Номер 9.63, страница 272 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.5. Формулы для двойных и половинных углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.63, страница 272.

9.63* a) $\sin 2\alpha (\sin 2\alpha + \sin 2\beta) + \cos 2\alpha (\cos 2\alpha + \cos 2\beta) = 2 \cos^2 (\alpha - \beta);$

б) $\sin 2\alpha (\sin 2\alpha - \sin 2\beta) + \cos 2\alpha (\cos 2\alpha - \cos 2\beta) = 2 \sin^2 (\alpha - \beta);$

в) $\cos^3 \alpha \sin \alpha - \sin^3 \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4} \sin 4\alpha;$

г) $2 \sin 2\alpha \sin \alpha + \cos 3\alpha = \cos \alpha;$

д) $1 + 2 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 4 \cos^2 \alpha \cos 2\alpha;$

е) $1 + 2 \cos 3\alpha + \cos 6\alpha = 4 \cos^2 \frac{3\alpha}{2} \cos 3\alpha;$

ж) $\sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3 \alpha;$

з) $\cos 3\alpha = 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha.$

а)

Докажем тождество. Преобразуем левую часть (ЛЧ):

$ЛЧ = \sin 2\alpha (\sin 2\alpha + \sin 2\beta) + \cos 2\alpha (\cos 2\alpha + \cos 2\beta)$

Раскроем скобки:

$ЛЧ = \sin^2 2\alpha + \sin 2\alpha \sin 2\beta + \cos^2 2\alpha + \cos 2\alpha \cos 2\beta$

Сгруппируем слагаемые:

$ЛЧ = (\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha) + (\cos 2\alpha \cos 2\beta + \sin 2\alpha \sin 2\beta)$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу косинуса разности $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$:

$ЛЧ = 1 + \cos(2\alpha - 2\beta) = 1 + \cos(2(\alpha - \beta))$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$ЛЧ = 1 + (2\cos^2(\alpha - \beta) - 1) = 2\cos^2(\alpha - \beta)$

Левая часть равна правой части (ПЧ). Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Докажем тождество. Преобразуем левую часть (ЛЧ):

$ЛЧ = \sin 2\alpha (\sin 2\alpha - \sin 2\beta) + \cos 2\alpha (\cos 2\alpha - \cos 2\beta)$

Раскроем скобки:

$ЛЧ = \sin^2 2\alpha - \sin 2\alpha \sin 2\beta + \cos^2 2\alpha - \cos 2\alpha \cos 2\beta$

Сгруппируем слагаемые:

$ЛЧ = (\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha) - (\cos 2\alpha \cos 2\beta + \sin 2\alpha \sin 2\beta)$

Применим основное тригонометрическое тождество и формулу косинуса разности:

$ЛЧ = 1 - \cos(2\alpha - 2\beta) = 1 - \cos(2(\alpha - \beta))$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$ЛЧ = 1 - (1 - 2\sin^2(\alpha - \beta)) = 2\sin^2(\alpha - \beta)$

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в)

Докажем тождество. Преобразуем левую часть (ЛЧ):

$ЛЧ = \cos^3 \alpha \sin \alpha - \sin^3 \alpha \cos \alpha$

Вынесем общий множитель $\sin \alpha \cos \alpha$ за скобки:

$ЛЧ = \sin \alpha \cos \alpha (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)$

Применим формулы двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ (отсюда $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha$) и $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$:

$ЛЧ = \left(\frac{1}{2} \sin 2\alpha\right) (\cos 2\alpha) = \frac{1}{2} \sin 2\alpha \cos 2\alpha$

Еще раз применим формулу синуса двойного угла для угла $2\alpha$: $\sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha$:

$ЛЧ = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} \sin 4\alpha\right) = \frac{1}{4} \sin 4\alpha$

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

г)

Докажем тождество. Преобразуем левую часть (ЛЧ):

$ЛЧ = 2 \sin 2\alpha \sin \alpha + \cos 3\alpha$

Применим формулу преобразования произведения синусов в сумму: $2 \sin x \sin y = \cos(x-y) - \cos(x+y)$:

$2 \sin 2\alpha \sin \alpha = \cos(2\alpha - \alpha) - \cos(2\alpha + \alpha) = \cos \alpha - \cos 3\alpha$

Подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:

$ЛЧ = (\cos \alpha - \cos 3\alpha) + \cos 3\alpha = \cos \alpha$

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

д)

Докажем тождество. Преобразуем левую часть (ЛЧ):

$ЛЧ = 1 + 2 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha$

Применим формулу косинуса двойного угла для $\cos 4\alpha$: $\cos 4\alpha = \cos(2 \cdot 2\alpha) = 2\cos^2 2\alpha - 1$:

$ЛЧ = 1 + 2 \cos 2\alpha + (2\cos^2 2\alpha - 1) = 2 \cos 2\alpha + 2\cos^2 2\alpha$

Вынесем общий множитель $2 \cos 2\alpha$ за скобки:

$ЛЧ = 2 \cos 2\alpha (1 + \cos 2\alpha)$

Применим формулу понижения степени (или косинуса двойного угла): $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$:

$ЛЧ = 2 \cos 2\alpha (2\cos^2 \alpha) = 4 \cos^2 \alpha \cos 2\alpha$

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

е)

Докажем тождество. Преобразуем левую часть (ЛЧ):

$ЛЧ = 1 + 2 \cos 3\alpha + \cos 6\alpha$

Применим формулу косинуса двойного угла для $\cos 6\alpha$: $\cos 6\alpha = \cos(2 \cdot 3\alpha) = 2\cos^2 3\alpha - 1$:

$ЛЧ = 1 + 2 \cos 3\alpha + (2\cos^2 3\alpha - 1) = 2 \cos 3\alpha + 2\cos^2 3\alpha$

Вынесем общий множитель $2 \cos 3\alpha$ за скобки:

$ЛЧ = 2 \cos 3\alpha (1 + \cos 3\alpha)$

Применим формулу $1 + \cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2}$ для $x=3\alpha$:

$ЛЧ = 2 \cos 3\alpha \left(2\cos^2 \frac{3\alpha}{2}\right) = 4 \cos^2 \frac{3\alpha}{2} \cos 3\alpha$

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

ж)

Докажем формулу тройного угла для синуса. Преобразуем левую часть (ЛЧ):

$ЛЧ = \sin 3\alpha = \sin(2\alpha + \alpha)$

Применим формулу синуса суммы $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$:

$ЛЧ = \sin 2\alpha \cos \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha$

Применим формулы двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$:

$ЛЧ = (2\sin\alpha\cos\alpha)\cos\alpha + (1 - 2\sin^2\alpha)\sin\alpha$

Раскроем скобки и упростим:

$ЛЧ = 2\sin\alpha\cos^2\alpha + \sin\alpha - 2\sin^3\alpha$

Заменим $\cos^2\alpha$ на $1 - \sin^2\alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества:

$ЛЧ = 2\sin\alpha(1 - \sin^2\alpha) + \sin\alpha - 2\sin^3\alpha$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ЛЧ = 2\sin\alpha - 2\sin^3\alpha + \sin\alpha - 2\sin^3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

з)

Докажем формулу тройного угла для косинуса. Преобразуем левую часть (ЛЧ):

$ЛЧ = \cos 3\alpha = \cos(2\alpha + \alpha)$

Применим формулу косинуса суммы $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$:

$ЛЧ = \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha$

Применим формулы двойного угла $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$ и $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$ЛЧ = (2\cos^2\alpha - 1)\cos\alpha - (2\sin\alpha\cos\alpha)\sin\alpha$

Раскроем скобки и упростим:

$ЛЧ = 2\cos^3\alpha - \cos\alpha - 2\sin^2\alpha\cos\alpha$

Заменим $\sin^2\alpha$ на $1 - \cos^2\alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества:

$ЛЧ = 2\cos^3\alpha - \cos\alpha - 2(1 - \cos^2\alpha)\cos\alpha$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ЛЧ = 2\cos^3\alpha - \cos\alpha - (2\cos\alpha - 2\cos^3\alpha) = 2\cos^3\alpha - \cos\alpha - 2\cos\alpha + 2\cos^3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$

Левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.