Номер 9.71, страница 275 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.6*. Произведение синусов и косинусов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.71, страница 275.

9.71* a) $\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma;$

б) $\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = -1 - 4 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma.$

Данные тождества обычно доказываются при условии, что сумма углов $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ (например, если $\alpha, \beta, \gamma$ являются углами треугольника). Без этого условия равенства, в общем случае, неверны. Ниже приведено доказательство, основанное на этом предположении.

а)

Докажем тождество $\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$.
Начнем с преобразования левой части равенства. Сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$:
$\sin 2\alpha + \sin 2\beta = 2 \sin\frac{2\alpha+2\beta}{2} \cos\frac{2\alpha-2\beta}{2} = 2 \sin(\alpha+\beta) \cos(\alpha-\beta)$.
Теперь все выражение выглядит так:
$2 \sin(\alpha+\beta) \cos(\alpha-\beta) + \sin 2\gamma$.
Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ следует, что $\alpha + \beta = \pi - \gamma$. Используя формулу приведения, получаем $\sin(\alpha+\beta) = \sin(\pi - \gamma) = \sin \gamma$.
Подставим это в наше выражение:
$2 \sin \gamma \cos(\alpha-\beta) + \sin 2\gamma$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2\gamma = 2 \sin \gamma \cos \gamma$:
$2 \sin \gamma \cos(\alpha-\beta) + 2 \sin \gamma \cos \gamma$.
Вынесем общий множитель $2 \sin \gamma$ за скобки:
$2 \sin \gamma (\cos(\alpha-\beta) + \cos \gamma)$.
Теперь преобразуем $\cos \gamma$. Из условия $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$ следует, что $\cos \gamma = \cos(\pi - (\alpha+\beta)) = -\cos(\alpha+\beta)$.
Подставим это в скобки:
$2 \sin \gamma (\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$.
Выражение в скобках можно упростить, используя формулу для разности косинусов: $\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) = 2 \sin\alpha \sin\beta$.
В итоге получаем:
$2 \sin \gamma (2 \sin\alpha\sin\beta) = 4 \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma$.
Мы преобразовали левую часть к правой, таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество $\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$ доказано при условии $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.

б)

Докажем тождество $\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = -1 - 4 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$.
Начнем с преобразования левой части. Сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$:
$\cos 2\alpha + \cos 2\beta = 2 \cos\frac{2\alpha+2\beta}{2} \cos\frac{2\alpha-2\beta}{2} = 2 \cos(\alpha+\beta) \cos(\alpha-\beta)$.
Выражение принимает вид:
$2 \cos(\alpha+\beta) \cos(\alpha-\beta) + \cos 2\gamma$.
Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ имеем $\alpha + \beta = \pi - \gamma$, откуда $\cos(\alpha+\beta) = \cos(\pi - \gamma) = -\cos \gamma$.
Подставим это в выражение:
$2 (-\cos \gamma) \cos(\alpha-\beta) + \cos 2\gamma = -2 \cos \gamma \cos(\alpha-\beta) + \cos 2\gamma$.
Применим формулу косинуса двойного угла в виде $\cos 2\gamma = 2 \cos^2 \gamma - 1$:
$-2 \cos \gamma \cos(\alpha-\beta) + 2 \cos^2 \gamma - 1$.
Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель $2 \cos \gamma$ за скобки:
$2 \cos \gamma (\cos \gamma - \cos(\alpha-\beta)) - 1$.
Теперь заменим $\cos \gamma$ внутри скобок, используя $\cos \gamma = -\cos(\alpha+\beta)$:
$2 \cos \gamma (-\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)) - 1$.
Вынесем знак минус из скобок:
$-2 \cos \gamma (\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)) - 1$.
Выражение в скобках можно упростить, используя формулу для суммы косинусов: $\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) = 2 \cos\alpha \cos\beta$.
В итоге получаем:
$-2 \cos \gamma (2 \cos\alpha \cos\beta) - 1 = -4 \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma - 1$.
Мы преобразовали левую часть к правой, таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество $\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = -1 - 4 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ доказано при условии $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.