Номер 10.9, страница 285 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава II. Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции. Параграф 10. Тригонометрические функции числового аргумента. 10.1. Функция y=sinx - номер 10.9, страница 285.

Условие.

10.9* ИССЛЕДУЕМ Сколько корней имеет уравнение:

а) $\sin x = x^2$;

б) $\sin x = -x^2$;

в) $\sin x = \frac{x}{10}$;

г) $\sin x = \frac{x}{100}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для нахождения количества корней уравнения $ \sin x = x^2 $ решим его графически. Количество корней равно количеству точек пересечения графиков функций $ y = \sin x $ и $ y = x^2 $.

Функция $ y = \sin x $ — это синусоида, область значений которой $ [-1, 1] $. Функция $ y = x^2 $ — это парабола с вершиной в начале координат $ (0, 0) $, ветви которой направлены вверх.

1. Проверим корень $ x = 0 $. Подставляя в уравнение, получаем $ \sin 0 = 0^2 $, что равно $ 0 = 0 $. Следовательно, $ x = 0 $ является корнем. Это первая точка пересечения графиков.

2. Рассмотрим случай $ x > 0 $. Поскольку $ -1 \le \sin x \le 1 $, то для существования корней должно выполняться условие $ -1 \le x^2 \le 1 $. Так как $ x^2 \ge 0 $, получаем $ 0 \le x^2 \le 1 $, что для $ x > 0 $ означает $ 0 < x \le 1 $. При $ x $, близких к нулю, $ \sin x \approx x $, а $ x^2 $ значительно меньше $ x $. Значит, график $ y = \sin x $ вначале идет выше графика $ y = x^2 $. При $ x=1 $, имеем $ \sin 1 \approx 0.84 $ и $ 1^2 = 1 $. Здесь $ \sin 1 < 1^2 $. Так как на одном конце интервала $ (0, 1] $ функция $ \sin x $ больше $ x^2 $, а на другом — меньше, и обе функции непрерывны, то на этом интервале должен быть хотя бы один корень. Более подробный анализ показывает, что этот корень единственный. При $ x > 1 $, $ x^2 > 1 $, в то время как $ \sin x \le 1 $, поэтому других пересечений при $ x > 1 $ нет.

3. Рассмотрим случай $ x < 0 $. В этом случае $ x^2 > 0 $. Равенство $ \sin x = x^2 $ возможно только если $ \sin x > 0 $. Но для $ x < 0 $ синус положителен только на интервалах $ (-2\pi, -\pi), (-4\pi, -3\pi) $ и т.д. На этих интервалах $ |x| > \pi > 1 $, поэтому $ x^2 > \pi^2 > 9 $, в то время как $ \sin x \le 1 $. Равенство невозможно. Отрицательных корней нет.

Таким образом, уравнение имеет два корня: $ x=0 $ и один корень на интервале $ (0, 1) $.

Ответ: 2.

б) Рассмотрим уравнение $ \sin x = -x^2 $. Аналогично пункту а), найдем количество точек пересечения графиков функций $ y = \sin x $ и $ y = -x^2 $.

Функция $ y = -x^2 $ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вниз.

1. Корень $ x = 0 $ очевиден: $ \sin 0 = -0^2 \implies 0 = 0 $.

2. При $ x > 0 $, $ \sin x $ принимает как положительные, так и отрицательные значения, а $ -x^2 $ всегда отрицательна (кроме $ x=0 $). Пересечение возможно только там, где $ \sin x \le 0 $. Кроме того, из $ \sin x \ge -1 $ следует $ -x^2 \ge -1 $, что означает $ x^2 \le 1 $, или $ 0 < x \le 1 $. Но на интервале $ (0, 1] $ функция $ \sin x $ строго положительна. Следовательно, $ \sin x > 0 $, а $ -x^2 < 0 $, и равенство невозможно. Положительных корней нет.

3. При $ x < 0 $, сделаем замену $ x = -t $, где $ t > 0 $. Уравнение примет вид $ \sin(-t) = -(-t)^2 $, что упрощается до $ -\sin t = -t^2 $, и далее $ \sin t = t^2 $. Это уравнение мы исследовали в пункте а) для положительных значений переменной. Мы выяснили, что оно имеет один положительный корень. Значит, исходное уравнение имеет один отрицательный корень.

Таким образом, уравнение имеет два корня: $ x=0 $ и один отрицательный корень.

Ответ: 2.

в) Рассмотрим уравнение $ \sin x = \frac{x}{10} $. Найдем количество точек пересечения синусоиды $ y = \sin x $ и прямой $ y = \frac{x}{10} $.

Прямая $ y = \frac{x}{10} $ проходит через начало координат и имеет угловой коэффициент $ \frac{1}{10} $. Обе функции, $ y = \sin x $ и $ y = \frac{x}{10} $, являются нечетными, поэтому их графики симметричны относительно начала координат. Это значит, что количество положительных корней равно количеству отрицательных. Мы можем найти число положительных корней, умножить на 2 и прибавить 1 (корень $ x=0 $).

Ищем положительные корни. Пересечения возможны только пока прямая находится в "полосе" синусоиды, то есть $ -1 \le \frac{x}{10} \le 1 $, что означает $ -10 \le x \le 10 $. Нас интересует интервал $ (0, 10] $.

Разделим интервал $ (0, 10] $ на участки, где синус положителен:

• Интервал $ (0, \pi) \approx (0, 3.14) $. В начале ($ x \to 0 $) $ \sin x \approx x $, а $ \frac{x}{10} $ меньше, так что синусоида идет выше прямой. В конце интервала, при $ x=\pi $, $ \sin \pi = 0 $, а $ \frac{\pi}{10} > 0 $. Значит, графики пересекаются один раз на этом интервале.
• Интервал $ (\pi, 2\pi) \approx (3.14, 6.28) $. Здесь $ \sin x < 0 $, а $ \frac{x}{10} > 0 $, пересечений нет.
• Интервал $ (2\pi, 3\pi) \approx (6.28, 9.42) $. В начале, при $ x=2\pi $, $ \sin(2\pi)=0 $, а $ \frac{2\pi}{10} > 0 $. Прямая выше синусоиды. В середине интервала, при $ x = \frac{5\pi}{2} \approx 7.85 $, $ \sin(\frac{5\pi}{2}) = 1 $, а значение на прямой $ \frac{5\pi/2}{10} = \frac{\pi}{4} \approx 0.785 < 1 $. Синусоида поднимается выше прямой. В конце, при $ x=3\pi $, $ \sin(3\pi)=0 $, а $ \frac{3\pi}{10} > 0 $. Прямая снова выше. Значит, на этом интервале есть две точки пересечения.
• Интервал $ (3\pi, 10] \approx (9.42, 10] $. Здесь $ \sin x < 0 $, а $ \frac{x}{10} > 0 $, пересечений нет.

Всего положительных корней: $ 1 + 2 = 3 $. Столько же отрицательных корней из-за симметрии. И один корень $ x=0 $. Общее число корней: $ 3 \text{ (положительных)} + 3 \text{ (отрицательных)} + 1 \text{ (нулевой)} = 7 $.

Ответ: 7.

г) Рассмотрим уравнение $ \sin x = \frac{x}{100} $. Задача аналогична предыдущей. Ищем количество точек пересечения $ y = \sin x $ и $ y = \frac{x}{100} $.

Ситуация похожа на пункт в): корень $ x=0 $ и симметрия относительно начала координат. Ищем количество положительных корней на интервале $ (0, 100] $, так как при $ x>100 $, $ \frac{x}{100} > 1 $, а $ \sin x \le 1 $.

Нам нужно посчитать, сколько раз положительные "арки" синусоиды пересекают прямую $ y=\frac{x}{100} $. Положительные арки синуса находятся на интервалах $ (2k\pi, (2k+1)\pi) $ для $ k = 0, 1, 2, ... $. Прямая $ y = \frac{x}{100} $ будет пересекать арку, если она не проходит выше всей арки. Максимальное значение синуса равно 1. Прямая достигает значения 1 при $ x=100 $.

Найдем, сколько положительных арок попадает в интервал $ (0, 100) $. Конец k-й арки находится в точке $ (2k+1)\pi $. $ (2k+1)\pi < 100 \implies 2k+1 < \frac{100}{\pi} \approx 31.83 \implies 2k < 30.83 \implies k < 15.415 $. Значит, $ k $ может принимать значения от $ 0 $ до $ 15 $. Всего $ 16 $ положительных арок.

• При $ k=0 $, интервал $ (0, \pi) $. Как и в пункте в), синусоида начинается круче прямой, пересекая ее один раз.
• При $ k=1, 2, ..., 15 $ (всего 15 арок), каждая арка начинается в точке $ (2k\pi, 0) $, где прямая $ y=\frac{2k\pi}{100} $ уже выше нуля. Затем арка поднимается до высоты 1, что выше прямой (так как $ x < 100 $). Затем опускается до 0 в точке $ ((2k+1)\pi, 0) $, где прямая снова выше. Каждая такая арка пересекает прямую дважды.

Количество положительных корней: $ 1 $ (для $ k=0 $) + $ 15 \times 2 $ (для $ k=1..15 $) = $ 1 + 30 = 31 $. Общее число корней с учетом симметрии и нулевого корня: $ 31 \text{ (положительных)} + 31 \text{ (отрицательных)} + 1 \text{ (нулевой)} = 63 $.

Ответ: 63.