Номер 9.58, страница 272 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 9. Формулы сложения. 9.5. Формулы для двойных и половинных углов - номер 9.58, страница 272.

Условие.

9.58 Чему равен квадрат:

а) синуса половинного угла;

б) косинуса половинного угла?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) синуса половинного угла

Квадрат синуса половинного угла, то есть $sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$, можно выразить через косинус целого угла $\alpha$. Для этого используется одна из формул косинуса двойного угла, которая связывает косинус угла с квадратом синуса его половины:
$cos(\alpha) = 1 - 2sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$
Эта формула является следствием основной формулы косинуса двойного угла $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$ и основного тригонометрического тождества $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$.
Теперь выразим из этой формулы $sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$:
$2sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 1 - cos(\alpha)$
$sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - cos(\alpha)}{2}$
Эту формулу также называют формулой понижения степени для синуса.
Ответ: $sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - cos(\alpha)}{2}$

б) косинуса половинного угла

Аналогично, для нахождения квадрата косинуса половинного угла $cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ используется другая форма формулы косинуса двойного угла, связывающая косинус угла с квадратом косинуса его половины:
$cos(\alpha) = 2cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - 1$
Выразим из нее $cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)$:
$2cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 1 + cos(\alpha)$
$cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + cos(\alpha)}{2}$
Это формула понижения степени для косинуса.
Ответ: $cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 + cos(\alpha)}{2}$