Номер 9.70, страница 275 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
9.6*. Произведение синусов и косинусов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.70, страница 275.
№9.70 (с. 275)
Условие. №9.70 (с. 275)
скриншот условия

9.70* a) $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 2 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma;$
б) $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 - 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma.$
Решение 1. №9.70 (с. 275)


Решение 2. №9.70 (с. 275)

Решение 3. №9.70 (с. 275)


Решение 4. №9.70 (с. 275)


Решение 5. №9.70 (с. 275)
Данные равенства являются условными тождествами, которые справедливы, если углы $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ связаны определенным соотношением. Чаще всего в таких задачах подразумевается, что это углы треугольника, то есть выполняется условие $\alpha + \beta + \gamma = \pi$. Докажем оба тождества при этом условии.
а) $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 2 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$
Начнем с преобразования левой части тождества. Применим формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ для первых двух слагаемых:
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} + \frac{1 - \cos(2\beta)}{2} + \sin^2 \gamma = 1 - \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + \cos(2\beta)) + \sin^2 \gamma$
Теперь используем формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:
$1 - \frac{1}{2}(2 \cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)) + \sin^2 \gamma = 1 - \cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) + \sin^2 \gamma$
Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ следует, что $\alpha + \beta = \pi - \gamma$. Используем это для преобразования выражения.
Поскольку $\cos(\alpha+\beta) = \cos(\pi - \gamma) = -\cos \gamma$, подставляем это в наше выражение:
$1 - (-\cos \gamma)\cos(\alpha-\beta) + \sin^2 \gamma = 1 + \cos \gamma \cos(\alpha-\beta) + \sin^2 \gamma$
Заменим $\sin^2 \gamma$ на $1 - \cos^2 \gamma$ согласно основному тригонометрическому тождеству:
$1 + \cos \gamma \cos(\alpha-\beta) + (1 - \cos^2 \gamma) = 2 + \cos \gamma \cos(\alpha-\beta) - \cos^2 \gamma$
Вынесем $\cos \gamma$ за скобки:
$2 + \cos \gamma (\cos(\alpha-\beta) - \cos \gamma)$
Внутри скобок заменим $\cos \gamma$ обратно на $-\cos(\alpha+\beta)$:
$2 + \cos \gamma (\cos(\alpha-\beta) - (-\cos(\alpha+\beta))) = 2 + \cos \gamma (\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta))$
Применим формулу для суммы косинусов (в обратную сторону): $\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta) = 2\cos\alpha\cos\beta$.
$2 + \cos \gamma (2\cos\alpha\cos\beta) = 2 + 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$
Мы преобразовали левую часть к виду правой части, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 2 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ доказано при условии $\alpha+\beta+\gamma=\pi$.
б) $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 - 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$
Это тождество также докажем при условии $\alpha + \beta + \gamma = \pi$. Для этого воспользуемся уже доказанным тождеством из пункта а).
Из пункта а) имеем:
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 2 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ для каждого слагаемого в левой части:
$(1 - \cos^2 \alpha) + (1 - \cos^2 \beta) + (1 - \cos^2 \gamma) = 2 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$
Упростим левую часть:
$3 - (\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) = 2 + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$
Выразим из этого равенства сумму квадратов косинусов. Для этого перенесем ее в правую часть, а все остальные члены — в левую.
$3 - 2 - 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma = \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma$
После приведения подобных слагаемых получаем искомое тождество:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 - 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$
Тождество доказано.
Ответ: Тождество $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 - 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ доказано при условии $\alpha+\beta+\gamma=\pi$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 9.70 расположенного на странице 275 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9.70 (с. 275), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.