}\left(\frac{7\pi}{8} - \frac{5\pi}{8}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $, получаем: $ 1 = \frac{\text{tg}\frac{7\pi}{8} - \text{tg}\frac{5\pi}{8}}{1 + \text{tg}\frac{7\pi}{8}\text{tg}\frac{5\pi}{8}} $.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $ \left(1 + \text{tg}\frac{7\pi}{8}\text{tg}\frac{5\pi}{8}\right) $: $ 1 \cdot \left(1 + \text{tg}\frac{7\pi}{8}\text{tg}\frac{5\pi}{8}\right) = \text{tg}\frac{7\pi}{8} - \text{tg}\frac{5\pi}{8} $.

$ 1 + \text{tg}\frac{7\pi}{8}\text{tg}\frac{5\pi}{8} = \text{tg}\frac{7\pi}{8} - \text{tg}\frac{5\pi}{8} $.

Перенеся слагаемое $ \left(\text{tg}\frac{7\pi}{8}\text{tg}\frac{5\pi}{8}\right) $ в правую часть, получаем исходное равенство: $ 1 = \text{tg}\frac{7\pi}{8} - \text{tg}\frac{5\pi}{8} - \text{tg}\frac{7\pi}{8}\text{tg}\frac{5\pi}{8} $. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

9.79 Выразите через котангенс угла $\alpha$, такого, что $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}:

а) $\tan \frac{\pi}{3};$

б) $\tan \frac{5\pi}{9};$

в) $\tan \frac{4\pi}{7};$

г) $\tan \frac{3\pi}{5}.$

Основная идея решения — использовать формулы приведения для тангенса, чтобы перейти к котангенсу. Основные формулы, которые нам понадобятся:

• $\text{tg}(\beta) = \text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \beta)$
• $\text{tg}(\beta) = \text{tg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$, где $\alpha = \beta - \frac{\pi}{2}$

Цель — найти такой угол $\alpha$, который удовлетворяет условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

а)

Нужно выразить $\text{tg}\frac{\pi}{3}$. Угол $\beta = \frac{\pi}{3}$ находится в первой четверти ($0 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$), поэтому его тангенс положителен. Котангенс искомого угла $\alpha$ из промежутка $(0, \frac{\pi}{4})$ также положителен, поэтому итоговое выражение будет иметь вид $\text{ctg}\alpha$.

Воспользуемся формулой приведения $\text{tg}\beta = \text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \beta)$.

Пусть $\beta = \frac{\pi}{3}$, тогда искомый угол $\alpha$ равен:

$\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - 2\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденный угол $\alpha = \frac{\pi}{6}$ условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

Сравним $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{4}$. Так как $4 < 6$, то $\frac{1}{6} < \frac{1}{4}$, следовательно, $\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{4}$. Неравенство $0 < \frac{\pi}{6}$ также очевидно верно. Условие выполнено.

Таким образом, мы можем записать: $\text{tg}\frac{\pi}{3} = \text{ctg}\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\text{ctg}\frac{\pi}{6}$.

б)

Нужно выразить $\text{tg}\frac{5\pi}{9}$. Угол $\beta = \frac{5\pi}{9}$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} = \frac{4.5\pi}{9} < \frac{5\pi}{9} < \pi = \frac{9\pi}{9}$. Тангенс во второй четверти отрицателен.

Так как котангенс угла $\alpha$ из промежутка $(0, \frac{\pi}{4})$ положителен, то итоговое выражение должно иметь вид $-\text{ctg}\alpha$.

Воспользуемся формулой приведения $\text{tg}\beta = \text{tg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\text{ctg}\alpha$.

Найдем угол $\alpha$ из соотношения $\beta = \frac{\pi}{2} + \alpha$:

$\alpha = \beta - \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{9} - \frac{\pi}{2} = \frac{10\pi - 9\pi}{18} = \frac{\pi}{18}$.

Проверим, удовлетворяет ли $\alpha = \frac{\pi}{18}$ условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

Сравним $\frac{\pi}{18}$ и $\frac{\pi}{4}$. Так как $4 < 18$, то $\frac{1}{18} < \frac{1}{4}$, следовательно, $\frac{\pi}{18} < \frac{\pi}{4}$. Неравенство $0 < \frac{\pi}{18}$ верно. Условие выполнено.

Следовательно, $\text{tg}\frac{5\pi}{9} = \text{tg}(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{18}) = -\text{ctg}\frac{\pi}{18}$.

Ответ: $-\text{ctg}\frac{\pi}{18}$.

в)

Нужно выразить $\text{tg}\frac{4\pi}{7}$. Угол $\beta = \frac{4\pi}{7}$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} = \frac{3.5\pi}{7} < \frac{4\pi}{7} < \pi = \frac{7\pi}{7}$. Тангенс этого угла отрицателен.

Итоговое выражение должно иметь вид $-\text{ctg}\alpha$, где $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

Воспользуемся формулой $\text{tg}\beta = -\text{ctg}(\beta - \frac{\pi}{2})$.

Вычислим искомый угол $\alpha$:

$\alpha = \beta - \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{7} - \frac{\pi}{2} = \frac{8\pi - 7\pi}{14} = \frac{\pi}{14}$.

Проверим, удовлетворяет ли $\alpha = \frac{\pi}{14}$ условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

Сравним $\frac{\pi}{14}$ и $\frac{\pi}{4}$. Так как $4 < 14$, то $\frac{1}{14} < \frac{1}{4}$, следовательно, $\frac{\pi}{14} < \frac{\pi}{4}$. Неравенство $0 < \frac{\pi}{14}$ верно. Условие выполнено.

Следовательно, $\text{tg}\frac{4\pi}{7} = -\text{ctg}\frac{\pi}{14}$.

Ответ: $-\text{ctg}\frac{\pi}{14}$.

г)

Нужно выразить $\text{tg}\frac{3\pi}{5}$. Угол $\beta = \frac{3\pi}{5}$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} = \frac{2.5\pi}{5} < \frac{3\pi}{5} < \pi = \frac{5\pi}{5}$. Тангенс этого угла отрицателен.

Итоговое выражение должно иметь вид $-\text{ctg}\alpha$, где $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

Воспользуемся формулой $\text{tg}\beta = -\text{ctg}(\beta - \frac{\pi}{2})$.

Вычислим искомый угол $\alpha$:

$\alpha = \beta - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{5} - \frac{\pi}{2} = \frac{6\pi - 5\pi}{10} = \frac{\pi}{10}$.

Проверим, удовлетворяет ли $\alpha = \frac{\pi}{10}$ условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

Сравним $\frac{\pi}{10}$ и $\frac{\pi}{4}$. Так как $4 < 10$, то $\frac{1}{10} < \frac{1}{4}$, следовательно, $\frac{\pi}{10} < \frac{\pi}{4}$. Неравенство $0 < \frac{\pi}{10}$ верно. Условие выполнено.

Следовательно, $\text{tg}\frac{3\pi}{5} = -\text{ctg}\frac{\pi}{10}$.

Ответ: $-\text{ctg}\frac{\pi}{10}$.

9.80 Докажите справедливость равенства:

а) $ \frac{1}{1 - \text{tg } \alpha} - \frac{1}{1 + \text{tg } \alpha} = \text{tg } 2\alpha; $

б) $ \frac{\text{tg } \alpha}{1 - \text{tg } \alpha} + \frac{\text{tg } \alpha}{1 + \text{tg } \alpha} = \text{tg } 2\alpha, $

если $ \alpha \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} $, $ k \in \mathbb{Z} $, $ \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.

а)

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - \operatorname{tg} \alpha)(1 + \operatorname{tg} \alpha)$. Используя формулу разности квадратов, получим знаменатель $1 - \operatorname{tg}^2 \alpha$.

$ \frac{1}{1 - \operatorname{tg} \alpha} - \frac{1}{1 + \operatorname{tg} \alpha} = \frac{1 \cdot (1 + \operatorname{tg} \alpha) - 1 \cdot (1 - \operatorname{tg} \alpha)}{(1 - \operatorname{tg} \alpha)(1 + \operatorname{tg} \alpha)} $

Теперь упростим числитель получившейся дроби:

$ \frac{1 + \operatorname{tg} \alpha - 1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} $

Полученное выражение является формулой тангенса двойного угла:

$ \operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} $

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства равна его правой части. Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Для доказательства второго равенства также преобразуем его левую часть. Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - \operatorname{tg} \alpha)(1 + \operatorname{tg} \alpha) = 1 - \operatorname{tg}^2 \alpha$.

$ \frac{\operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \alpha} + \frac{\operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \alpha} = \frac{\operatorname{tg} \alpha (1 + \operatorname{tg} \alpha) + \operatorname{tg} \alpha (1 - \operatorname{tg} \alpha)}{(1 - \operatorname{tg} \alpha)(1 + \operatorname{tg} \alpha)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg}^2 \alpha + \operatorname{tg} \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} $

Полученное выражение также является формулой тангенса двойного угла:

$ \operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} $

Следовательно, левая часть исходного равенства тождественно равна его правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

9.81 Вычислите $tg 2\alpha$, если:

а) $tg \alpha = \frac{1}{7}$;

б) $tg \alpha = -\frac{1}{4}$;

в) $tg \alpha = 3$;

г) $tg \alpha = -4$;

д) $sin \alpha = \frac{3}{5}$, $cos \alpha = -\frac{4}{5}$;

е) $sin \alpha = -\frac{5}{13}$, $cos \alpha = \frac{12}{13}$.

Для решения всех пунктов задачи используется формула тангенса двойного угла:$ \tg 2\alpha = \frac{2 \tg \alpha}{1 - \tg^2 \alpha} $

а) Дано $ \tg \alpha = \frac{1}{7} $.
Подставляем это значение в формулу тангенса двойного угла:$ \tg 2\alpha = \frac{2 \cdot \frac{1}{7}}{1 - (\frac{1}{7})^2} = \frac{\frac{2}{7}}{1 - \frac{1}{49}} = \frac{\frac{2}{7}}{\frac{49-1}{49}} = \frac{\frac{2}{7}}{\frac{48}{49}} = \frac{2}{7} \cdot \frac{49}{48} = \frac{2 \cdot 7}{48} = \frac{14}{48} = \frac{7}{24} $.
Ответ: $ \frac{7}{24} $

б) Дано $ \tg \alpha = -\frac{1}{4} $.
Подставляем в формулу:$ \tg 2\alpha = \frac{2 \cdot (-\frac{1}{4})}{1 - (-\frac{1}{4})^2} = \frac{-\frac{2}{4}}{1 - \frac{1}{16}} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{16-1}{16}} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{15}{16}} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{16}{15} = -\frac{16}{30} = -\frac{8}{15} $.
Ответ: $ -\frac{8}{15} $

в) Дано $ \tg \alpha = 3 $.
Подставляем в формулу:$ \tg 2\alpha = \frac{2 \cdot 3}{1 - 3^2} = \frac{6}{1 - 9} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4} $.
Ответ: $ -\frac{3}{4} $

г) Дано $ \tg \alpha = -4 $.
Подставляем в формулу:$ \tg 2\alpha = \frac{2 \cdot (-4)}{1 - (-4)^2} = \frac{-8}{1 - 16} = \frac{-8}{-15} = \frac{8}{15} $.
Ответ: $ \frac{8}{15} $

д) Дано $ \sin \alpha = \frac{3}{5} $ и $ \cos \alpha = -\frac{4}{5} $.
Сначала найдем $ \tg \alpha $ по определению: $ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.
$ \tg \alpha = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4} $.
Теперь используем формулу тангенса двойного угла:$ \tg 2\alpha = \frac{2 \cdot (-\frac{3}{4})}{1 - (-\frac{3}{4})^2} = \frac{-\frac{6}{4}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{16-9}{16}} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = -\frac{3 \cdot 8}{7} = -\frac{24}{7} $.
Ответ: $ -\frac{24}{7} $

е) Дано $ \sin \alpha = -\frac{5}{13} $ и $ \cos \alpha = \frac{12}{13} $.
Сначала найдем $ \tg \alpha $:$ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = -\frac{5}{12} $.
Теперь используем формулу тангенса двойного угла:$ \tg 2\alpha = \frac{2 \cdot (-\frac{5}{12})}{1 - (-\frac{5}{12})^2} = \frac{-\frac{10}{12}}{1 - \frac{25}{144}} = \frac{-\frac{5}{6}}{\frac{144-25}{144}} = \frac{-\frac{5}{6}}{\frac{119}{144}} = -\frac{5}{6} \cdot \frac{144}{119} = -\frac{5 \cdot 24}{119} = -\frac{120}{119} $.
Ответ: $ -\frac{120}{119} $

Вычислите (9.82–9.83):

9.82

a) $tg \frac{\pi}{8}$;

б) $tg \frac{\pi}{12}$.

а)

Для вычисления значения $tg \frac{\pi}{8}$ можно использовать формулу тангенса двойного угла: $tg(2\alpha) = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha}$.

Пусть $\alpha = \frac{\pi}{8}$, тогда $2\alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$. Мы знаем, что $tg \frac{\pi}{4} = 1$.

Обозначим искомое значение $tg \frac{\pi}{8}$ через $x$. Подставим все в формулу: $tg \frac{\pi}{4} = \frac{2tg\frac{\pi}{8}}{1 - tg^2\frac{\pi}{8}}$ $1 = \frac{2x}{1 - x^2}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$: $1 - x^2 = 2x$ $x^2 + 2x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, используя формулу для корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$ $x = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

Мы получили два возможных значения для $x$: $x_1 = -1 + \sqrt{2}$ и $x_2 = -1 - \sqrt{2}$.

Угол $\frac{\pi}{8}$ находится в первой координатной четверти ($0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$), а тангенс угла в первой четверти всегда положителен. Значение $x_1 = \sqrt{2} - 1 \approx 1.414 - 1 = 0.414$ является положительным. Значение $x_2 = -1 - \sqrt{2} \approx -1 - 1.414 = -2.414$ является отрицательным. Следовательно, нам подходит только положительный корень.

Ответ: $\sqrt{2}-1$

б)

Для вычисления значения $tg \frac{\pi}{12}$ представим угол $\frac{\pi}{12}$ в виде разности двух углов, тангенсы которых нам известны. Например: $\frac{\pi}{12} = \frac{4\pi - 3\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$

Воспользуемся формулой тангенса разности двух углов: $tg(\alpha - \beta) = \frac{tg\alpha - tg\beta}{1 + tg\alpha \cdot tg\beta}$

Подставим $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = \frac{\pi}{4}$. Значения тангенсов для этих углов: $tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ и $tg \frac{\pi}{4} = 1$. $tg \frac{\pi}{12} = tg(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \frac{tg\frac{\pi}{3} - tg\frac{\pi}{4}}{1 + tg\frac{\pi}{3} \cdot tg\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

Упростим полученное выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{3} - 1)$: $tg \frac{\pi}{12} = \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}$

В числителе используем формулу квадрата разности, а в знаменателе — формулу разности квадратов: Числитель: $(\sqrt{3} - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$ Знаменатель: $(\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$

Подставим обратно и выполним деление: $tg \frac{\pi}{12} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = \frac{2(2 - \sqrt{3})}{2} = 2 - \sqrt{3}$

Ответ: $2 - \sqrt{3}$

9.83 a) $tg \frac{\alpha}{2}$, если $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$, $\cos \alpha = \frac{4}{5}$;

б) $tg \frac{\alpha}{2}$, если $\sin \alpha = \frac{12}{13}$, $\cos \alpha = \frac{5}{13}$;

в) $tg \frac{\alpha}{2}$, если $\sin \alpha = -\frac{4}{5}$, $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$;

г) $tg \frac{\alpha}{2}$, если $\sin \alpha = -\frac{12}{13}$, $\cos \alpha = -\frac{5}{13}$.

а) Дано: $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$ и $\cos \alpha = \frac{4}{5}$.

Для нахождения $tg \frac{\alpha}{2}$ воспользуемся одной из формул тангенса половинного угла:

$tg \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$

Подставим заданные значения в формулу и выполним вычисления:

$tg \frac{\alpha}{2} = \frac{-\frac{3}{5}}{1 + \frac{4}{5}} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{5}{5} + \frac{4}{5}} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{9}{5}} = -\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{9} = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$

б) Дано: $\sin \alpha = \frac{12}{13}$ и $\cos \alpha = \frac{5}{13}$.

Используем ту же формулу тангенса половинного угла:

$tg \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$

Подставляем значения в формулу:

$tg \frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{12}{13}}{1 + \frac{5}{13}} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{13}{13} + \frac{5}{13}} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{18}{13}} = \frac{12}{13} \cdot \frac{13}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

в) Дано: $\sin \alpha = -\frac{4}{5}$ и $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$.

Применим формулу тангенса половинного угла. В данном случае удобнее использовать формулу $tg \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$, чтобы избежать сложения с отрицательным числом в знаменателе.

$tg \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{3}{5})}{-\frac{4}{5}} = \frac{1 + \frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{\frac{5}{5} + \frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{\frac{8}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{8}{5} \cdot (-\frac{5}{4}) = -\frac{8}{4} = -2$.

Ответ: $-2$

г) Дано: $\sin \alpha = -\frac{12}{13}$ и $\cos \alpha = -\frac{5}{13}$.

Воспользуемся формулой $tg \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}$.

Подставляем заданные значения:

$tg \frac{\alpha}{2} = \frac{-\frac{12}{13}}{1 + (-\frac{5}{13})} = \frac{-\frac{12}{13}}{1 - \frac{5}{13}} = \frac{-\frac{12}{13}}{\frac{13}{13} - \frac{5}{13}} = \frac{-\frac{12}{13}}{\frac{8}{13}} = -\frac{12}{13} \cdot \frac{13}{8} = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2}$.

Ответ: $-\frac{3}{2}$