Номер 9.81, страница 279 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.7*. Формулы для тангенсов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.81, страница 279.

9.81 Вычислите $tg 2\alpha$, если:

а) $tg \alpha = \frac{1}{7}$;

б) $tg \alpha = -\frac{1}{4}$;

в) $tg \alpha = 3$;

г) $tg \alpha = -4$;

д) $sin \alpha = \frac{3}{5}$, $cos \alpha = -\frac{4}{5}$;

е) $sin \alpha = -\frac{5}{13}$, $cos \alpha = \frac{12}{13}$.

Для решения всех пунктов задачи используется формула тангенса двойного угла:$ \tg 2\alpha = \frac{2 \tg \alpha}{1 - \tg^2 \alpha} $

а) Дано $ \tg \alpha = \frac{1}{7} $.
Подставляем это значение в формулу тангенса двойного угла:$ \tg 2\alpha = \frac{2 \cdot \frac{1}{7}}{1 - (\frac{1}{7})^2} = \frac{\frac{2}{7}}{1 - \frac{1}{49}} = \frac{\frac{2}{7}}{\frac{49-1}{49}} = \frac{\frac{2}{7}}{\frac{48}{49}} = \frac{2}{7} \cdot \frac{49}{48} = \frac{2 \cdot 7}{48} = \frac{14}{48} = \frac{7}{24} $.
Ответ: $ \frac{7}{24} $

б) Дано $ \tg \alpha = -\frac{1}{4} $.
Подставляем в формулу:$ \tg 2\alpha = \frac{2 \cdot (-\frac{1}{4})}{1 - (-\frac{1}{4})^2} = \frac{-\frac{2}{4}}{1 - \frac{1}{16}} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{16-1}{16}} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{15}{16}} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{16}{15} = -\frac{16}{30} = -\frac{8}{15} $.
Ответ: $ -\frac{8}{15} $

в) Дано $ \tg \alpha = 3 $.
Подставляем в формулу:$ \tg 2\alpha = \frac{2 \cdot 3}{1 - 3^2} = \frac{6}{1 - 9} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4} $.
Ответ: $ -\frac{3}{4} $

г) Дано $ \tg \alpha = -4 $.
Подставляем в формулу:$ \tg 2\alpha = \frac{2 \cdot (-4)}{1 - (-4)^2} = \frac{-8}{1 - 16} = \frac{-8}{-15} = \frac{8}{15} $.
Ответ: $ \frac{8}{15} $

д) Дано $ \sin \alpha = \frac{3}{5} $ и $ \cos \alpha = -\frac{4}{5} $.
Сначала найдем $ \tg \alpha $ по определению: $ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.
$ \tg \alpha = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4} $.
Теперь используем формулу тангенса двойного угла:$ \tg 2\alpha = \frac{2 \cdot (-\frac{3}{4})}{1 - (-\frac{3}{4})^2} = \frac{-\frac{6}{4}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{16-9}{16}} = \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = -\frac{3 \cdot 8}{7} = -\frac{24}{7} $.
Ответ: $ -\frac{24}{7} $

е) Дано $ \sin \alpha = -\frac{5}{13} $ и $ \cos \alpha = \frac{12}{13} $.
Сначала найдем $ \tg \alpha $:$ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = -\frac{5}{12} $.
Теперь используем формулу тангенса двойного угла:$ \tg 2\alpha = \frac{2 \cdot (-\frac{5}{12})}{1 - (-\frac{5}{12})^2} = \frac{-\frac{10}{12}}{1 - \frac{25}{144}} = \frac{-\frac{5}{6}}{\frac{144-25}{144}} = \frac{-\frac{5}{6}}{\frac{119}{144}} = -\frac{5}{6} \cdot \frac{144}{119} = -\frac{5 \cdot 24}{119} = -\frac{120}{119} $.
Ответ: $ -\frac{120}{119} $