Номер 9.79, страница 279 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.7*. Формулы для тангенсов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.79, страница 279.

9.79 Выразите через котангенс угла $\alpha$, такого, что $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}:

а) $\tan \frac{\pi}{3};$

б) $\tan \frac{5\pi}{9};$

в) $\tan \frac{4\pi}{7};$

г) $\tan \frac{3\pi}{5}.$

Основная идея решения — использовать формулы приведения для тангенса, чтобы перейти к котангенсу. Основные формулы, которые нам понадобятся:

• $\text{tg}(\beta) = \text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \beta)$
• $\text{tg}(\beta) = \text{tg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$, где $\alpha = \beta - \frac{\pi}{2}$

Цель — найти такой угол $\alpha$, который удовлетворяет условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

а)

Нужно выразить $\text{tg}\frac{\pi}{3}$. Угол $\beta = \frac{\pi}{3}$ находится в первой четверти ($0 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$), поэтому его тангенс положителен. Котангенс искомого угла $\alpha$ из промежутка $(0, \frac{\pi}{4})$ также положителен, поэтому итоговое выражение будет иметь вид $\text{ctg}\alpha$.

Воспользуемся формулой приведения $\text{tg}\beta = \text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \beta)$.

Пусть $\beta = \frac{\pi}{3}$, тогда искомый угол $\alpha$ равен:

$\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - 2\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденный угол $\alpha = \frac{\pi}{6}$ условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

Сравним $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{4}$. Так как $4 < 6$, то $\frac{1}{6} < \frac{1}{4}$, следовательно, $\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{4}$. Неравенство $0 < \frac{\pi}{6}$ также очевидно верно. Условие выполнено.

Таким образом, мы можем записать: $\text{tg}\frac{\pi}{3} = \text{ctg}\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\text{ctg}\frac{\pi}{6}$.

б)

Нужно выразить $\text{tg}\frac{5\pi}{9}$. Угол $\beta = \frac{5\pi}{9}$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} = \frac{4.5\pi}{9} < \frac{5\pi}{9} < \pi = \frac{9\pi}{9}$. Тангенс во второй четверти отрицателен.

Так как котангенс угла $\alpha$ из промежутка $(0, \frac{\pi}{4})$ положителен, то итоговое выражение должно иметь вид $-\text{ctg}\alpha$.

Воспользуемся формулой приведения $\text{tg}\beta = \text{tg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\text{ctg}\alpha$.

Найдем угол $\alpha$ из соотношения $\beta = \frac{\pi}{2} + \alpha$:

$\alpha = \beta - \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{9} - \frac{\pi}{2} = \frac{10\pi - 9\pi}{18} = \frac{\pi}{18}$.

Проверим, удовлетворяет ли $\alpha = \frac{\pi}{18}$ условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

Сравним $\frac{\pi}{18}$ и $\frac{\pi}{4}$. Так как $4 < 18$, то $\frac{1}{18} < \frac{1}{4}$, следовательно, $\frac{\pi}{18} < \frac{\pi}{4}$. Неравенство $0 < \frac{\pi}{18}$ верно. Условие выполнено.

Следовательно, $\text{tg}\frac{5\pi}{9} = \text{tg}(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{18}) = -\text{ctg}\frac{\pi}{18}$.

Ответ: $-\text{ctg}\frac{\pi}{18}$.

в)

Нужно выразить $\text{tg}\frac{4\pi}{7}$. Угол $\beta = \frac{4\pi}{7}$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} = \frac{3.5\pi}{7} < \frac{4\pi}{7} < \pi = \frac{7\pi}{7}$. Тангенс этого угла отрицателен.

Итоговое выражение должно иметь вид $-\text{ctg}\alpha$, где $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

Воспользуемся формулой $\text{tg}\beta = -\text{ctg}(\beta - \frac{\pi}{2})$.

Вычислим искомый угол $\alpha$:

$\alpha = \beta - \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{7} - \frac{\pi}{2} = \frac{8\pi - 7\pi}{14} = \frac{\pi}{14}$.

Проверим, удовлетворяет ли $\alpha = \frac{\pi}{14}$ условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

Сравним $\frac{\pi}{14}$ и $\frac{\pi}{4}$. Так как $4 < 14$, то $\frac{1}{14} < \frac{1}{4}$, следовательно, $\frac{\pi}{14} < \frac{\pi}{4}$. Неравенство $0 < \frac{\pi}{14}$ верно. Условие выполнено.

Следовательно, $\text{tg}\frac{4\pi}{7} = -\text{ctg}\frac{\pi}{14}$.

Ответ: $-\text{ctg}\frac{\pi}{14}$.

г)

Нужно выразить $\text{tg}\frac{3\pi}{5}$. Угол $\beta = \frac{3\pi}{5}$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} = \frac{2.5\pi}{5} < \frac{3\pi}{5} < \pi = \frac{5\pi}{5}$. Тангенс этого угла отрицателен.

Итоговое выражение должно иметь вид $-\text{ctg}\alpha$, где $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

Воспользуемся формулой $\text{tg}\beta = -\text{ctg}(\beta - \frac{\pi}{2})$.

Вычислим искомый угол $\alpha$:

$\alpha = \beta - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{5} - \frac{\pi}{2} = \frac{6\pi - 5\pi}{10} = \frac{\pi}{10}$.

Проверим, удовлетворяет ли $\alpha = \frac{\pi}{10}$ условию $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

Сравним $\frac{\pi}{10}$ и $\frac{\pi}{4}$. Так как $4 < 10$, то $\frac{1}{10} < \frac{1}{4}$, следовательно, $\frac{\pi}{10} < \frac{\pi}{4}$. Неравенство $0 < \frac{\pi}{10}$ верно. Условие выполнено.

Следовательно, $\text{tg}\frac{3\pi}{5} = -\text{ctg}\frac{\pi}{10}$.

Ответ: $-\text{ctg}\frac{\pi}{10}$.