Номер 9.68, страница 274 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.6*. Произведение синусов и косинусов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.68, страница 274.

9.68 Докажите справедливость равенства:

а) $ \cos \alpha \cos 2\alpha - \cos 3\alpha \cos 4\alpha = \sin 2\alpha \sin 5\alpha; $

б) $ \sin \alpha \sin 2\alpha - \sin 3\alpha \sin 4\alpha = -\sin 2\alpha \sin 5\alpha; $

в) $ \sin \alpha \cos 2\alpha - \sin 3\alpha \cos 4\alpha = -\sin 2\alpha \cos 5\alpha. $

а)

Для доказательства равенства $ \cos \alpha \cos 2\alpha - \cos 3\alpha \cos 4\alpha = \sin 2\alpha \sin 5\alpha $ преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A - B) + \cos(A + B)) $.

Применим эту формулу к каждому произведению в левой части, учитывая четность функции косинус $ \cos(-x) = \cos(x) $:

$ \cos \alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - 2\alpha) + \cos(\alpha + 2\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos(-\alpha) + \cos(3\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos\alpha + \cos(3\alpha)) $.

$ \cos 3\alpha \cos 4\alpha = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha - 4\alpha) + \cos(3\alpha + 4\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos(-\alpha) + \cos(7\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos\alpha + \cos(7\alpha)) $.

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства и упростим:

$ \frac{1}{2}(\cos\alpha + \cos(3\alpha)) - \frac{1}{2}(\cos\alpha + \cos(7\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos\alpha + \cos 3\alpha - \cos\alpha - \cos 7\alpha) = \frac{1}{2}(\cos 3\alpha - \cos 7\alpha) $.

Далее преобразуем разность косинусов в произведение, используя формулу: $ \cos X - \cos Y = -2\sin\frac{X+Y}{2}\sin\frac{X-Y}{2} $.

$ \frac{1}{2}(\cos 3\alpha - \cos 7\alpha) = \frac{1}{2} \left( -2\sin\frac{3\alpha+7\alpha}{2}\sin\frac{3\alpha-7\alpha}{2} \right) = -\sin\left(\frac{10\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{-4\alpha}{2}\right) = -\sin(5\alpha)\sin(-2\alpha) $.

Так как синус — нечетная функция ($ \sin(-x) = -\sin x $), то:

$ -\sin(5\alpha)(-\sin(2\alpha)) = \sin 5\alpha \sin 2\alpha $.

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Таким образом, справедливость равенства доказана.

Ответ: равенство $ \cos \alpha \cos 2\alpha - \cos 3\alpha \cos 4\alpha = \sin 2\alpha \sin 5\alpha $ доказано.

б)

Для доказательства равенства $ \sin \alpha \sin 2\alpha - \sin 3\alpha \sin 4\alpha = -\sin 2\alpha \sin 5\alpha $ преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму: $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B)) $.

Применим эту формулу к каждому произведению в левой части:

$ \sin \alpha \sin 2\alpha = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-2\alpha) - \cos(\alpha+2\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos(-\alpha) - \cos(3\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos\alpha - \cos(3\alpha)) $.

$ \sin 3\alpha \sin 4\alpha = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha-4\alpha) - \cos(3\alpha+4\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos(-\alpha) - \cos(7\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos\alpha - \cos(7\alpha)) $.

Подставим полученные выражения в левую часть и упростим:

$ \frac{1}{2}(\cos\alpha - \cos(3\alpha)) - \frac{1}{2}(\cos\alpha - \cos(7\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos\alpha - \cos 3\alpha - \cos\alpha + \cos 7\alpha) = \frac{1}{2}(\cos 7\alpha - \cos 3\alpha) $.

Теперь преобразуем разность косинусов в произведение по формуле: $ \cos X - \cos Y = -2\sin\frac{X+Y}{2}\sin\frac{X-Y}{2} $.

$ \frac{1}{2}(\cos 7\alpha - \cos 3\alpha) = \frac{1}{2} \left( -2\sin\frac{7\alpha+3\alpha}{2}\sin\frac{7\alpha-3\alpha}{2} \right) = -\sin\left(\frac{10\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{4\alpha}{2}\right) = -\sin(5\alpha)\sin(2\alpha) $.

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, справедливость равенства доказана.

Ответ: равенство $ \sin \alpha \sin 2\alpha - \sin 3\alpha \sin 4\alpha = -\sin 2\alpha \sin 5\alpha $ доказано.

в)

Для доказательства равенства $ \sin \alpha \cos 2\alpha - \sin 3\alpha \cos 4\alpha = -\sin 2\alpha \cos 5\alpha $ преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулой преобразования произведения синуса на косинус в сумму: $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A-B) + \sin(A+B)) $.

Применим эту формулу к каждому произведению в левой части:

$ \sin \alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2}(\sin(\alpha-2\alpha) + \sin(\alpha+2\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin(-\alpha) + \sin(3\alpha)) = \frac{1}{2}(-\sin\alpha + \sin(3\alpha)) $.

$ \sin 3\alpha \cos 4\alpha = \frac{1}{2}(\sin(3\alpha-4\alpha) + \sin(3\alpha+4\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin(-\alpha) + \sin(7\alpha)) = \frac{1}{2}(-\sin\alpha + \sin(7\alpha)) $.

Подставим полученные выражения в левую часть и упростим:

$ \frac{1}{2}(-\sin\alpha + \sin(3\alpha)) - \frac{1}{2}(-\sin\alpha + \sin(7\alpha)) = \frac{1}{2}(-\sin\alpha + \sin 3\alpha + \sin\alpha - \sin 7\alpha) = \frac{1}{2}(\sin 3\alpha - \sin 7\alpha) $.

Теперь преобразуем разность синусов в произведение по формуле: $ \sin X - \sin Y = 2\sin\frac{X-Y}{2}\cos\frac{X+Y}{2} $.

$ \frac{1}{2}(\sin 3\alpha - \sin 7\alpha) = \frac{1}{2} \left( 2\sin\frac{3\alpha-7\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha+7\alpha}{2} \right) = \sin\left(\frac{-4\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{10\alpha}{2}\right) = \sin(-2\alpha)\cos(5\alpha) $.

Так как синус — нечетная функция ($ \sin(-x) = -\sin x $), то:

$ \sin(-2\alpha)\cos(5\alpha) = -\sin(2\alpha)\cos(5\alpha) $.

Полученное выражение равно правой части исходного равенства. Таким образом, справедливость равенства доказана.

Ответ: равенство $ \sin \alpha \cos 2\alpha - \sin 3\alpha \cos 4\alpha = -\sin 2\alpha \cos 5\alpha $ доказано.