Номер 9.62, страница 272 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.5. Формулы для двойных и половинных углов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.62, страница 272.

Докажите справедливость равенства (9.62–9.63):

9.62* a) $(\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2};$

б) $(\sin \alpha - \sin \beta)^2 + (\cos \alpha - \cos \beta)^2 = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}.$

а)

Докажем тождество $(\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Сначала раскроем квадраты скобок:
$(\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 = (\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta) + (\cos^2 \alpha + 2\cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta)$.

Сгруппируем слагаемые:
$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$, получаем:
$1 + 1 + 2\cos(\alpha - \beta) = 2 + 2\cos(\alpha - \beta)$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2(1 + \cos(\alpha - \beta))$.

Применим формулу понижения степени (или косинуса двойного угла) $1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x$. Если положить $2x = \alpha - \beta$, то $x = \frac{\alpha - \beta}{2}$. Таким образом:
$2(1 + \cos(\alpha - \beta)) = 2 \cdot \left(2\cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 4\cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Мы преобразовали левую часть равенства к правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Докажем тождество $(\sin \alpha - \sin \beta)^2 + (\cos \alpha - \cos \beta)^2 = 4 \sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Аналогично предыдущему пункту, преобразуем левую часть, раскрыв скобки:
$(\sin \alpha - \sin \beta)^2 + (\cos \alpha - \cos \beta)^2 = (\sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta) + (\cos^2 \alpha - 2\cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta)$.

Сгруппируем слагаемые:
$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$.

Используя основное тригонометрическое тождество и формулу косинуса разности, получаем:
$1 + 1 - 2\cos(\alpha - \beta) = 2 - 2\cos(\alpha - \beta)$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2(1 - \cos(\alpha - \beta))$.

Применим формулу понижения степени (или косинуса двойного угла) $1 - \cos(2x) = 2\sin^2 x$. Если положить $2x = \alpha - \beta$, то $x = \frac{\alpha - \beta}{2}$. Таким образом:
$2(1 - \cos(\alpha - \beta)) = 2 \cdot \left(2\sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 4\sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.