Номер 9.67, страница 274 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 9. Формулы сложения. 9.6*. Произведение синусов и косинусов - номер 9.67, страница 274.

Условие.

9.67 Вычислите:

а) $\sin \frac{11\pi}{24} \sin \frac{5\pi}{24}$;

б) $\cos \frac{13\pi}{24} \cos \frac{7\pi}{24}$;

в) $\sin \frac{7\pi}{24} \cos \frac{\pi}{24}$;

г) $\cos 63^{\circ} \cos 27^{\circ} - \sin 12^{\circ} \sin 48^{\circ}$;

д) $\cos \frac{11\pi}{56} \cos \frac{3\pi}{56} - \sin \frac{11\pi}{42} \sin \frac{17\pi}{42}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для вычисления данного выражения воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму (разность): $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $.
Пусть $ \alpha = \frac{11\pi}{24} $ и $ \beta = \frac{5\pi}{24} $.
Подставим эти значения в формулу: $ \sin \frac{11\pi}{24} \sin \frac{5\pi}{24} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{11\pi}{24} - \frac{5\pi}{24}\right) - \cos\left(\frac{11\pi}{24} + \frac{5\pi}{24}\right)\right) $
$ = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{6\pi}{24}\right) - \cos\left(\frac{16\pi}{24}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} - \cos\frac{2\pi}{3}\right) $.
Значения табличных углов: $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\frac{2\pi}{3} = - \frac{1}{2} $.
Подставим числовые значения в выражение: $ \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2} + 1}{4} $.

б) Применим формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) $.
Пусть $ \alpha = \frac{13\pi}{24} $ и $ \beta = \frac{7\pi}{24} $.
$ \cos \frac{13\pi}{24} \cos \frac{7\pi}{24} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{13\pi}{24} - \frac{7\pi}{24}\right) + \cos\left(\frac{13\pi}{24} + \frac{7\pi}{24}\right)\right) $
$ = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{6\pi}{24}\right) + \cos\left(\frac{20\pi}{24}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + \cos\frac{5\pi}{6}\right) $.
Значения табличных углов: $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставим числовые значения: $ \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{4} $.

в) Применим формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму: $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) $.
Пусть $ \alpha = \frac{7\pi}{24} $ и $ \beta = \frac{\pi}{24} $.
$ \sin \frac{7\pi}{24} \cos \frac{\pi}{24} = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{7\pi}{24} + \frac{\pi}{24}\right) + \sin\left(\frac{7\pi}{24} - \frac{\pi}{24}\right)\right) $
$ = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{8\pi}{24}\right) + \sin\left(\frac{6\pi}{24}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\frac{\pi}{3} + \sin\frac{\pi}{4}\right) $.
Значения табличных углов: $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Подставим числовые значения: $ \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{4} $.

г) Преобразуем каждое произведение в выражении, используя формулы преобразования произведения в сумму.
Для первого слагаемого $ \cos 63^\circ \cos 27^\circ $: $ \cos 63^\circ \cos 27^\circ = \frac{1}{2}(\cos(63^\circ - 27^\circ) + \cos(63^\circ + 27^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 36^\circ + \cos 90^\circ) $.
Так как $ \cos 90^\circ = 0 $, получаем $ \frac{1}{2}\cos 36^\circ $.
Для второго слагаемого $ \sin 12^\circ \sin 48^\circ $: $ \sin 12^\circ \sin 48^\circ = \frac{1}{2}(\cos(48^\circ - 12^\circ) - \cos(48^\circ + 12^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 36^\circ - \cos 60^\circ) $.
Так как $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $, получаем $ \frac{1}{2}\left(\cos 36^\circ - \frac{1}{2}\right) $.
Теперь вычтем второе выражение из первого: $ \frac{1}{2}\cos 36^\circ - \frac{1}{2}\left(\cos 36^\circ - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\cos 36^\circ - \frac{1}{2}\cos 36^\circ + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $.

д) Преобразуем каждое произведение по отдельности.
Для $ \cos \frac{11\pi}{56} \cos \frac{3\pi}{56} $: $ \cos \frac{11\pi}{56} \cos \frac{3\pi}{56} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{11\pi}{56} - \frac{3\pi}{56}\right) + \cos\left(\frac{11\pi}{56} + \frac{3\pi}{56}\right)\right) $
$ = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{8\pi}{56} + \cos\frac{14\pi}{56}\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{7} + \cos\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{7} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) $.
Для $ \sin \frac{11\pi}{42} \sin \frac{17\pi}{42} $: $ \sin \frac{11\pi}{42} \sin \frac{17\pi}{42} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{17\pi}{42} - \frac{11\pi}{42}\right) - \cos\left(\frac{17\pi}{42} + \frac{11\pi}{42}\right)\right) $
$ = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{6\pi}{42} - \cos\frac{28\pi}{42}\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{7} - \cos\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{7} - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{7} + \frac{1}{2}\right) $.
Теперь выполним вычитание: $ \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{7} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{7} + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{7} + \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{7} - \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2} - 1}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2} - 1}{4} $.