Страница 274 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.65 Преобразуйте в сумму или разность:

а) $\cos 3\alpha \cos \alpha$;

б) $\sin 5\alpha \sin 3\alpha$;

в) $\sin 4\alpha \cos 2\alpha$;

г) $\cos \alpha \cos 2\alpha$;

д) $\sin 2\alpha \sin 3\alpha$;

е) $\sin \alpha \cos 4\alpha$.

Для решения данных задач используются формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму или разность:

• $ \cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) + \cos(x+y)) $
• $ \sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y)) $
• $ \sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y)) $

а) Для преобразования произведения $ \cos 3\alpha \cos \alpha $ в сумму используем формулу произведения косинусов. Положим $ x = 3\alpha $ и $ y = \alpha $.

$ \cos 3\alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha - \alpha) + \cos(3\alpha + \alpha)) = \frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 4\alpha) $.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 4\alpha) $.

б) Для преобразования произведения $ \sin 5\alpha \sin 3\alpha $ в разность используем формулу произведения синусов. Положим $ x = 5\alpha $ и $ y = 3\alpha $.

$ \sin 5\alpha \sin 3\alpha = \frac{1}{2}(\cos(5\alpha - 3\alpha) - \cos(5\alpha + 3\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos 2\alpha - \cos 8\alpha) $.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos 2\alpha - \cos 8\alpha) $.

в) Для преобразования произведения $ \sin 4\alpha \cos 2\alpha $ в сумму используем формулу произведения синуса на косинус. Положим $ x = 4\alpha $ и $ y = 2\alpha $.

$ \sin 4\alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2}(\sin(4\alpha + 2\alpha) + \sin(4\alpha - 2\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin 6\alpha + \sin 2\alpha) $.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\sin 6\alpha + \sin 2\alpha) $.

г) Для преобразования $ \cos \alpha \cos 2\alpha $ используем ту же формулу, что и в пункте а). Чтобы избежать отрицательного аргумента у косинуса в промежуточных вычислениях, положим $ x = 2\alpha $ и $ y = \alpha $.

$ \cos \alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha - \alpha) + \cos(2\alpha + \alpha)) = \frac{1}{2}(\cos \alpha + \cos 3\alpha) $.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos \alpha + \cos 3\alpha) $.

д) Для преобразования $ \sin 2\alpha \sin 3\alpha $ применяем ту же формулу, что и в пункте б). Чтобы результат был представлен в удобном виде, положим $ x = 3\alpha $ и $ y = 2\alpha $.

$ \sin 2\alpha \sin 3\alpha = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha - 2\alpha) - \cos(3\alpha + 2\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos \alpha - \cos 5\alpha) $.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\cos \alpha - \cos 5\alpha) $.

е) Для преобразования $ \sin \alpha \cos 4\alpha $ используем формулу произведения синуса на косинус. Положим $ x = \alpha $ и $ y = 4\alpha $.

$ \sin \alpha \cos 4\alpha = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + 4\alpha) + \sin(\alpha - 4\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin 5\alpha + \sin(-3\alpha)) $.

Так как синус — нечетная функция ($ \sin(-z) = -\sin z $), получаем:

$ \frac{1}{2}(\sin 5\alpha + \sin(-3\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin 5\alpha - \sin 3\alpha) $.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\sin 5\alpha - \sin 3\alpha) $.

9.66 Докажите, что:

a) $\sin \frac{9\pi}{28} \cos \frac{5\pi}{28} - \sin \frac{6\pi}{35} \cos \frac{\pi}{35} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{5};$

б) $\cos \frac{3\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16} - \cos \frac{5\pi}{16} \sin \frac{3\pi}{16} = \frac{\sqrt{2}}{4}.$

а) Требуется доказать: $ \sin\frac{9\pi}{28} \cos\frac{5\pi}{28} - \sin\frac{6\pi}{35} \cos\frac{\pi}{35} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sin\frac{\pi}{5} $.

Рассмотрим левую часть равенства. Преобразуем каждое произведение в сумму с помощью формулы $ \sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)) $.

Для первого слагаемого $ \sin\frac{9\pi}{28} \cos\frac{5\pi}{28} $:
$ \alpha = \frac{9\pi}{28} $, $ \beta = \frac{5\pi}{28} $.
$ \alpha + \beta = \frac{9\pi}{28} + \frac{5\pi}{28} = \frac{14\pi}{28} = \frac{\pi}{2} $.
$ \alpha - \beta = \frac{9\pi}{28} - \frac{5\pi}{28} = \frac{4\pi}{28} = \frac{\pi}{7} $.
Следовательно, $ \sin\frac{9\pi}{28} \cos\frac{5\pi}{28} = \frac{1}{2}(\sin\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{7}) = \frac{1}{2}(1 + \sin\frac{\pi}{7}) $.

Для второго слагаемого $ \sin\frac{6\pi}{35} \cos\frac{\pi}{35} $:
$ \alpha = \frac{6\pi}{35} $, $ \beta = \frac{\pi}{35} $.
$ \alpha + \beta = \frac{6\pi}{35} + \frac{\pi}{35} = \frac{7\pi}{35} = \frac{\pi}{5} $.
$ \alpha - \beta = \frac{6\pi}{35} - \frac{\pi}{35} = \frac{5\pi}{35} = \frac{\pi}{7} $.
Следовательно, $ \sin\frac{6\pi}{35} \cos\frac{\pi}{35} = \frac{1}{2}(\sin\frac{\pi}{5} + \sin\frac{\pi}{7}) $.

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:
$ \sin\frac{9\pi}{28} \cos\frac{5\pi}{28} - \sin\frac{6\pi}{35} \cos\frac{\pi}{35} = \frac{1}{2}(1 + \sin\frac{\pi}{7}) - \frac{1}{2}(\sin\frac{\pi}{5} + \sin\frac{\pi}{7}) $
$ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{7} - \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{5} - \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{7} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{5} $.
Левая часть равна правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б) Требуется доказать: $ \cos\frac{3\pi}{16} \cos\frac{\pi}{16} - \cos\frac{5\pi}{16} \sin\frac{3\pi}{16} = \frac{\sqrt{2}}{4} $.

(Примечание: В условии, вероятно, содержится опечатка. Равенство верно, если $ \sin\frac{3\pi}{16} $ заменить на $ \cos\frac{3\pi}{16} $. Ниже приведено доказательство для скорректированного равенства: $ \cos\frac{3\pi}{16} \cos\frac{\pi}{16} - \cos\frac{5\pi}{16} \cos\frac{3\pi}{16} = \frac{\sqrt{2}}{4} $).

Рассмотрим левую часть скорректированного равенства и вынесем общий множитель $ \cos\frac{3\pi}{16} $ за скобки:
$ \cos\frac{3\pi}{16} \cos\frac{\pi}{16} - \cos\frac{5\pi}{16} \cos\frac{3\pi}{16} = \cos\frac{3\pi}{16} (\cos\frac{\pi}{16} - \cos\frac{5\pi}{16}) $.

Применим к выражению в скобках формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:
$ \cos\frac{\pi}{16} - \cos\frac{5\pi}{16} = -2\sin\left(\frac{\frac{\pi}{16}+\frac{5\pi}{16}}{2}\right)\sin\left(\frac{\frac{\pi}{16}-\frac{5\pi}{16}}{2}\right) $
$ = -2\sin\left(\frac{6\pi/16}{2}\right)\sin\left(\frac{-4\pi/16}{2}\right) = -2\sin\left(\frac{3\pi}{16}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{8}\right) $.
Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-x) = -\sin(x) $, получаем:
$ -2\sin\frac{3\pi}{16}(-\sin\frac{\pi}{8}) = 2\sin\frac{3\pi}{16}\sin\frac{\pi}{8} $.

Подставим это обратно в выражение:
$ \cos\frac{3\pi}{16} (2\sin\frac{3\pi}{16}\sin\frac{\pi}{8}) = (2\sin\frac{3\pi}{16}\cos\frac{3\pi}{16})\sin\frac{\pi}{8} $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:
$ (2\sin\frac{3\pi}{16}\cos\frac{3\pi}{16})\sin\frac{\pi}{8} = \sin\left(2 \cdot \frac{3\pi}{16}\right)\sin\frac{\pi}{8} = \sin\frac{3\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8} $.

Применим формулу приведения $ \sin\alpha = \cos(\frac{\pi}{2}-\alpha) $:
$ \sin\frac{3\pi}{8} = \sin\left(\frac{4\pi}{8} - \frac{\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}\right) = \cos\frac{\pi}{8} $.
Выражение принимает вид:
$ \cos\frac{\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8} $.

Снова используем формулу синуса двойного угла:
$ \cos\frac{\pi}{8}\sin\frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} \cdot 2\sin\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{8} = \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{4} $.

Подставляя значение $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:
$ \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} $.
Таким образом, скорректированное равенство доказано.

Ответ: Равенство $ \cos\frac{3\pi}{16} \cos\frac{\pi}{16} - \cos\frac{5\pi}{16} \cos\frac{3\pi}{16} = \frac{\sqrt{2}}{4} $ доказано.

9.67 Вычислите:

а) $\sin \frac{11\pi}{24} \sin \frac{5\pi}{24}$;

б) $\cos \frac{13\pi}{24} \cos \frac{7\pi}{24}$;

в) $\sin \frac{7\pi}{24} \cos \frac{\pi}{24}$;

г) $\cos 63^{\circ} \cos 27^{\circ} - \sin 12^{\circ} \sin 48^{\circ}$;

д) $\cos \frac{11\pi}{56} \cos \frac{3\pi}{56} - \sin \frac{11\pi}{42} \sin \frac{17\pi}{42}$.

а) Для вычисления данного выражения воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму (разность): $ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $.
Пусть $ \alpha = \frac{11\pi}{24} $ и $ \beta = \frac{5\pi}{24} $.
Подставим эти значения в формулу: $ \sin \frac{11\pi}{24} \sin \frac{5\pi}{24} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{11\pi}{24} - \frac{5\pi}{24}\right) - \cos\left(\frac{11\pi}{24} + \frac{5\pi}{24}\right)\right) $
$ = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{6\pi}{24}\right) - \cos\left(\frac{16\pi}{24}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} - \cos\frac{2\pi}{3}\right) $.
Значения табличных углов: $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\frac{2\pi}{3} = - \frac{1}{2} $.
Подставим числовые значения в выражение: $ \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2} + 1}{4} $.

б) Применим формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) $.
Пусть $ \alpha = \frac{13\pi}{24} $ и $ \beta = \frac{7\pi}{24} $.
$ \cos \frac{13\pi}{24} \cos \frac{7\pi}{24} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{13\pi}{24} - \frac{7\pi}{24}\right) + \cos\left(\frac{13\pi}{24} + \frac{7\pi}{24}\right)\right) $
$ = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{6\pi}{24}\right) + \cos\left(\frac{20\pi}{24}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + \cos\frac{5\pi}{6}\right) $.
Значения табличных углов: $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставим числовые значения: $ \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{4} $.

в) Применим формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму: $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) $.
Пусть $ \alpha = \frac{7\pi}{24} $ и $ \beta = \frac{\pi}{24} $.
$ \sin \frac{7\pi}{24} \cos \frac{\pi}{24} = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{7\pi}{24} + \frac{\pi}{24}\right) + \sin\left(\frac{7\pi}{24} - \frac{\pi}{24}\right)\right) $
$ = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{8\pi}{24}\right) + \sin\left(\frac{6\pi}{24}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\frac{\pi}{3} + \sin\frac{\pi}{4}\right) $.
Значения табличных углов: $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Подставим числовые значения: $ \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{4} $.

г) Преобразуем каждое произведение в выражении, используя формулы преобразования произведения в сумму.
Для первого слагаемого $ \cos 63^\circ \cos 27^\circ $: $ \cos 63^\circ \cos 27^\circ = \frac{1}{2}(\cos(63^\circ - 27^\circ) + \cos(63^\circ + 27^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 36^\circ + \cos 90^\circ) $.
Так как $ \cos 90^\circ = 0 $, получаем $ \frac{1}{2}\cos 36^\circ $.
Для второго слагаемого $ \sin 12^\circ \sin 48^\circ $: $ \sin 12^\circ \sin 48^\circ = \frac{1}{2}(\cos(48^\circ - 12^\circ) - \cos(48^\circ + 12^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 36^\circ - \cos 60^\circ) $.
Так как $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $, получаем $ \frac{1}{2}\left(\cos 36^\circ - \frac{1}{2}\right) $.
Теперь вычтем второе выражение из первого: $ \frac{1}{2}\cos 36^\circ - \frac{1}{2}\left(\cos 36^\circ - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\cos 36^\circ - \frac{1}{2}\cos 36^\circ + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $.

д) Преобразуем каждое произведение по отдельности.
Для $ \cos \frac{11\pi}{56} \cos \frac{3\pi}{56} $: $ \cos \frac{11\pi}{56} \cos \frac{3\pi}{56} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{11\pi}{56} - \frac{3\pi}{56}\right) + \cos\left(\frac{11\pi}{56} + \frac{3\pi}{56}\right)\right) $
$ = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{8\pi}{56} + \cos\frac{14\pi}{56}\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{7} + \cos\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{7} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) $.
Для $ \sin \frac{11\pi}{42} \sin \frac{17\pi}{42} $: $ \sin \frac{11\pi}{42} \sin \frac{17\pi}{42} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{17\pi}{42} - \frac{11\pi}{42}\right) - \cos\left(\frac{17\pi}{42} + \frac{11\pi}{42}\right)\right) $
$ = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{6\pi}{42} - \cos\frac{28\pi}{42}\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{7} - \cos\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{7} - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{7} + \frac{1}{2}\right) $.
Теперь выполним вычитание: $ \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{7} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{7} + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{7} + \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{7} - \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2} - 1}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{2} - 1}{4} $.

9.68 Докажите справедливость равенства:

а) $ \cos \alpha \cos 2\alpha - \cos 3\alpha \cos 4\alpha = \sin 2\alpha \sin 5\alpha; $

б) $ \sin \alpha \sin 2\alpha - \sin 3\alpha \sin 4\alpha = -\sin 2\alpha \sin 5\alpha; $

в) $ \sin \alpha \cos 2\alpha - \sin 3\alpha \cos 4\alpha = -\sin 2\alpha \cos 5\alpha. $

а)

Для доказательства равенства $ \cos \alpha \cos 2\alpha - \cos 3\alpha \cos 4\alpha = \sin 2\alpha \sin 5\alpha $ преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A - B) + \cos(A + B)) $.

Применим эту формулу к каждому произведению в левой части, учитывая четность функции косинус $ \cos(-x) = \cos(x) $:

$ \cos \alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - 2\alpha) + \cos(\alpha + 2\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos(-\alpha) + \cos(3\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos\alpha + \cos(3\alpha)) $.

$ \cos 3\alpha \cos 4\alpha = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha - 4\alpha) + \cos(3\alpha + 4\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos(-\alpha) + \cos(7\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos\alpha + \cos(7\alpha)) $.

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства и упростим:

$ \frac{1}{2}(\cos\alpha + \cos(3\alpha)) - \frac{1}{2}(\cos\alpha + \cos(7\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos\alpha + \cos 3\alpha - \cos\alpha - \cos 7\alpha) = \frac{1}{2}(\cos 3\alpha - \cos 7\alpha) $.

Далее преобразуем разность косинусов в произведение, используя формулу: $ \cos X - \cos Y = -2\sin\frac{X+Y}{2}\sin\frac{X-Y}{2} $.

$ \frac{1}{2}(\cos 3\alpha - \cos 7\alpha) = \frac{1}{2} \left( -2\sin\frac{3\alpha+7\alpha}{2}\sin\frac{3\alpha-7\alpha}{2} \right) = -\sin\left(\frac{10\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{-4\alpha}{2}\right) = -\sin(5\alpha)\sin(-2\alpha) $.

Так как синус — нечетная функция ($ \sin(-x) = -\sin x $), то:

$ -\sin(5\alpha)(-\sin(2\alpha)) = \sin 5\alpha \sin 2\alpha $.

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Таким образом, справедливость равенства доказана.

Ответ: равенство $ \cos \alpha \cos 2\alpha - \cos 3\alpha \cos 4\alpha = \sin 2\alpha \sin 5\alpha $ доказано.

б)

Для доказательства равенства $ \sin \alpha \sin 2\alpha - \sin 3\alpha \sin 4\alpha = -\sin 2\alpha \sin 5\alpha $ преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму: $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B)) $.

Применим эту формулу к каждому произведению в левой части:

$ \sin \alpha \sin 2\alpha = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-2\alpha) - \cos(\alpha+2\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos(-\alpha) - \cos(3\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos\alpha - \cos(3\alpha)) $.

$ \sin 3\alpha \sin 4\alpha = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha-4\alpha) - \cos(3\alpha+4\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos(-\alpha) - \cos(7\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos\alpha - \cos(7\alpha)) $.

Подставим полученные выражения в левую часть и упростим:

$ \frac{1}{2}(\cos\alpha - \cos(3\alpha)) - \frac{1}{2}(\cos\alpha - \cos(7\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos\alpha - \cos 3\alpha - \cos\alpha + \cos 7\alpha) = \frac{1}{2}(\cos 7\alpha - \cos 3\alpha) $.

Теперь преобразуем разность косинусов в произведение по формуле: $ \cos X - \cos Y = -2\sin\frac{X+Y}{2}\sin\frac{X-Y}{2} $.

$ \frac{1}{2}(\cos 7\alpha - \cos 3\alpha) = \frac{1}{2} \left( -2\sin\frac{7\alpha+3\alpha}{2}\sin\frac{7\alpha-3\alpha}{2} \right) = -\sin\left(\frac{10\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{4\alpha}{2}\right) = -\sin(5\alpha)\sin(2\alpha) $.

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, справедливость равенства доказана.

Ответ: равенство $ \sin \alpha \sin 2\alpha - \sin 3\alpha \sin 4\alpha = -\sin 2\alpha \sin 5\alpha $ доказано.

в)

Для доказательства равенства $ \sin \alpha \cos 2\alpha - \sin 3\alpha \cos 4\alpha = -\sin 2\alpha \cos 5\alpha $ преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулой преобразования произведения синуса на косинус в сумму: $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A-B) + \sin(A+B)) $.

Применим эту формулу к каждому произведению в левой части:

$ \sin \alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2}(\sin(\alpha-2\alpha) + \sin(\alpha+2\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin(-\alpha) + \sin(3\alpha)) = \frac{1}{2}(-\sin\alpha + \sin(3\alpha)) $.

$ \sin 3\alpha \cos 4\alpha = \frac{1}{2}(\sin(3\alpha-4\alpha) + \sin(3\alpha+4\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin(-\alpha) + \sin(7\alpha)) = \frac{1}{2}(-\sin\alpha + \sin(7\alpha)) $.

Подставим полученные выражения в левую часть и упростим:

$ \frac{1}{2}(-\sin\alpha + \sin(3\alpha)) - \frac{1}{2}(-\sin\alpha + \sin(7\alpha)) = \frac{1}{2}(-\sin\alpha + \sin 3\alpha + \sin\alpha - \sin 7\alpha) = \frac{1}{2}(\sin 3\alpha - \sin 7\alpha) $.

Теперь преобразуем разность синусов в произведение по формуле: $ \sin X - \sin Y = 2\sin\frac{X-Y}{2}\cos\frac{X+Y}{2} $.

$ \frac{1}{2}(\sin 3\alpha - \sin 7\alpha) = \frac{1}{2} \left( 2\sin\frac{3\alpha-7\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha+7\alpha}{2} \right) = \sin\left(\frac{-4\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{10\alpha}{2}\right) = \sin(-2\alpha)\cos(5\alpha) $.

Так как синус — нечетная функция ($ \sin(-x) = -\sin x $), то:

$ \sin(-2\alpha)\cos(5\alpha) = -\sin(2\alpha)\cos(5\alpha) $.

Полученное выражение равно правой части исходного равенства. Таким образом, справедливость равенства доказана.

Ответ: равенство $ \sin \alpha \cos 2\alpha - \sin 3\alpha \cos 4\alpha = -\sin 2\alpha \cos 5\alpha $ доказано.

Докажите, что если $\alpha, \beta, \gamma$ — углы треугольника, то выполняется равенство (9.69—9.71):

9.69* а) $4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} = \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma;$

б) $4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} = \sin \alpha + \sin \beta - \sin \gamma;$

в) $4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} + 1 = \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma;$

г) $4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} - 1 = \cos \alpha + \cos \beta - \cos \gamma.$

Поскольку $\alpha, \beta, \gamma$ — углы треугольника, то выполняется основное соотношение: $\alpha + \beta + \gamma = \pi$. Из этого следуют важные для доказательства тождества, такие как $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$, что означает $\sin\frac{\alpha + \beta}{2} = \cos\frac{\gamma}{2}$ и $\cos\frac{\alpha + \beta}{2} = \sin\frac{\gamma}{2}$ (и аналогичные для других пар углов). Также будем использовать тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение и формулы двойного угла. Будем доказывать каждое равенство, преобразуя одну из его частей к виду другой.

а) Докажем равенство $4 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} \cos\frac{\gamma}{2} = \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma$.
Преобразуем правую часть. Используем формулу суммы синусов для первых двух слагаемых и формулу синуса двойного угла для третьего:
$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = ( \sin \alpha + \sin \beta ) + \sin \gamma = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + 2 \sin\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\gamma}{2}$.
Используя соотношение $\sin\frac{\alpha + \beta}{2} = \cos\frac{\gamma}{2}$, получаем:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + 2 \sin\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\gamma}{2}$.
Вынесем общий множитель $2 \cos\frac{\gamma}{2}$ за скобки:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \left( \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \sin\frac{\gamma}{2} \right)$.
Теперь используем соотношение $\sin\frac{\gamma}{2} = \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \left( \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \right)$.
Применим формулу суммы косинусов к выражению в скобках:
$\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos\frac{\alpha+\beta}{2} = 2 \cos\left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}+\frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\right) = 2 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\left(-\frac{\beta}{2}\right) = 2 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2}$.
Подставляя это обратно, получаем:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \left( 2 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} \right) = 4 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} \cos\frac{\gamma}{2}$.
Таким образом, правая часть тождественно равна левой. Равенство доказано.
Ответ:

б) Докажем равенство $4 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2} \cos\frac{\gamma}{2} = \sin \alpha + \sin \beta - \sin \gamma$.
Преобразуем правую часть:
$\sin \alpha + \sin \beta - \sin \gamma = \left(2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}\right) - \left(2 \sin\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\gamma}{2}\right)$.
Заменим $\sin\frac{\alpha+\beta}{2}$ на $\cos\frac{\gamma}{2}$:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} - 2 \sin\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\gamma}{2} = 2 \cos\frac{\gamma}{2} \left( \cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \sin\frac{\gamma}{2} \right)$.
Заменим $\sin\frac{\gamma}{2}$ на $\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \left( \cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \right)$.
Применим формулу разности косинусов к выражению в скобках:
$\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2} = -2 \sin\left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}+\frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\right) \sin\left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\right) = -2 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\left(-\frac{\beta}{2}\right) = 2 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2}$.
Подставляя это обратно, получаем:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \left( 2 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2} \right) = 4 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2} \cos\frac{\gamma}{2}$.
Равенство доказано.
Ответ:

в) Докажем равенство $4 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2} \sin\frac{\gamma}{2} + 1 = \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma$.
Преобразуем правую часть. Используем формулу суммы косинусов и формулу косинуса двойного угла $\cos\gamma = 1 - 2\sin^2\frac{\gamma}{2}$:
$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \left(2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}\right) + \left(1 - 2\sin^2\frac{\gamma}{2}\right)$.
Используя соотношение $\cos\frac{\alpha+\beta}{2} = \sin\frac{\gamma}{2}$, получаем:
$2 \sin\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + 1 - 2\sin^2\frac{\gamma}{2}$.
Перегруппируем слагаемые и вынесем общий множитель $2\sin\frac{\gamma}{2}$:
$1 + 2 \sin\frac{\gamma}{2} \left( \cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \sin\frac{\gamma}{2} \right)$.
Снова используем $\sin\frac{\gamma}{2} = \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:
$1 + 2 \sin\frac{\gamma}{2} \left( \cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \right)$.
Как мы показали в пункте б), выражение в скобках равно $2 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2}$.
Подставляя, получаем:
$1 + 2 \sin\frac{\gamma}{2} \left( 2 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2} \right) = 1 + 4 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2} \sin\frac{\gamma}{2}$.
Равенство доказано.
Ответ:

г) Докажем равенство $4 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} \sin\frac{\gamma}{2} - 1 = \cos \alpha + \cos \beta - \cos \gamma$.
Преобразуем правую часть. Так как $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$, то $\cos\gamma = -\cos(\alpha+\beta)$.
$\cos \alpha + \cos \beta - \cos \gamma = \cos \alpha + \cos \beta + \cos(\alpha+\beta)$.
Применим формулу суммы косинусов к первым двум слагаемым и формулу косинуса двойного угла $\cos(\alpha+\beta) = 2\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2} - 1$ к третьему:
$\left(2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}\right) + \left(2\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2} - 1\right)$.
Вынесем общий множитель $2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$ за скобки:
$2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \left( \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \right) - 1$.
Как мы показали в пункте а), выражение в скобках равно $2 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2}$.
Подставляя, получаем:
$2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \left( 2 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} \right) - 1 = 4 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} - 1$.
Наконец, используем соотношение $\cos\frac{\alpha+\beta}{2} = \sin\frac{\gamma}{2}$:
$4 \sin\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} - 1 = 4 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} \sin\frac{\gamma}{2} - 1$.
Равенство доказано.
Ответ: