Номер 10.2, страница 284 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 10. Тригонометрические функции числового аргумента. 10.1. Функция y=sinx - номер 10.2, страница 284.

Условие.

10.2° Сформулируйте свойства функции $y = \sin x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1. Область определения

Функция $y=\sin x$ определена для любого действительного значения аргумента $x$, так как синус можно вычислить для любого числа, представляющего собой угол.

Ответ: Область определения функции — множество всех действительных чисел, $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений

Значения синуса любого угла лежат в пределах от -1 до 1 включительно. Это следует из определения синуса через единичную окружность, где синус — это ордината точки на окружности, радиус которой равен 1.

Ответ: Область значений функции — отрезок $[-1; 1]$, то есть $E(y) = [-1; 1]$.

3. Четность

Функция является нечетной, так как для любого значения $x$ из области определения выполняется равенство $\sin(-x) = -\sin x$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки $O(0;0)$).

Ответ: Функция нечетная.

4. Периодичность

Функция является периодической. Ее значения повторяются через определенный интервал. Для любого $x$ из области определения и любого целого $k$ выполняется равенство $\sin(x + 2\pi k) = \sin x$. Наименьший положительный период функции называется главным периодом.

Ответ: Функция периодическая с главным периодом $T = 2\pi$.

5. Нули функции

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($y=0$). Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения, когда угол $x$ соответствует точкам пересечения единичной окружности с осью абсцисс.

Ответ: $y=0$ при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства

Это промежутки, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения. Знак синуса зависит от координатной четверти, в которой находится угол.

Функция положительна ($\sin x > 0$), когда угол $x$ находится в I или II координатной четверти.

Функция отрицательна ($\sin x < 0$), когда угол $x$ находится в III или IV координатной четверти.

Ответ:

$y > 0$ при $x \in (2\pi k; \pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

$y < 0$ при $x \in (\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

7. Промежутки монотонности (возрастания и убывания)

Это промежутки, на которых функция только возрастает или только убывает.

Функция возрастает, когда при увеличении аргумента $x$ значение функции $y$ также увеличивается. На графике это соответствует движению "вверх" слева направо.

Функция убывает, когда при увеличении аргумента $x$ значение функции $y$ уменьшается. На графике это соответствует движению "вниз" слева направо.

Ответ:

Функция возрастает на каждом из промежутков вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает на каждом из промежутков вида $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

8. Точки экстремума и экстремумы функции

Экстремумы — это максимальные и минимальные значения функции. Точки экстремума — это значения $x$, в которых эти экстремумы достигаются.

Максимальное значение, равное 1, функция принимает в точках, где возрастание сменяется убыванием.

Минимальное значение, равное -1, функция принимает в точках, где убывание сменяется возрастанием.

Ответ:

Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Максимальное значение функции (максимум): $y_{max} = 1$.

Точки минимума: $x_{min} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ (или $x_{min} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$). Минимальное значение функции (минимум): $y_{min} = -1$.

9. Непрерывность и ограниченность

График функции $y=\sin x$ (синусоида) является сплошной линией без разрывов. Функция ограничена, так как все ее значения принадлежат отрезку $[-1; 1]$.

Ответ: Функция непрерывна на всей области определения ($\mathbb{R}$) и ограничена.