Номер 10.2, страница 284 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
10.1. Функция y=sinx. § 10. Тригонометрические функции числового аргумента. Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции - номер 10.2, страница 284.
№10.2 (с. 284)
Условие. №10.2 (с. 284)
скриншот условия

10.2° Сформулируйте свойства функции $y = \sin x$.
Решение 1. №10.2 (с. 284)

Решение 2. №10.2 (с. 284)

Решение 3. №10.2 (с. 284)

Решение 4. №10.2 (с. 284)

Решение 5. №10.2 (с. 284)
1. Область определения
Функция $y=\sin x$ определена для любого действительного значения аргумента $x$, так как синус можно вычислить для любого числа, представляющего собой угол.
Ответ: Область определения функции — множество всех действительных чисел, $D(y) = \mathbb{R}$.
2. Область значений
Значения синуса любого угла лежат в пределах от -1 до 1 включительно. Это следует из определения синуса через единичную окружность, где синус — это ордината точки на окружности, радиус которой равен 1.
Ответ: Область значений функции — отрезок $[-1; 1]$, то есть $E(y) = [-1; 1]$.
3. Четность
Функция является нечетной, так как для любого значения $x$ из области определения выполняется равенство $\sin(-x) = -\sin x$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки $O(0;0)$).
Ответ: Функция нечетная.
4. Периодичность
Функция является периодической. Ее значения повторяются через определенный интервал. Для любого $x$ из области определения и любого целого $k$ выполняется равенство $\sin(x + 2\pi k) = \sin x$. Наименьший положительный период функции называется главным периодом.
Ответ: Функция периодическая с главным периодом $T = 2\pi$.
5. Нули функции
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($y=0$). Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения, когда угол $x$ соответствует точкам пересечения единичной окружности с осью абсцисс.
Ответ: $y=0$ при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
6. Промежутки знакопостоянства
Это промежутки, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения. Знак синуса зависит от координатной четверти, в которой находится угол.
Функция положительна ($\sin x > 0$), когда угол $x$ находится в I или II координатной четверти.
Функция отрицательна ($\sin x < 0$), когда угол $x$ находится в III или IV координатной четверти.
Ответ:
$y > 0$ при $x \in (2\pi k; \pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
$y < 0$ при $x \in (\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
7. Промежутки монотонности (возрастания и убывания)
Это промежутки, на которых функция только возрастает или только убывает.
Функция возрастает, когда при увеличении аргумента $x$ значение функции $y$ также увеличивается. На графике это соответствует движению "вверх" слева направо.
Функция убывает, когда при увеличении аргумента $x$ значение функции $y$ уменьшается. На графике это соответствует движению "вниз" слева направо.
Ответ:
Функция возрастает на каждом из промежутков вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает на каждом из промежутков вида $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
8. Точки экстремума и экстремумы функции
Экстремумы — это максимальные и минимальные значения функции. Точки экстремума — это значения $x$, в которых эти экстремумы достигаются.
Максимальное значение, равное 1, функция принимает в точках, где возрастание сменяется убыванием.
Минимальное значение, равное -1, функция принимает в точках, где убывание сменяется возрастанием.
Ответ:
Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Максимальное значение функции (максимум): $y_{max} = 1$.
Точки минимума: $x_{min} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ (или $x_{min} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$). Минимальное значение функции (минимум): $y_{min} = -1$.
9. Непрерывность и ограниченность
График функции $y=\sin x$ (синусоида) является сплошной линией без разрывов. Функция ограничена, так как все ее значения принадлежат отрезку $[-1; 1]$.
Ответ: Функция непрерывна на всей области определения ($\mathbb{R}$) и ограничена.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 10.2 расположенного на странице 284 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10.2 (с. 284), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.