Номер 9.66, страница 274 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 9. Формулы сложения. 9.6*. Произведение синусов и косинусов - номер 9.66, страница 274.

Условие.

9.66 Докажите, что:

a) $\sin \frac{9\pi}{28} \cos \frac{5\pi}{28} - \sin \frac{6\pi}{35} \cos \frac{\pi}{35} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{5};$

б) $\cos \frac{3\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16} - \cos \frac{5\pi}{16} \sin \frac{3\pi}{16} = \frac{\sqrt{2}}{4}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Требуется доказать: $ \sin\frac{9\pi}{28} \cos\frac{5\pi}{28} - \sin\frac{6\pi}{35} \cos\frac{\pi}{35} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sin\frac{\pi}{5} $.

Рассмотрим левую часть равенства. Преобразуем каждое произведение в сумму с помощью формулы $ \sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $.

Для первого слагаемого $ \sin\frac{9\pi}{28} \cos\frac{5\pi}{28} $:
$ \alpha = \frac{9\pi}{28} $, $ \beta = \frac{5\pi}{28} $.
$ \alpha + \beta = \frac{9\pi}{28} + \frac{5\pi}{28} = \frac{14\pi}{28} = \frac{\pi}{2} $.
$ \alpha - \beta = \frac{9\pi}{28} - \frac{5\pi}{28} = \frac{4\pi}{28} = \frac{\pi}{7} $.
Следовательно, $ \sin\frac{9\pi}{28} \cos\frac{5\pi}{28} = \frac{1}{2}(\sin\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{7}) = \frac{1}{2}(1 + \sin\frac{\pi}{7}) $.

Для второго слагаемого $ \sin\frac{6\pi}{35} \cos\frac{\pi}{35} $:
$ \alpha = \frac{6\pi}{35} $, $ \beta = \frac{\pi}{35} $.
$ \alpha + \beta = \frac{6\pi}{35} + \frac{\pi}{35} = \frac{7\pi}{35} = \frac{\pi}{5} $.
$ \alpha - \beta = \frac{6\pi}{35} - \frac{\pi}{35} = \frac{5\pi}{35} = \frac{\pi}{7} $.
Следовательно, $ \sin\frac{6\pi}{35} \cos\frac{\pi}{35} = \frac{1}{2}(\sin\frac{\pi}{5} + \sin\frac{\pi}{7}) $.

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:
$ \sin\frac{9\pi}{28} \cos\frac{5\pi}{28} - \sin\frac{6\pi}{35} \cos\frac{\pi}{35} = \frac{1}{2}(1 + \sin\frac{\pi}{7}) - \frac{1}{2}(\sin\frac{\pi}{5} + \sin\frac{\pi}{7}) $
$ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{7} - \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{5} - \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{7} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{5} $.
Левая часть равна правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б) Требуется доказать: $ \cos\frac{3\pi}{16} \cos\frac{\pi}{16} - \cos\frac{5\pi}{16} \sin\frac{3\pi}{16} = \frac{\sqrt{2}}{4} $.

(Примечание: В условии, вероятно, содержится опечатка. Равенство верно, если $ \sin\frac{3\pi}{16} $ заменить на $ \cos\frac{3\pi}{16} $. Ниже приведено доказательство для скорректированного равенства: $ \cos\frac{3\pi}{16} \cos\frac{\pi}{16} - \cos\frac{5\pi}{16} \cos\frac{3\pi}{16} = \frac{\sqrt{2}}{4} $).

Рассмотрим левую часть скорректированного равенства и вынесем общий множитель $ \cos\frac{3\pi}{16} $ за скобки:
$ \cos\frac{3\pi}{16} \cos\frac{\pi}{16} - \cos\frac{5\pi}{16} \cos\frac{3\pi}{16} = \cos\frac{3\pi}{16} (\cos\frac{\pi}{16} - \cos\frac{5\pi}{16}) $.

Применим к выражению в скобках формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ \cos\frac{\pi}{16} - \cos\frac{5\pi}{16} = -2\sin\left(\frac{\frac{\pi}{16}+\frac{5\pi}{16}}{2}\right)\sin\left(\frac{\frac{\pi}{16}-\frac{5\pi}{16}}{2}\right) $
$ = -2\sin\left(\frac{6\pi/16}{2}\right)\sin\left(\frac{-4\pi/16}{2}\right) = -2\sin\left(\frac{3\pi}{16}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{8}\right) $.
Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-x) = -\sin(x) $, получаем:
$ -2\sin\frac{3\pi}{16}(-\sin\frac{\pi}{8}) = 2\sin\frac{3\pi}{16}\sin\frac{\pi}{8} $.

Подставим это обратно в выражение:
$ \cos\frac{3\pi}{16} (2\sin\frac{3\pi}{16}\sin\frac{\pi}{8}) = (2\sin\frac{3\pi}{16}\cos\frac{3\pi}{16})\sin\frac{\pi}{8} $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:
$ (2\sin\frac{3\pi}{16}\cos\frac{3\pi}{16})\sin\frac{\pi}{8} = \sin\left(2 \cdot \frac{3\pi}{16}\right)\sin\frac{\pi}{8} = \sin\frac{3\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8} $.

Применим формулу приведения $ \sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2}-\alpha) $:
$ \sin\frac{3\pi}{8} = \sin\left(\frac{4\pi}{8} - \frac{\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}\right) = \cos\frac{\pi}{8} $.
Выражение принимает вид:
$ \cos\frac{\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8} $.

Снова используем формулу синуса двойного угла:
$ \cos\frac{\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} \cdot 2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} = \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{4} $.

Подставляя значение $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:
$ \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} $.
Таким образом, скорректированное равенство доказано.

Ответ: Равенство $ \cos\frac{3\pi}{16} \cos\frac{\pi}{16} - \cos\frac{5\pi}{16} \cos\frac{3\pi}{16} = \frac{\sqrt{2}}{4} $ доказано.