Номер 9.69, страница 274 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 9. Формулы сложения. 9.6*. Произведение синусов и косинусов - номер 9.69, страница 274.

Условие.

Докажите, что если $\alpha, \beta, \gamma$ — углы треугольника, то выполняется равенство (9.69—9.71):

9.69* а) $4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} = \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma;$

б) $4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2} = \sin \alpha + \sin \beta - \sin \gamma;$

в) $4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} + 1 = \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma;$

г) $4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} - 1 = \cos \alpha + \cos \beta - \cos \gamma.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Поскольку $\alpha, \beta, \gamma$ — углы треугольника, то выполняется основное соотношение: $\alpha + \beta + \gamma = \pi$. Из этого следуют важные для доказательства тождества, такие как $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$, что означает $\sin\frac{\alpha + \beta}{2} = \cos\frac{\gamma}{2}$ и $\cos\frac{\alpha + \beta}{2} = \sin\frac{\gamma}{2}$ (и аналогичные для других пар углов). Также будем использовать тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение и формулы двойного угла. Будем доказывать каждое равенство, преобразуя одну из его частей к виду другой.

а) Докажем равенство $4 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} \cos\frac{\gamma}{2} = \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma$.
Преобразуем правую часть. Используем формулу суммы синусов для первых двух слагаемых и формулу синуса двойного угла для третьего:
$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = ( \sin \alpha + \sin \beta ) + \sin \gamma = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + 2 \sin\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\gamma}{2}$.
Используя соотношение $\sin\frac{\alpha + \beta}{2} = \cos\frac{\gamma}{2}$, получаем:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + 2 \sin\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\gamma}{2}$.
Вынесем общий множитель $2 \cos\frac{\gamma}{2}$ за скобки:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \left( \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \sin\frac{\gamma}{2} \right)$.
Теперь используем соотношение $\sin\frac{\gamma}{2} = \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \left( \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \right)$.
Применим формулу суммы косинусов к выражению в скобках:
$\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos\frac{\alpha+\beta}{2} = 2 \cos\left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}+\frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\right) = 2 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\left(-\frac{\beta}{2}\right) = 2 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2}$.
Подставляя это обратно, получаем:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \left( 2 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} \right) = 4 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} \cos\frac{\gamma}{2}$.
Таким образом, правая часть тождественно равна левой. Равенство доказано.
Ответ:

б) Докажем равенство $4 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2} \cos\frac{\gamma}{2} = \sin \alpha + \sin \beta - \sin \gamma$.
Преобразуем правую часть:
$\sin \alpha + \sin \beta - \sin \gamma = \left(2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}\right) - \left(2 \sin\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\gamma}{2}\right)$.
Заменим $\sin\frac{\alpha+\beta}{2}$ на $\cos\frac{\gamma}{2}$:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} - 2 \sin\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\gamma}{2} = 2 \cos\frac{\gamma}{2} \left( \cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \sin\frac{\gamma}{2} \right)$.
Заменим $\sin\frac{\gamma}{2}$ на $\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \left( \cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \right)$.
Применим формулу разности косинусов к выражению в скобках:
$\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2} = -2 \sin\left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}+\frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\right) \sin\left(\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\right) = -2 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\left(-\frac{\beta}{2}\right) = 2 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2}$.
Подставляя это обратно, получаем:
$2 \cos\frac{\gamma}{2} \left( 2 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2} \right) = 4 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2} \cos\frac{\gamma}{2}$.
Равенство доказано.
Ответ:

в) Докажем равенство $4 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2} \sin\frac{\gamma}{2} + 1 = \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma$.
Преобразуем правую часть. Используем формулу суммы косинусов и формулу косинуса двойного угла $\cos\gamma = 1 - 2\sin^2\frac{\gamma}{2}$:
$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \left(2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}\right) + \left(1 - 2\sin^2\frac{\gamma}{2}\right)$.
Используя соотношение $\cos\frac{\alpha+\beta}{2} = \sin\frac{\gamma}{2}$, получаем:
$2 \sin\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + 1 - 2\sin^2\frac{\gamma}{2}$.
Перегруппируем слагаемые и вынесем общий множитель $2\sin\frac{\gamma}{2}$:
$1 + 2 \sin\frac{\gamma}{2} \left( \cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \sin\frac{\gamma}{2} \right)$.
Снова используем $\sin\frac{\gamma}{2} = \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:
$1 + 2 \sin\frac{\gamma}{2} \left( \cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \right)$.
Как мы показали в пункте б), выражение в скобках равно $2 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2}$.
Подставляя, получаем:
$1 + 2 \sin\frac{\gamma}{2} \left( 2 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2} \right) = 1 + 4 \sin\frac{\alpha}{2} \sin\frac{\beta}{2} \sin\frac{\gamma}{2}$.
Равенство доказано.
Ответ:

г) Докажем равенство $4 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} \sin\frac{\gamma}{2} - 1 = \cos \alpha + \cos \beta - \cos \gamma$.
Преобразуем правую часть. Так как $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$, то $\cos\gamma = -\cos(\alpha+\beta)$.
$\cos \alpha + \cos \beta - \cos \gamma = \cos \alpha + \cos \beta + \cos(\alpha+\beta)$.
Применим формулу суммы косинусов к первым двум слагаемым и формулу косинуса двойного угла $\cos(\alpha+\beta) = 2\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2} - 1$ к третьему:
$\left(2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}\right) + \left(2\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2} - 1\right)$.
Вынесем общий множитель $2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$ за скобки:
$2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \left( \cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \right) - 1$.
Как мы показали в пункте а), выражение в скобках равно $2 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2}$.
Подставляя, получаем:
$2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \left( 2 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} \right) - 1 = 4 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} - 1$.
Наконец, используем соотношение $\cos\frac{\alpha+\beta}{2} = \sin\frac{\gamma}{2}$:
$4 \sin\frac{\gamma}{2} \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} - 1 = 4 \cos\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} \sin\frac{\gamma}{2} - 1$.
Равенство доказано.
Ответ: