Номер 9.86, страница 280 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

9.7*. Формулы для тангенсов. § 9. Формулы сложения. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 9.86, страница 280.

9.86* Для углов $\alpha$, таких, что $\alpha \ne \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$, докажите справедливость равенства

$\operatorname{tg} 3\alpha = \frac{\operatorname{tg} \alpha (3 - \operatorname{tg}^2 \alpha)}{1 - 3 \operatorname{tg}^2 \alpha}$.

Для доказательства данного равенства преобразуем его левую часть, используя определение тангенса и формулы тригонометрии.

Начнем с определения тангенса тройного угла: $\text{tg}\,3\alpha = \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha}$.

Выразим $\sin 3\alpha$ и $\cos 3\alpha$ через тригонометрические функции угла $\alpha$. Для этого воспользуемся формулами сложения углов, представив $3\alpha$ как $2\alpha + \alpha$.

Для синуса:

$\sin 3\alpha = \sin(2\alpha + \alpha) = \sin 2\alpha \cos \alpha + \cos 2\alpha \sin \alpha$

Используя формулы двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, получим:

$\sin 3\alpha = (2\sin\alpha\cos\alpha)\cos\alpha + (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos^2\alpha + \sin\alpha\cos^2\alpha - \sin^3\alpha = 3\sin\alpha\cos^2\alpha - \sin^3\alpha$.

Аналогично для косинуса:

$\cos 3\alpha = \cos(2\alpha + \alpha) = \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha$

$\cos 3\alpha = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)\cos\alpha - (2\sin\alpha\cos\alpha)\sin\alpha = \cos^3\alpha - \sin^2\alpha\cos\alpha - 2\sin^2\alpha\cos\alpha = \cos^3\alpha - 3\sin^2\alpha\cos\alpha$.

Теперь подставим полученные выражения для $\sin 3\alpha$ и $\cos 3\alpha$ в формулу для $\text{tg}\,3\alpha$:

$\text{tg}\,3\alpha = \frac{3\sin\alpha\cos^2\alpha - \sin^3\alpha}{\cos^3\alpha - 3\sin^2\alpha\cos\alpha}$.

Чтобы выразить правую часть через $\text{tg}\,\alpha$, разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos^3\alpha$. Это преобразование возможно, так как для существования $\text{tg}\,\alpha$ необходимо, чтобы $\cos\alpha \ne 0$.

$\text{tg}\,3\alpha = \frac{\frac{3\sin\alpha\cos^2\alpha - \sin^3\alpha}{\cos^3\alpha}}{\frac{\cos^3\alpha - 3\sin^2\alpha\cos\alpha}{\cos^3\alpha}} = \frac{\frac{3\sin\alpha\cos^2\alpha}{\cos^3\alpha} - \frac{\sin^3\alpha}{\cos^3\alpha}}{\frac{\cos^3\alpha}{\cos^3\alpha} - \frac{3\sin^2\alpha\cos\alpha}{\cos^3\alpha}}$

После сокращения дробей и замены отношений синуса к косинусу на тангенс, получаем:

$\text{tg}\,3\alpha = \frac{3\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - (\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})^3}{1 - 3(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})^2} = \frac{3\text{tg}\,\alpha - \text{tg}^3\alpha}{1 - 3\text{tg}^2\alpha}$.

Вынесем $\text{tg}\,\alpha$ в числителе за скобки, чтобы привести выражение к требуемому виду:

$\text{tg}\,3\alpha = \frac{\text{tg}\,\alpha(3 - \text{tg}^2\alpha)}{1 - 3\text{tg}^2\alpha}$.

Таким образом, мы доказали справедливость равенства. Заданное ограничение $\alpha \ne \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$ при $n \in \mathbb{Z}$ обеспечивает корректность всех выполненных преобразований. В частности, оно гарантирует, что $\cos 3\alpha \ne 0$ (то есть $\text{tg}\,3\alpha$ существует) и что знаменатель $1 - 3\text{tg}^2\alpha$ не равен нулю.

Ответ: Равенство доказано.