Номер 9.65, страница 274 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 9. Формулы сложения. 9.6*. Произведение синусов и косинусов - номер 9.65, страница 274.

Условие.

9.65 Преобразуйте в сумму или разность:

а) $\cos 3\alpha \cos \alpha$;

б) $\sin 5\alpha \sin 3\alpha$;

в) $\sin 4\alpha \cos 2\alpha$;

г) $\cos \alpha \cos 2\alpha$;

д) $\sin 2\alpha \sin 3\alpha$;

е) $\sin \alpha \cos 4\alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данных задач используются формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму или разность:

• $ \cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) + \cos(x+y)) $
• $ \sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y)) $
• $ \sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y)) $

а) Для преобразования произведения $ \cos 3\alpha \cos \alpha $ в сумму используем формулу произведения косинусов. Положим $ x = 3\alpha $ и $ y = \alpha $.

$ \cos 3\alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha - \alpha) + \cos(3\alpha + \alpha)) = \frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 4\alpha) $.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 4\alpha) $.

б) Для преобразования произведения $ \sin 5\alpha \sin 3\alpha $ в разность используем формулу произведения синусов. Положим $ x = 5\alpha $ и $ y = 3\alpha $.

$ \sin 5\alpha \sin 3\alpha = \frac{1}{2}(\cos(5\alpha - 3\alpha) - \cos(5\alpha + 3\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos 2\alpha - \cos 8\alpha) $.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos 2\alpha - \cos 8\alpha) $.

в) Для преобразования произведения $ \sin 4\alpha \cos 2\alpha $ в сумму используем формулу произведения синуса на косинус. Положим $ x = 4\alpha $ и $ y = 2\alpha $.

$ \sin 4\alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2}(\sin(4\alpha + 2\alpha) + \sin(4\alpha - 2\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin 6\alpha + \sin 2\alpha) $.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\sin 6\alpha + \sin 2\alpha) $.

г) Для преобразования $ \cos \alpha \cos 2\alpha $ используем ту же формулу, что и в пункте а). Чтобы избежать отрицательного аргумента у косинуса в промежуточных вычислениях, положим $ x = 2\alpha $ и $ y = \alpha $.

$ \cos \alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha - \alpha) + \cos(2\alpha + \alpha)) = \frac{1}{2}(\cos \alpha + \cos 3\alpha) $.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos \alpha + \cos 3\alpha) $.

д) Для преобразования $ \sin 2\alpha \sin 3\alpha $ применяем ту же формулу, что и в пункте б). Чтобы результат был представлен в удобном виде, положим $ x = 3\alpha $ и $ y = 2\alpha $.

$ \sin 2\alpha \sin 3\alpha = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha - 2\alpha) - \cos(3\alpha + 2\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos \alpha - \cos 5\alpha) $.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos \alpha - \cos 5\alpha) $.

е) Для преобразования $ \sin \alpha \cos 4\alpha $ используем формулу произведения синуса на косинус. Положим $ x = \alpha $ и $ y = 4\alpha $.

$ \sin \alpha \cos 4\alpha = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + 4\alpha) + \sin(\alpha - 4\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin 5\alpha + \sin(-3\alpha)) $.

Так как синус — нечетная функция ($ \sin(-z) = -\sin z $), получаем:

$ \frac{1}{2}(\sin 5\alpha + \sin(-3\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin 5\alpha - \sin 3\alpha) $.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\sin 5\alpha - \sin 3\alpha) $.