Номер 9.78, страница 279 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.7*. Формулы для тангенсов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.78, страница 279.

9.78* Докажите справедливость равенства:

a) $\text{tg} \frac{\pi}{16} + \text{tg} \frac{3\pi}{16} + \text{tg} \frac{\pi}{16} \text{tg} \frac{3\pi}{16} = 1;$

б) $\text{tg} \frac{7\pi}{8} - \text{tg} \frac{5\pi}{8} - \text{tg} \frac{7\pi}{8} \text{tg} \frac{5\pi}{8} = 1.$

а)

Для доказательства данного равенства воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов: $ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha\text{tg}\beta} $.

Рассмотрим сумму углов $ \frac{\pi}{16} $ и $ \frac{3\pi}{16} $: $ \frac{\pi}{16} + \frac{3\pi}{16} = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4} $.

Тангенс этого угла имеет известное значение: $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $.

Теперь применим формулу тангенса суммы для углов $ \alpha = \frac{\pi}{16} $ и $ \beta = \frac{3\pi}{16} $: $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{16} + \frac{3\pi}{16}\right) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{16} + \text{tg}\frac{3\pi}{16}}{1 - \text{tg}\frac{\pi}{16}\text{tg}\frac{3\pi}{16}} $.

Поскольку $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{16} + \frac{3\pi}{16}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $, мы можем записать: $ 1 = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{16} + \text{tg}\frac{3\pi}{16}}{1 - \text{tg}\frac{\pi}{16}\text{tg}\frac{3\pi}{16}} $.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $ \left(1 - \text{tg}\frac{\pi}{16}\text{tg}\frac{3\pi}{16}\right) $: $ 1 \cdot \left(1 - \text{tg}\frac{\pi}{16}\text{tg}\frac{3\pi}{16}\right) = \text{tg}\frac{\pi}{16} + \text{tg}\frac{3\pi}{16} $.

$ 1 - \text{tg}\frac{\pi}{16}\text{tg}\frac{3\pi}{16} = \text{tg}\frac{\pi}{16} + \text{tg}\frac{3\pi}{16} $.

Перенеся слагаемое $ \left(-\text{tg}\frac{\pi}{16}\text{tg}\frac{3\pi}{16}\right) $ в правую часть, получаем требуемое равенство: $ 1 = \text{tg}\frac{\pi}{16} + \text{tg}\frac{3\pi}{16} + \text{tg}\frac{\pi}{16}\text{tg}\frac{3\pi}{16} $. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Для доказательства этого равенства воспользуемся формулой тангенса разности двух углов: $ \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha\text{tg}\beta} $.

Рассмотрим разность углов $ \frac{7\pi}{8} $ и $ \frac{5\pi}{8} $: $ \frac{7\pi}{8} - \frac{5\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} $.

Тангенс этого угла равен: $ \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $.

Применим формулу тангенса разности для углов $ \alpha = \frac{7\pi}{8} $ и $ \beta = \frac{5\pi}{8} $: $ \text{tg}\left(\frac{7\pi}{8} - \frac{5\pi}{8}\right) = \frac{\text{tg}\frac{7\pi}{8} - \text{tg}\frac{5\pi}{8}}{1 + \text{tg}\frac{7\pi}{8}\text{tg}\frac{5\pi}{8}} $.

Так как $ \text{tg}\left(\frac{7\pi}{8} - \frac{5\pi}{8}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $, получаем: $ 1 = \frac{\text{tg}\frac{7\pi}{8} - \text{tg}\frac{5\pi}{8}}{1 + \text{tg}\frac{7\pi}{8}\text{tg}\frac{5\pi}{8}} $.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $ \left(1 + \text{tg}\frac{7\pi}{8}\text{tg}\frac{5\pi}{8}\right) $: $ 1 \cdot \left(1 + \text{tg}\frac{7\pi}{8}\text{tg}\frac{5\pi}{8}\right) = \text{tg}\frac{7\pi}{8} - \text{tg}\frac{5\pi}{8} $.

$ 1 + \text{tg}\frac{7\pi}{8}\text{tg}\frac{5\pi}{8} = \text{tg}\frac{7\pi}{8} - \text{tg}\frac{5\pi}{8} $.

Перенеся слагаемое $ \left(\text{tg}\frac{7\pi}{8}\text{tg}\frac{5\pi}{8}\right) $ в правую часть, получаем исходное равенство: $ 1 = \text{tg}\frac{7\pi}{8} - \text{tg}\frac{5\pi}{8} - \text{tg}\frac{7\pi}{8}\text{tg}\frac{5\pi}{8} $. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.