Страница 275 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.70* a) $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 2 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma;$

б) $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 - 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma.$

Данные равенства являются условными тождествами, которые справедливы, если углы $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ связаны определенным соотношением. Чаще всего в таких задачах подразумевается, что это углы треугольника, то есть выполняется условие $\alpha + \beta + \gamma = \pi$. Докажем оба тождества при этом условии.

а) $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 2 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$

Начнем с преобразования левой части тождества. Применим формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ для первых двух слагаемых:

$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} + \frac{1 - \cos(2\beta)}{2} + \sin^2 \gamma = 1 - \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + \cos(2\beta)) + \sin^2 \gamma$

Теперь используем формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$1 - \frac{1}{2}(2 \cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)) + \sin^2 \gamma = 1 - \cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) + \sin^2 \gamma$

Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ следует, что $\alpha + \beta = \pi - \gamma$. Используем это для преобразования выражения.

Поскольку $\cos(\alpha+\beta) = \cos(\pi - \gamma) = -\cos \gamma$, подставляем это в наше выражение:

$1 - (-\cos \gamma)\cos(\alpha-\beta) + \sin^2 \gamma = 1 + \cos \gamma \cos(\alpha-\beta) + \sin^2 \gamma$

Заменим $\sin^2 \gamma$ на $1 - \cos^2 \gamma$ согласно основному тригонометрическому тождеству:

$1 + \cos \gamma \cos(\alpha-\beta) + (1 - \cos^2 \gamma) = 2 + \cos \gamma \cos(\alpha-\beta) - \cos^2 \gamma$

Вынесем $\cos \gamma$ за скобки:

$2 + \cos \gamma (\cos(\alpha-\beta) - \cos \gamma)$

Внутри скобок заменим $\cos \gamma$ обратно на $-\cos(\alpha+\beta)$:

$2 + \cos \gamma (\cos(\alpha-\beta) - (-\cos(\alpha+\beta))) = 2 + \cos \gamma (\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta))$

Применим формулу для суммы косинусов (в обратную сторону): $\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta) = 2\cos\alpha\cos\beta$.

$2 + \cos \gamma (2\cos\alpha\cos\beta) = 2 + 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$

Мы преобразовали левую часть к виду правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 2 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ доказано при условии $\alpha+\beta+\gamma=\pi$.

б) $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 - 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$

Это тождество также докажем при условии $\alpha + \beta + \gamma = \pi$. Для этого воспользуемся уже доказанным тождеством из пункта а).

Из пункта а) имеем:

$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 2 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ для каждого слагаемого в левой части:

$(1 - \cos^2 \alpha) + (1 - \cos^2 \beta) + (1 - \cos^2 \gamma) = 2 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$

Упростим левую часть:

$3 - (\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) = 2 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$

Выразим из этого равенства сумму квадратов косинусов. Для этого перенесем ее в правую часть, а все остальные члены — в левую.

$3 - 2 - 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma = \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma$

После приведения подобных слагаемых получаем искомое тождество:

$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 - 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$

Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 - 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ доказано при условии $\alpha+\beta+\gamma=\pi$.

9.71* a) $\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma;$

б) $\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = -1 - 4 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma.$

Данные тождества обычно доказываются при условии, что сумма углов $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ (например, если $\alpha, \beta, \gamma$ являются углами треугольника). Без этого условия равенства, в общем случае, неверны. Ниже приведено доказательство, основанное на этом предположении.

Докажем тождество $\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$.
Начнем с преобразования левой части равенства. Сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$:
$\sin 2\alpha + \sin 2\beta = 2 \sin\frac{2\alpha+2\beta}{2} \cos\frac{2\alpha-2\beta}{2} = 2 \sin(\alpha+\beta) \cos(\alpha-\beta)$.
Теперь все выражение выглядит так:
$2 \sin(\alpha+\beta) \cos(\alpha-\beta) + \sin 2\gamma$.
Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ следует, что $\alpha + \beta = \pi - \gamma$. Используя формулу приведения, получаем $\sin(\alpha+\beta) = \sin(\pi - \gamma) = \sin \gamma$.
Подставим это в наше выражение:
$2 \sin \gamma \cos(\alpha-\beta) + \sin 2\gamma$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2\gamma = 2 \sin \gamma \cos \gamma$:
$2 \sin \gamma \cos(\alpha-\beta) + 2 \sin \gamma \cos \gamma$.
Вынесем общий множитель $2 \sin \gamma$ за скобки:
$2 \sin \gamma (\cos(\alpha-\beta) + \cos \gamma)$.
Теперь преобразуем $\cos \gamma$. Из условия $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$ следует, что $\cos \gamma = \cos(\pi - (\alpha+\beta)) = -\cos(\alpha+\beta)$.
Подставим это в скобки:
$2 \sin \gamma (\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$.
Выражение в скобках можно упростить, используя формулу для разности косинусов: $\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) = 2 \sin\alpha \sin\beta$.
В итоге получаем:
$2 \sin \gamma (2 \sin\alpha\sin\beta) = 4 \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$.
Мы преобразовали левую часть к правой, таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество $\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$ доказано при условии $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.

Докажем тождество $\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = -1 - 4 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$.
Начнем с преобразования левой части. Сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$:
$\cos 2\alpha + \cos 2\beta = 2 \cos\frac{2\alpha+2\beta}{2} \cos\frac{2\alpha-2\beta}{2} = 2 \cos(\alpha+\beta) \cos(\alpha-\beta)$.
Выражение принимает вид:
$2 \cos(\alpha+\beta) \cos(\alpha-\beta) + \cos 2\gamma$.
Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ имеем $\alpha + \beta = \pi - \gamma$, откуда $\cos(\alpha+\beta) = \cos(\pi - \gamma) = -\cos \gamma$.
Подставим это в выражение:
$2 (-\cos \gamma) \cos(\alpha-\beta) + \cos 2\gamma = -2 \cos \gamma \cos(\alpha-\beta) + \cos 2\gamma$.
Применим формулу косинуса двойного угла в виде $\cos 2\gamma = 2 \cos^2 \gamma - 1$:
$-2 \cos \gamma \cos(\alpha-\beta) + 2 \cos^2 \gamma - 1$.
Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель $2 \cos \gamma$ за скобки:
$2 \cos \gamma (\cos \gamma - \cos(\alpha-\beta)) - 1$.
Теперь заменим $\cos \gamma$ внутри скобок, используя $\cos \gamma = -\cos(\alpha+\beta)$:
$2 \cos \gamma (-\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)) - 1$.
Вынесем знак минус из скобок:
$-2 \cos \gamma (\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)) - 1$.
Выражение в скобках можно упростить, используя формулу для суммы косинусов: $\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) = 2 \cos\alpha \cos\beta$.
В итоге получаем:
$-2 \cos \gamma (2 \cos\alpha \cos\beta) - 1 = -4 \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma - 1$.
Мы преобразовали левую часть к правой, таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество $\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = -1 - 4 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ доказано при условии $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.